摘 要：“不等關(guān)系”的教學(xué)要從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高度來理解，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的：螺旋上升，深化不等關(guān)系的理解；辯證思維，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程；整體認(rèn)識(shí)，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值。教學(xué)中，要重點(diǎn)關(guān)注不等關(guān)系的生成，處理好不等關(guān)系的引入、抽象、價(jià)值三個(gè)節(jié)點(diǎn)，具體做到：?jiǎn)栴}情境體現(xiàn)過程，為概括活動(dòng)搭建平臺(tái)；模型建構(gòu)體現(xiàn)自主，在“數(shù)學(xué)化”中加深理解；課堂總結(jié)體現(xiàn)整體，在深入中為本章奠基。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 不等關(guān)系 教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)設(shè)計(jì)

“不等關(guān)系”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章《不等式》第一節(jié)的內(nèi)容。在這一章中，教材對(duì)這一節(jié)并未作太多的展開，僅僅由3個(gè)具體的實(shí)際問題來幫助學(xué)生理解不等關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建立相應(yīng)的不等式模型（分別是一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式組模型）；隨后便分“一元二次不等式”“二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題”和“基本不等式”三節(jié)作詳細(xì)的展開。正因?yàn)槿绱?，不少教師認(rèn)為，反正后面都要展開，“蜻蜓點(diǎn)水”式教學(xué)沒有效益，所以“不等關(guān)系”的教學(xué)可有可無；還有一些教師（主要是老教師）受非課標(biāo)教材的影響，在“不等關(guān)系”的教學(xué)中，會(huì)補(bǔ)充不等式的若干條性質(zhì)，如反身性、傳遞性、同加或同乘等，把一節(jié)生動(dòng)活潑的起始課變成完全形式化的演繹，開篇就“鎮(zhèn)住”學(xué)生。那么，到底為什么要上這節(jié)課？如何上好這節(jié)課？本文結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的相關(guān)理念，談?wù)劰P者的認(rèn)識(shí)和做法。

一、“不等關(guān)系”教學(xué)目標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。”史寧中先生則用“三會(huì)”高度概括六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界（數(shù)學(xué)抽象、直觀想象），會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算），會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界（數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析）。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，高于數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起著指導(dǎo)和引領(lǐng)作用。因此，“不等關(guān)系”的教學(xué)要從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高度來理解，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的。

（一）螺旋上升，深化不等關(guān)系的理解

高中數(shù)學(xué)課程是一個(gè)整體。這既體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等各個(gè)部分內(nèi)容間的相互聯(lián)系上，也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中前后知識(shí)間的邏輯關(guān)系上，特別是由數(shù)學(xué)核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的前后一致性上。

抽象是數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，并且與數(shù)學(xué)發(fā)展同步。人們把現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量抽象為數(shù)，又把現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系（核心是多與少）抽象為數(shù)的關(guān)系（核心是大與?。：髞砣藗冇职汛笮￡P(guān)系推演為更一般的序關(guān)系。前者為第一次抽象，后者為第二次抽象。史寧中教授指出：“我們必須看到，雖然第二次抽象更加嚴(yán)謹(jǐn)，但是第一次抽象更為本質(zhì)，因?yàn)榈谝淮纬橄髣?chuàng)造出了新的概念、運(yùn)算法則和基本原理，而第二次抽象只是更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟忉屵@些創(chuàng)造?！备咧小安坏仁健钡膶W(xué)習(xí)是建立在學(xué)生已經(jīng)能理解數(shù)的大小關(guān)系，并且能運(yùn)用一元一次不等式模型解決實(shí)際生活問題的基礎(chǔ)上的，除了需要繼續(xù)學(xué)習(xí)更多的不等式模型之外，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力。

此外，無論是等量關(guān)系還是不等關(guān)系，都是建立在一般思維方法，即比較法的基礎(chǔ)上的。學(xué)習(xí)不等關(guān)系，建立一元二次不等式、二元一次不等式（組）與基本不等式，其實(shí)都是比較法在不同層次知識(shí)上的運(yùn)用。

