摘 要：在認(rèn)真研究鹽城市近兩年中考卷最后一大題最后一小問的解法特點與破題關(guān)鍵的基礎(chǔ)上，選取“形散神聚”的主題來統(tǒng)領(lǐng)，并且設(shè)計“淺入深出”的環(huán)節(jié)來展開，開設(shè)中考二輪微專題復(fù)習(xí)課《無處不在的邊角關(guān)系》。“微專題復(fù)習(xí)課”的教學(xué)立意有：深刻理解中考把關(guān)題的主要難點，精準(zhǔn)提煉教學(xué)主題；從簡單出發(fā)生長拓展又漸次呈現(xiàn)，謀篇布局教學(xué)環(huán)節(jié)；注重數(shù)學(xué)思想方法的傳遞與滲透，為學(xué)生“打開一扇窗”。

關(guān)鍵詞：中考復(fù)習(xí) 微專題復(fù)習(xí)課 邊角關(guān)系

中考二輪專題復(fù)習(xí)是各級教研部門開展教學(xué)研討的熱點課題。很多專題往往是根據(jù)題型來進(jìn)行歸類的，如圖像信息題、運動型、開放型、應(yīng)用型、存在探究型、新定義型、含“參”函數(shù)題等。具體復(fù)習(xí)時，這些分類常常在解題方法或思考策略上多有重合，因此往往是“形聚神散”的。

筆者近期受邀在江蘇省鹽城市阜寧縣開設(shè)了一節(jié)中考二輪專題復(fù)習(xí)課，課前認(rèn)真研究了該地區(qū)近兩年中考卷最后一大題最后一小問的解法特點與破題關(guān)鍵，從而選取了“形散神聚”的主題來統(tǒng)領(lǐng)，并且設(shè)計了“淺入深出”的環(huán)節(jié)來展開，取得了較好的教學(xué)效果。下面整理該課的教學(xué)流程，并且闡釋該類課的教學(xué)立意，以供研討。

一、《無處不在的邊角關(guān)系》教學(xué)流程

（一）特殊出發(fā)

經(jīng)驗交流 你對哪幾種直角三角形印象較深？它們的邊角之間有怎樣的關(guān)系？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生容易想到如圖1～圖4所示的一些特殊形狀的直角三角形?？梢园才艑W(xué)生到黑板上畫出來，然后解釋這些三角形的邊角關(guān)系。

教學(xué)生成：每位學(xué)生都能想到很多特殊形狀的直角三角形。除了以上預(yù)設(shè)的幾種形狀之外，還有學(xué)生想到含15°、22.5°角的直角三角形，并提出這些直角三角形的“邊角關(guān)系”可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線來分析。

（二）初步運用

例1 在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=120°。

（1）△ABC的形狀和大小是否唯一確定？為什么？

（2）求△ABC的面積；

（3）求邊AC的長；

（4）求邊AC上的高BD的長。

教學(xué)預(yù)設(shè)：4個小問漸次呈現(xiàn)。第（1）問主要是引導(dǎo)學(xué)生運用三角形全等的判定條件“SAS”來確認(rèn)△ABC的形狀和大小是唯一確定的；第（2）問引導(dǎo)學(xué)生利用120°角作高（如圖5，作CE⊥AB于點E），構(gòu)造特殊形狀的直角三角形（含30°角的直角三角形BCE），求高（CE=33）后再計算三角形面積（S△ABC=63）；第（3）問引導(dǎo)學(xué)生在直角三角形ACE中，利用勾股定理求出AC的長（219）；第（4）問引導(dǎo)學(xué)生在△ABC中，利用面積法求出BD的長61957。

教學(xué)生成：學(xué)生獨立練習(xí)后交流思路。第（3）（4）問個別學(xué)生沒有化簡，經(jīng)過其他學(xué)生的優(yōu)化，才得到最簡二次根式。

（三）組合出現(xiàn)

例2 如圖6，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=12x+2與x軸和y軸分別交于點A、C。

