安徽省滁州中學

郭守靜 (郵編：239000)

文[1]中介紹了圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程,如圖1，取過焦點F，且與準線l垂直的直線為x軸，點F(O)為坐標原點，建立直角坐標系，利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義：

M∈{M||FM|=e|MH|}

其中e為圓錐曲線的離心率，定義p為圓錐曲線焦點到相應準線的距離.經過計算可以得到圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)在直角坐標系中的統(tǒng)一方程：

(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0.

圖1

課本中作為閱讀與思考給出圓錐曲線的統(tǒng)一方程，課堂教學中筆者利用此結論，結合高考試題，論證圓錐曲線中具有統(tǒng)一性質的問題.本文通過幾個具體實例談談圓錐曲線統(tǒng)一方程在切線問題中的應用.

引理已知圓錐曲線C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)，則稱點P(x0y0)和直線l：Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0是圓錐曲線C的一對極點和極線.

(1)若極點P在曲線C上，則極線l就是曲線C在點P處的切線；

(2)若過極點P可作曲線C的兩條切線，MN為切點，則極線l就是直線MN.

文[2]中對上述引理作了充分的證明，本文就不作細證，由此引理可得對于圓錐曲線的統(tǒng)一方程而言，極線l：(1-e2)x0x+y0y-pe2(x0+x)-p2e2=0.

應用1圓錐曲線統(tǒng)一方程在切線問題中過定點問題

(1)求橢圓E的方程；

(2)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

圖2

文[3]對本題作了詳細的證明，并由此題探究出圓錐曲線的統(tǒng)一完美的性質：如圖2，已知點P是圓錐曲線C上一點，若曲線C在點P處的切線與曲線C的準線相交于點Q，則以PQ為直徑的圓恒過該準線對應的焦點.

現用圓錐曲線統(tǒng)一方程可證明如下：

取過焦點F，且與準線l(與焦點F相對應的)垂直的直線為x軸，點F(O)為坐標原點，建立直角坐標系.

設P(x0,y0)，橢圓的方程為：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0.

則切線PQ的方程為：(1-e2)x0x+y0y-pe2(x0+x)-p2e2=0

①

所以以PQ為直徑的圓恒過該準線對應的焦點.

應用2圓錐曲線統(tǒng)一方程在切線問題中過定值問題

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過C上一點P(x0,y0)(y0≠0)的直線

現用圓錐曲線統(tǒng)一方程可證明如下：

圓錐曲線的統(tǒng)一方程：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0

②

P(x0,y0)為圓錐曲線上一點，則在P點處的切線方程為

(1-e2)x0x+y0y-pe2(x0+x)-p2e2=0

③

③中令x=-p，則-(1-e2)x0p+y0y-pe2(x0-p)-p2e2=0，

④

結合試題1、2，我們可以看到圓錐曲線統(tǒng)一方程在解決切線問題時有其特有的優(yōu)勢，課堂教學中以課本為主體，可以進行適當的拓展。對于圓錐曲線的統(tǒng)一方程:

(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0.

當01時，此方程表示雙曲線；當e=1時，此方程表示拋物線.

應用3圓錐曲線統(tǒng)一方程在切點弦問題中的應用

圖3

本題是文[5]中對圓錐曲線切線的統(tǒng)一性質的探究，現用圓錐曲線統(tǒng)一方程來嘗試解決.

圖4

解(1)如圖4，取過焦點F，且與準線l垂直的直線為x軸，點F為坐標原點，建立直角坐標系設P(x0,y0)，橢圓的方程為：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0.

則直線AB的方程為：(1-e2)x0x+y0y-pe2(x0+x)-p2e2=0

⑤

由題直線AB過點M(-p,0)，代入直線方程可得：

-(1-e2)x0p-pe2(x0-p)-p2e2=0，

化簡得到：x0=0，故PF⊥x軸.

(3)將x0=0代入⑤中得：y0y-pe2x-p2e2=0，聯(lián)立

由C為AB的中點可知

代入直線AB方程可得

由P(0,y0)，

即kPC=kPO，所以直線PC過原點.

受到篇幅限制，本文對雙曲線和拋物線就不做詳細論證，有興趣的讀者可以嘗試一下.圓錐曲線具有許多的統(tǒng)一性質，而我們在研究相關問題時，可以借助圓錐曲線的統(tǒng)一方程來解決.在上述問題中，已知條件有焦點和焦點對應準線，此時用統(tǒng)一方程很方便.筆者也將會繼續(xù)探究圓錐曲線統(tǒng)一方程的應用，并在課堂教學中積極探索，探求其規(guī)律性，拓展學生思維，激發(fā)學生學習解析幾何的興趣.也希望通過本文，能和廣大讀者一起探討圓錐曲線的奧秘.

1 劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2007

2 鄒生書.圓錐曲線極點與極線的一組性質[J].中學數學教學，2010(4)：22-23

3 鄒生書.對2012年高考福建卷理科解析幾何題的研究[J].數學教學,2013(1):17-19

4 黃永生 楊丹.一道2014年江西高考題的推廣[J].福建數學教學，2014(7,8):22-24

5 邱波.圓錐曲線切線的一個統(tǒng)一性質[J].數學通訊,2013(10):45