【編者按】 本刊自2014年起陸續(xù)刊登了華東師范大學(xué)汪曉勤教授團(tuán)隊(duì)開發(fā)的36個(gè)中學(xué)HPM課例。其中絕大多數(shù)都是新授課（概念課或命題課）。目前，他們研究的視角開始觸及復(fù)習(xí)課（習(xí)題課）。本期呈現(xiàn)的是以袁芳、馬艷榮兩位老師為主開發(fā)的HPM視角下的復(fù)習(xí)課（習(xí)題課）案例。希望有更多的教師加入到HPM的研究中來(lái)，可以開發(fā)新的課例，也可以對(duì)已有的課例進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)與改進(jìn)。

摘 要：以數(shù)學(xué)史上的思想方法為紐帶（線索），將數(shù)學(xué)課程中散落（尤其是不同領(lǐng)域）的知識(shí)、問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生系統(tǒng)地分析與把握所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)其背后蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的一種很好的設(shè)計(jì)思路?！昂筒钚g(shù)應(yīng)用”專題復(fù)習(xí)課首先從古巴比倫泥板中的問(wèn)題引入“和差術(shù)”，滲透換元法與化歸思想，接著從古巴比倫的二元方程組解法中提煉出“和差術(shù)”相關(guān)的四個(gè)代數(shù)恒等式，最后應(yīng)用“和差術(shù)”串聯(lián)高中數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的知識(shí)和問(wèn)題。課后反饋表明這樣的教學(xué)取得了較好的效果。

關(guān)鍵詞：HPM 專題復(fù)習(xí)課 和差術(shù)應(yīng)用

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型之一。好的復(fù)習(xí)課不僅可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)，形成系統(tǒng)，更重要的是可以引導(dǎo)學(xué)生提取、歸納數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生站在思想方法的高度來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)思維能力。然而，因?qū)?fù)習(xí)課的價(jià)值理解與把握不到位，不少教師依然遵循傳統(tǒng)的教學(xué)模式來(lái)上復(fù)習(xí)課：羅列基礎(chǔ)知識(shí)，講解典型例題，布置課后作業(yè)。這樣把學(xué)過(guò)的知識(shí)重復(fù)講一遍，把復(fù)習(xí)課上成練習(xí)課，沒(méi)有新內(nèi)容、新增長(zhǎng)，導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量普遍不高。

Jankvist認(rèn)為，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南，不僅可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，而且可以幫助學(xué)生對(duì)比古今思想方法，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。以數(shù)學(xué)史上的思想方法為紐帶（線索），將數(shù)學(xué)課程中散落（尤其是不同領(lǐng)域）的知識(shí)、問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生系統(tǒng)地分析與把握所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)其背后蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的一種很好的設(shè)計(jì)思路，可以讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課有新意、更高效，煥發(fā)勃勃生機(jī)。

兩千多年前古巴比倫的“和差術(shù)”正是這樣一種可以串聯(lián)高中數(shù)學(xué)縱多知識(shí)與問(wèn)題的思想方法。因此，我們以“和差術(shù)應(yīng)用”為主題，設(shè)計(jì)了一節(jié)高三專題復(fù)習(xí)課。擬定的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）理解“和差術(shù)”，掌握“和差術(shù)”在不同知識(shí)領(lǐng)域中的應(yīng)用；（2）經(jīng)歷從分析和解決函數(shù)、三角函數(shù)、向量、幾何等問(wèn)題中抽象出“和差術(shù)”模型的過(guò)程，理解換元法和化歸思想，拓寬解決問(wèn)題的思維方式；（3）感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力，感悟數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

一、歷史上的“和差術(shù)”

接著，教師指出：“‘和差術(shù)’蘊(yùn)含了換元與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，將高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合在了一起，讓我們對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)從方法層面上升到了思維層面?！睆乃枷雽用鎸?duì)本課內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)。

最后，教師說(shuō)道：“小泥板大學(xué)問(wèn)，古代文明給我們留下了無(wú)數(shù)的智慧結(jié)晶，這些豐富的遺產(chǎn)為我們今天的數(shù)學(xué)教學(xué)開辟了新視角。揭開了古巴比倫‘和差術(shù)’的神秘面紗，將它與高中數(shù)學(xué)知識(shí)相融合，讓古人的智慧在今天的課堂上熠熠生輝！穿越時(shí)空與古人對(duì)話，古人的許多數(shù)學(xué)思想給了我們精神的養(yǎng)料?！睆木駥用鎸?duì)本課過(guò)程進(jìn)行總結(jié)。