（二）辯證思維，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程

數(shù)學(xué)模型側(cè)重于用數(shù)學(xué)創(chuàng)造出來的概念、原理和方法，描述現(xiàn)實(shí)世界中有規(guī)律性的東西。史寧中教授指出：“通俗地講，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言講述現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)量、圖形有關(guān)的故事?！薄霸跀?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型，特別是了解數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程是非常重要的。因?yàn)樵谶@個(gè)過程中，可以讓學(xué)生體會(huì)如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，如何用數(shù)學(xué)的思維思考世界，如何用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界?！?/p>

本章引言首先引用數(shù)學(xué)大師陳省身的話“我們欣賞數(shù)學(xué)，我們需要數(shù)學(xué)”來吸引學(xué)生，然后指出“在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，存在著大量的不等關(guān)系，不等式是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”；在回顧“……一元一次不等式ax+b>0的解集……一元一次不等式ax+b>0與一次函數(shù)y=ax+b及一元一次方程ax+b=0三者之間的關(guān)系”后，指出“當(dāng)我們面臨新的不等式時(shí)，例如……我們自然會(huì)想到，曾經(jīng)用過的數(shù)學(xué)思想方法還能繼續(xù)運(yùn)用嗎”。寥寥數(shù)語勾勒出不等式的研究藍(lán)圖，回答了不等式是什么、有什么，激發(fā)了學(xué)生思考“怎么研究”，起著先行組織者的作用。引言教學(xué)可以展示本章的知識(shí)、方法和思想以及研究問題的一般套路，更能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維?？梢?，引言與第一節(jié)構(gòu)成有機(jī)整體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程，體會(huì)其基本方法。

（三）整體認(rèn)識(shí)，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值

教材注重突出不等式的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際應(yīng)用，通過對(duì)3個(gè)具有實(shí)際背景（現(xiàn)實(shí)原型）的問題的分析，建立不等式模型，提示學(xué)生“曾經(jīng)用過的數(shù)學(xué)思想方法還能繼續(xù)運(yùn)用”，并由此去解決包括現(xiàn)實(shí)原型在內(nèi)的更加廣泛的一類問題。這樣的處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，反映了數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對(duì)數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識(shí)；同時(shí)，也突出了數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與解決實(shí)際問題的能力，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。

二、“不等關(guān)系”教學(xué)思路（要點(diǎn)）

數(shù)學(xué)教學(xué)主要是教知識(shí)生成和知識(shí)應(yīng)用。過去，我們重視應(yīng)用，對(duì)生成關(guān)注得較少。新課程改革后，弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論得到了更多的重視。江蘇省教研室李善良先生在一次評(píng)課時(shí)打比方說：“如果將生成比喻為‘1’，應(yīng)用就是后面的‘0’。教學(xué)中只有盯住‘1’，后面更多的‘0’才越發(fā)有意義。”“不等關(guān)系”教學(xué)的“1”是“讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程，體會(huì)其基本方法”。如何盯住這個(gè)“1”？教學(xué)中需要處理好三個(gè)節(jié)點(diǎn)。

（一）不等關(guān)系的引入

通過具體情境建立不等式模型，對(duì)許多學(xué)生來說往往是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。因此，教師要把好引入關(guān)，做足鋪墊?！安坏汝P(guān)系”首先是生活中的不等關(guān)系，如大與小、高與矮、快與慢等。教師要根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系，通過抽象其中的數(shù)量關(guān)系，回顧與加深用不等式刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

（二）不等關(guān)系的抽象

只有從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)入手進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才有可能促進(jìn)學(xué)生遷移能力的形成與概括水平的提升。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中的三個(gè)問題包含的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行認(rèn)真、仔細(xì)的分析，找出其中的不等關(guān)系，并由此建立不等式，即讓學(xué)生從問題解決的過程中發(fā)現(xiàn)新事物，然后去情境化，把具體的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問題。

（三）不等關(guān)系的價(jià)值

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)——數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程和內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)等，使學(xué)生真正地學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和解決問題。不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，反映了事物在量上的區(qū)別，因此不等式在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。在本節(jié)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘一些他們熟悉的、感興趣的和富有時(shí)代感的素材，通過分析其中的數(shù)量關(guān)系，加深對(duì)不等式刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的認(rèn)識(shí)，體會(huì)不等關(guān)系的價(jià)值。也就是說，本節(jié)教學(xué)不能急于尋找數(shù)學(xué)方法，解決已經(jīng)建立的不等式模型，而應(yīng)在更加廣泛的范圍內(nèi)，建立更多的不等關(guān)系模型。與此同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將不等式與等式進(jìn)行比較，找出相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，這有助于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