（1）直接寫出點A、C的坐標(biāo)；

（2）作線段AC的垂直平分線，交x軸于點D，求直線CD的解析式；

（3）設(shè)點E在y軸正半軸上，當(dāng)∠EAO=2∠CAO時，求點E的坐標(biāo)；

（4）求解上述問題后，小寧發(fā)現(xiàn)：若tan α=12，則tan 2α=43。你能看懂嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：呈現(xiàn)第（1）問之前，先問學(xué)生：由題干你們能設(shè)計出怎樣的問題？學(xué)生求出點A、C的坐標(biāo)后，再給出比較簡單的第（2）問，讓學(xué)生獨立演算結(jié)果，然后安排學(xué)生上臺講解思路。接著給出有點難度的第（3）問。有些學(xué)生能夠作出輔助線，列出二元二次方程組，但是解不出來，或者容易陷入繁雜運算?？梢园才牌渌麑W(xué)生參與優(yōu)化、簡化。最后給出第（4）問。為了幫助學(xué)生理解第（4）問，把第（2）（3）問求解過程中的圖形進(jìn)行分離、突顯，呈現(xiàn)圖7、圖8。

教學(xué)生成：對第（2）問，學(xué)生先求出AC中點的坐標(biāo)為（-2，1），再求出AC垂直平分線的解析式為y=-2x-3，接著求出點D的坐標(biāo)為-32，0，最后求出CD的解析式為y=43x+2。對第（3）問，有學(xué)生給出了如下方法：作CM⊥AE于點M，設(shè)CE=m，證出△CEM∽△AEO，利用它們的相似比CM∶AO=2∶4，得出AE=2m，ME=2m-4，進(jìn)而在Rt△CEM中利用勾股定理構(gòu)造方程，解出m=103，從而得到點E的坐標(biāo)為0，163，甚至得到AE的解析式為y=43x+163。對第（4）問，在圖7、圖8的啟示下，結(jié)合第（2）（3）問的結(jié)果，學(xué)生很快就理解了“小寧的發(fā)現(xiàn)”。

接著安排一個“走向一般，眺望高中”的展示活動，由教師來演算，利用圖形推導(dǎo)公式tan（α+β）=tan α+tan β1-tan α·tan β（如圖9）。教師演算后，請科代表再次復(fù)述證明的思路，很順利。當(dāng)然，一定還有不少學(xué)生不能很好地理解，就讓他們記錄下演算過程，課后再跟進(jìn)消化。

之后出示一個“理解應(yīng)用”的練習(xí)：若tan α=12，tan β=13，求α、β的度數(shù)和。學(xué)生很快就能代入公式，求出α、β的度數(shù)和為45°。

（四）變式再練

變式練習(xí) 平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0）、B（-3，0）、Q（-6，33）。

（1）求△ABQ的面積；

（2）求tan∠AQB的值；

（3）若點P、R在線段AQ上，且△BPR為等邊三角形，求△BPR的邊長。

教學(xué)預(yù)設(shè)與生成：第（1）問對應(yīng)著例題1的幾個設(shè)問，數(shù)據(jù)都是一樣的，只是換了一種問題呈現(xiàn)的方式和背景。

第（2）問有不同的方法：如果沿用例題1的思路，先求出AQ邊上的高BD=61957，再利用勾股定理求出第三邊QD的長，則會陷入繁雜的運算；如果想到過點A作AM⊥BQ于點M（如圖10），則運算量大大減小。

第（3）問則是引入等邊三角形作進(jìn)一步探究，最快算出答案的學(xué)生上臺演示的運算量大、過程繁雜，后來有學(xué)生上臺優(yōu)化（如圖11）。教師也順勢引用史寧中教授的話作評

析：“算法簡單的方法往往要付出邏輯思維的代價?！?/p>

（五）課堂小結(jié)

再次出示圖8，引導(dǎo)學(xué)生作出如下四點小結(jié)：第一，掌握特殊直角三角形的邊角關(guān)系；第二，值得積累的“二倍角”構(gòu)圖經(jīng)驗；第三，可以“走向一般”的三角公式；第四，對繁雜圖形的抗干擾、顯基本能力。

最后，讓學(xué)習(xí)求出上述變式練習(xí)中點P、R的坐標(biāo)，作為課后挑戰(zhàn)。

二、“微專題復(fù)習(xí)課”教學(xué)立意

近一段時間以來，筆者積極開展“微專題復(fù)習(xí)課”的實踐研究，產(chǎn)生了一些教學(xué)心得。概而述之：主題聚焦，切入口??；從簡單出發(fā)，注重基礎(chǔ)，適度留白，預(yù)設(shè)對話；教學(xué)推進(jìn)中，走向一般，適度拓展，讓優(yōu)秀學(xué)生迎難而上、進(jìn)行挑戰(zhàn)。以下結(jié)合上述課例分而述之。