三、學(xué)生反饋

課后，我們收集了全班30名學(xué)生對(duì)本節(jié)課的反饋信息。

前三道測(cè)試題主要考查學(xué)生對(duì)“和差術(shù)”模型的掌握情況。第一道題是“已知|a-b|=11，a·b=3，求|a+b|”，屬于“已知四個(gè)量a+b、a-b、ab、a2+b2中的兩個(gè)量，求其余兩個(gè)量”的類型，正確率達(dá)到96.7%。第二道題是“在△ABD中，N為BD中點(diǎn)，|AN|=5，AB·AD=2，求|BD|”，屬于“已知四個(gè)量a+b、a-b、ab、a2+b2中的一個(gè)量以及其余兩個(gè)量的關(guān)系，求其余三個(gè)量”的類型（隱含條件為|AB+AD|=2|AN|），正確率為80%。第三道題是“求函數(shù)f（x）=sin x-cos x+sin xcos x的值域”，屬于“已知三個(gè)量a+b、ab、a2+b2中的一個(gè)量，求其余兩個(gè)量的取值范圍”的類型，正確率達(dá)到83.3%；少數(shù)出錯(cuò)的學(xué)生主要是因?yàn)榇脒^(guò)程中計(jì)算錯(cuò)誤、忘記負(fù)號(hào)，或者知道設(shè)參數(shù)，但是未找到sin2x+cos2x=1這一隱含條件。

后兩道測(cè)試題主要考查學(xué)生對(duì)“和差術(shù)”模型與高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間關(guān)系的理解情況。對(duì)于“可以利用‘和差術(shù)’模型解決的高中數(shù)學(xué)題主要涉及哪些知識(shí)”，學(xué)生的回答集中在向量、三角函數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、二元方程上，其中，向量提及得最多，三角函數(shù)次之。對(duì)于“你覺得‘和差術(shù)’與哪些高中數(shù)學(xué)知識(shí)有聯(lián)系”，學(xué)生的回答主要分布在向量、三角函數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線、均值不等式上，其中26人認(rèn)為“和差術(shù)”與向量存在聯(lián)系，24人認(rèn)為“和差術(shù)”與三角函數(shù)有聯(lián)系，21人認(rèn)為“和差術(shù)”與函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線聯(lián)系緊密，6人認(rèn)為“和差術(shù)”與均值不等式有聯(lián)系。

四、教學(xué)反思

傳授數(shù)學(xué)知識(shí)、演化數(shù)學(xué)方法、傳承數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)，而串聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)文化的經(jīng)脈是數(shù)學(xué)思想，它是數(shù)學(xué)的精髓。本節(jié)課首先從古巴比倫泥板中的問(wèn)題引入“和差術(shù)”，滲透換元法與化歸思想，接著從古巴比倫的二元方程組解法中提煉出“和差術(shù)”相關(guān)的四個(gè)代數(shù)恒等式，最后應(yīng)用“和差術(shù)”串聯(lián)高中數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的知識(shí)和問(wèn)題。

從古巴比倫泥板中的二元方程組問(wèn)題到函數(shù)、三角函數(shù)、向量、幾何、數(shù)列等領(lǐng)域的問(wèn)題，均可轉(zhuǎn)化為“和差術(shù)”模型進(jìn)行求解，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的“知識(shí)之諧”。學(xué)生在掌握“和差術(shù)”的同時(shí)，也加深了對(duì)換元與化歸思想方法的理解，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的“方法之美”。古巴比倫祭司對(duì)二元問(wèn)題的精彩解答，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)問(wèn)題背后的人文色彩，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的“文化之魅”。引導(dǎo)學(xué)生穿越時(shí)空與古人對(duì)話，了解古人簡(jiǎn)捷的解題策略，讓學(xué)生心生敬意，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與自信心，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的“德育之效”。

通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，教師和學(xué)生都非常認(rèn)同HPM對(duì)于高三復(fù)習(xí)課的價(jià)值。在不久之后的高三三模復(fù)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生遇到可用“和差術(shù)”來(lái)解決的問(wèn)題時(shí)，都感到非常興奮，更進(jìn)一步感受到了“和差術(shù)”的便捷。略顯遺憾的是，由于筆者對(duì)數(shù)學(xué)史的理解還不夠深入，整節(jié)課還沒(méi)有達(dá)到融會(huì)貫通的境界。

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