三、“不等關(guān)系”教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以上分析，就上述三個(gè)節(jié)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者進(jìn)行了以下嘗試和思考。

（一）問題情境要體現(xiàn)過程，為概括活動(dòng)搭建平臺(tái)

將教材引言改編為下列問題情境，從而展開教學(xué)：

問題1 在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，存在著大量的不等關(guān)系，不等式是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。小時(shí)候我們都聽過孔融讓梨的故事，孔融4歲就知道大小，并把大的讓給別人。其實(shí)我們每個(gè)人對(duì)于事物的不等關(guān)系都有直觀的感知，比如大小、高矮、輕重、快慢等。請(qǐng)同學(xué)們說說你生活中遇到的不等關(guān)系。

教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生所舉例子，抽象出不等關(guān)系的共同特征——度量（數(shù)）的大小關(guān)系，并口頭表述“大于”“小于”“不超過”“不少于”等表示不等關(guān)系的文字語言；然后指出：“‘世界上不存在兩片相同的樹葉’——相等是相對(duì)的，而不等才是絕對(duì)的?！?/p>

問題2 請(qǐng)舉一些數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系。比如：在△ABC中，AB+AC>BC；在圓中，弦AB

這些例子除了再次體現(xiàn)抽象的過程之外，還引入五種不等號(hào)（>、<、≥、≤、≠），為建立數(shù)學(xué)表達(dá)式做好準(zhǔn)備。對(duì)此，教師可以指出：“≠是英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特（T.Harriot）于1631年開始使用的。當(dāng)時(shí)，并沒有被數(shù)學(xué)界所接受。直到100多年后，才逐漸成為標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用符號(hào)?！?/p>

問題3 請(qǐng)用不等式（組）表達(dá)下列不等關(guān)系：

（1）如圖1，高速公路限速標(biāo)記提醒司機(jī)汽車行駛速度v（km/h）應(yīng)滿足的不等關(guān)系；

（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；

（3）某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為40 000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm兩種規(guī)格，按照生產(chǎn)的要求，600 mm鋼管的數(shù)量不超過500 mm鋼管的3倍。

這三個(gè)小題都是學(xué)生比較熟悉的情境。教學(xué)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真審題：抽象的對(duì)象是誰？——因?yàn)椴恢挂粋€(gè)了，所以需要“設(shè)……為x，設(shè)……為y”。不等詞是什么？——限速既有“不超過”某速度，也有“不低于”某速度；兩種規(guī)格鋼管的總長(zhǎng)“不超過”40 000 mm，600 mm鋼管的數(shù)量“不超過”500 mm鋼管的3倍。最后，教師要讓學(xué)生寫出建立的不等式（組）。

上述三個(gè)問題，從具體到抽象，從學(xué)生舉例到教師舉例，從生活到數(shù)學(xué)，從文字語言到符號(hào)語言，都建立在學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)上，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化的過程，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)方面抽象概括：（1）在數(shù)學(xué)意義上，不等關(guān)系可以體現(xiàn)在常量與常量的關(guān)系、變量與常量的關(guān)系、函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系以及一組變量之間的關(guān)系上；（2）總結(jié)常見的不等詞和對(duì)應(yīng)的不等號(hào)；（3）總結(jié)建立不等式的一般步驟。

（二）模型建構(gòu)要體現(xiàn)自主，在“數(shù)學(xué)化”中加深理解

在引入部分做好充分的鋪墊后，可以放手讓學(xué)生解決、歸納、推廣教材例題：

例1 某博物館的門票每位10元，20人以上（含20人）的團(tuán)體票8折優(yōu)惠，那么不足20人時(shí)，應(yīng)該選擇怎樣的購(gòu)票策略？

例2 某雜志以每本2元的價(jià)格發(fā)行時(shí)，發(fā)行量為10萬冊(cè)。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0.2元，發(fā)行量就減少5 000冊(cè)。要使雜志社的銷售收入大于22.4萬元，每本雜志的定價(jià)應(yīng)定在怎樣的范圍內(nèi)？

例3 下表（表1）給出了X、Y、Z三種食物的維生素含量及成本。某人欲將這三種食物混合成100 kg的食品，要使混合食品中至少含35 000單位的維生素A及40 000單位的維生素B，設(shè)X、Y這兩種食品各取x kg、y kg，那么x、y應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