（一）深刻理解中考把關(guān)題的主要難點，精準(zhǔn)提煉教學(xué)主題

在中考二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師首先要認(rèn)真“研究”（包括獨立求解、一題多解、解后反思、多解歸一等）本地區(qū)中考“把關(guān)題”（包括填空、選擇、解答中的較難題），理解這些題目的主要解題障礙與破題關(guān)鍵，結(jié)合學(xué)情，精準(zhǔn)提煉出“微專題”（即教學(xué)主題，也是教學(xué)目標(biāo)）。由此，后續(xù)的選題、編題、設(shè)問、追問等就有了主線，可以避免“內(nèi)容效度不當(dāng)”等問題。

比如，上述課例中，筆者在研習(xí)了鹽城市近兩年中考卷最后一大題最后一小問（如下）之后，研判出學(xué)生可能的最難一步是“若tan α=12，則tan 2α=43”，同時注意到這個性質(zhì)與兩種特殊形狀的直角三角形的組合相關(guān)聯(lián)，又是高中兩角和與差的正切公式及二倍角的正切公式的特例，于是確定了聚焦的主題。

1.（2016年中考卷第28題）如圖12，已知一次函數(shù)y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C。

（1）略；

（2）略；

（3）如圖13，將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°，交y軸于點G，連接CG，設(shè)P為△ACG內(nèi)一點，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊在它們的左側(cè)作等邊△APR、等邊△AGQ，連接RQ。

①求證：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標(biāo)。

2.（2017年中考卷第27題）如圖14，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=12x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B。

（1）略；

（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點。

①略；

②如圖15，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求出點D的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

（二）從簡單出發(fā)生長拓展又漸次呈現(xiàn)，謀篇布局教學(xué)環(huán)節(jié)

確定教學(xué)主題（目標(biāo)）之后，接著要謀篇布局，構(gòu)思各個教學(xué)環(huán)節(jié)。有學(xué)者曾說：要利用恰當(dāng)?shù)膯栴}把更多學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“卷入”課堂中。一般來說，開課階段必須讓全體學(xué)生參與進(jìn)來，那就可以“從簡單出發(fā)”，提出一些十分基礎(chǔ)的問題，然后沿著這些問題背景不斷變化、生長、拓展、應(yīng)用，過渡到本課的教學(xué)主題（目標(biāo)）。比如，上述課例中最后的挑戰(zhàn)問題就對應(yīng)著鹽城市2016年中考卷第28題最后一問。

值得一提的是，為了節(jié)約課堂時間，很多專題復(fù)習(xí)課都會提前印發(fā)“導(dǎo)學(xué)案”（有地方稱其為“活動單”）給學(xué)生。很多“導(dǎo)學(xué)案”會把備課時構(gòu)思的所有素材或設(shè)問全部呈現(xiàn)出來，把版面布置得“密不透風(fēng)”。這樣難免會使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒。一個建議是，在“導(dǎo)學(xué)案”上充分留白，只給出相關(guān)例題的題干，配上一些基礎(chǔ)圖形、備用圖形，便于學(xué)生后續(xù)演算、求解。對于每個例題下的系列設(shè)問，可以利用PPT的動畫功能，根據(jù)教學(xué)進(jìn)程漸次呈現(xiàn)。這樣的留白式“導(dǎo)學(xué)案”還有一些好處，比如讓學(xué)生充滿好奇心，保持探究欲。

（三）注重數(shù)學(xué)思想方法的傳遞與滲透，為學(xué)生“打開一扇窗”

為了進(jìn)一步提升解題教學(xué)（中考二輪微專題復(fù)習(xí)課可納入解題教學(xué)研究的方向）的品質(zhì)，我們還需要通過微專題復(fù)習(xí)課，做好數(shù)學(xué)思想方法傳遞與滲透。比如，上述課例中，筆者向?qū)W生傳遞了“從特殊到一般”“以退為進(jìn)（回到簡單）”“數(shù)形結(jié)合”“求簡求優(yōu)”等數(shù)學(xué)思想方法。

吳非（王棟生老師）曾說：“聰明的老師下課后讓你滿腹狐疑?！惫P者也有為學(xué)生“打開一扇窗”，引導(dǎo)學(xué)生課后繼續(xù)研究，從“快思”走向“慢想”（鄭毓信教授語）的追求。比如，上述課例中，筆者演算高中三角函數(shù)公式，提出課后挑戰(zhàn)問題；其實，還可以安排優(yōu)秀學(xué)生繼續(xù)思考“若tan α=12，則tan 2α=43”與tan（α+β）=tan α+tan β1-tan α·tan β之間的關(guān)系。

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