教學(xué)中處理這三個(gè)例題時(shí)，不能止于簡(jiǎn)單的列式，這樣無助于模型的理解；正確的做法是通過層層追問，將學(xué)生“逼進(jìn)”探究的境地，讓學(xué)生在探究中辨析、提升，從而深化模型的理解。在整個(gè)建立模型的過程中，一方面要給學(xué)生充分的觀察、比較、分析、概括時(shí)間和空間，另一方面要悉心地啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)模型。特別是概括模型的本質(zhì)屬性時(shí)，要給學(xué)生充分的思考時(shí)間，如讓學(xué)生相互討論交流，讓學(xué)生舉出類似的例子等。

對(duì)于例1，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：購(gòu)票策略是什么？——省錢。如何做到省錢？——比較大小。誰跟誰比？——不足20人時(shí)，買相應(yīng)人數(shù)的普通票與買20人的團(tuán)體票比，設(shè)x（x<20）人，即10x與8×20比。由于學(xué)生初中學(xué)過一元一次不等式的解法，這里不妨引導(dǎo)學(xué)生回憶“一元”“一次”分別是什么意思，為下面的模型命名做準(zhǔn)備。在列出不等式后，也可以讓學(xué)生全面總結(jié)購(gòu)票“攻略”，這是學(xué)生能做且非常感興趣的事情。

對(duì)于例2，既可以設(shè)新的定價(jià)是x元，也可以設(shè)在原價(jià)基礎(chǔ)上提價(jià)x元；不管哪種設(shè)法，都要正確換算出減少的發(fā)行量，從而列出不等式。然后，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察：這是什么不等式？以前見過嗎？有什么特點(diǎn)（含幾個(gè)元，最高次數(shù)是多少）？你能給它起個(gè)名字嗎？根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為解一元二次不等式會(huì)用什么方法（這也是引言中提示的）？

對(duì)于例3，既然次數(shù)可以從一次到二次，那么元也可以從一元到二元，因此設(shè)x、y等學(xué)生就不陌生了。這里需要辨析，雖然有三種食物，但是總量為100 kg，因此實(shí)際上兩個(gè)變量就夠了，從而列出二元一次不等式組（這個(gè)名字也可以讓學(xué)生命）。更重要的，也是最能體現(xiàn)教師教學(xué)智慧的是，讓學(xué)生基于這個(gè)背景提出一個(gè)有價(jià)值的問題，比如：將這三種食物混合成100 kg的食品，最低成本是多少？

這三個(gè)例題，從元和次的兩條線發(fā)展，構(gòu)成了理解不等關(guān)系、建立不等關(guān)系和深化不等關(guān)系的整體，不僅使教學(xué)設(shè)計(jì)更全面、更科學(xué)，為實(shí)現(xiàn)知識(shí)的教育形態(tài)化找到突破口，而且能通過教師穿針引線式的追問，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展是水到渠成的。

（三）課堂總結(jié)要體現(xiàn)整體，在深入中為本章奠基

獲取知識(shí)的增長(zhǎng)，不是起始課專有，每節(jié)課都會(huì)有，但是起始課獲取的知識(shí)一定是后續(xù)學(xué)習(xí)的基石，具有基礎(chǔ)性和聯(lián)系性?！叭绻麖母顚哟慰紤]，章起始課還應(yīng)該發(fā)揮‘?dāng)?shù)學(xué)育人’的作用?！?/p>

“不等關(guān)系”的重要性不言而喻。作為起始，本課教學(xué)必須要有“交代問題背景、引入基本概念、構(gòu)建研究藍(lán)圖”的大氣，應(yīng)該成為新知識(shí)學(xué)習(xí)方式的范例，讓學(xué)生再一次體會(huì)研究一類新的數(shù)學(xué)問題的基本套路。課堂總結(jié)時(shí)，最好讓學(xué)生認(rèn)真體會(huì)、充分交流學(xué)習(xí)新知識(shí)的基本思路，從而培養(yǎng)和提升學(xué)生的元認(rèn)知能力。進(jìn)而，應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生思考新模型有哪些內(nèi)容，可以從哪些方面開始研究，從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的欲望，為后續(xù)學(xué)習(xí)留下懸念。

參考文獻(xiàn)：

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