摘 要：教學(xué)“勾股定理”時(shí)，可以從一般到特殊，引出學(xué)生對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)，接著基于“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”方法，從特殊到一般，介紹“趙爽弦圖”，安排學(xué)生利用“趙爽弦圖”證明勾股定理。其依據(jù)在于：勾股定理博大精深，教學(xué)需要保持謹(jǐn)慎謙遜，舍棄不可信的傳說(shuō)，并滲透中國(guó)傳統(tǒng)文化；勾股定理教法多樣，關(guān)鍵在于落實(shí)過(guò)程目標(biāo)，避免“從零開(kāi)始”的艱難探索。

關(guān)鍵詞：有指導(dǎo)的再創(chuàng)造 趙爽弦圖 勾股定理 教學(xué)設(shè)計(jì)

“勾股定理”教學(xué)是很多教研活動(dòng)的熱點(diǎn)話題，“教教材”還是“用教材教”是很多同課異構(gòu)的主要不同?！敖探滩摹币慌赏菑漠呥_(dá)哥拉斯在友人家做客，由網(wǎng)格地磚得到靈感，發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊的平方關(guān)系出發(fā)，推廣到一般，借鑒歐幾里得的面積轉(zhuǎn)化證明思路，設(shè)計(jì)數(shù)方格算面積的活動(dòng)，驗(yàn)證直角三角形三邊的平方關(guān)系，然后介紹“趙爽弦圖”等拼圖證明方法。最近我們?cè)谝淮谓萄谢顒?dòng)中，教學(xué)“勾股定理”（第1課時(shí)）時(shí)，首先從一般到特殊，引出學(xué)生對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)，接著基于“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”（弗賴登塔爾）方法，從特殊到一般，介紹“趙爽弦圖”，安排學(xué)生利用“趙爽弦圖”證明勾股定理，也取得了比較好的效果。下面具體闡述，以供研討。

一、“勾股定理”教學(xué)流程

（一）從對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)開(kāi)始

問(wèn)題1 同學(xué)們對(duì)直角三角形（如圖1）有哪些認(rèn)識(shí)？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生知道，直角三角形兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊大于任意一條直角邊。學(xué)生還對(duì)一些特殊的直角三角形，如含30°角的直角三角形（如圖2）和含45°角的直角三角形（如圖3），有一定的認(rèn)識(shí)：它們的角都可以求出來(lái)，它們的邊角之間具有一定的關(guān)系，如30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半（即圖2中c=2a），含45°角的直角三角形是等腰直角三角形（即圖3中a=b）。

（二）利用“趙爽弦圖”研究勾股定理

問(wèn)題2 中國(guó)古人很早就研究了一種特殊直角三角形，就是直角邊分別為3、4的直角三角形；并運(yùn)用了多種拼圖的方法，認(rèn)識(shí)這種直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。比如著名的“趙爽弦圖”（如圖4），它由4個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為3、4）拼成。同學(xué)們能利用“趙爽弦圖”求出大正方形的邊長(zhǎng)嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生利用面積法很快可以求出大正方形的邊長(zhǎng)為5，即兩條直角邊為3、4的直角三角形的斜邊為5。

問(wèn)題3 請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)利用“趙爽弦圖”來(lái)研究更一般的直角三角形的三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系。設(shè)直角三角形ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)的三邊分別為a、b、c，用4個(gè)這樣的直角三角形拼成如圖5所示的“趙爽弦圖”，請(qǐng)?zhí)骄縜、b、c之間的數(shù)量關(guān)系。

教學(xué)組織：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流。小組內(nèi)發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)答案（a2+b2=c2）后，再派代表在全班展示匯報(bào)。師生確認(rèn)后，形成勾股定理的板書（包括文字、符號(hào)表示）。

（三）理解勾股定理的其他證法

問(wèn)題4 前面，同學(xué)們利用“趙爽弦圖”證明了勾股定理。事實(shí)上，勾股定理的證法很多。有人曾經(jīng)出過(guò)一本書，收集整理了幾百種勾股定理的證法。我們繼續(xù)來(lái)看其他拼圖法。據(jù)說(shuō)圖6所示是畢達(dá)哥拉斯用過(guò)的方法。你們能看懂這種拼圖證法嗎？

教學(xué)組織：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，最后全班匯報(bào)展示。教師先追問(wèn)其他學(xué)生是否聽(tīng)懂，再?gòu)?fù)述思考過(guò)程，以達(dá)到鞏固理解的效果。

問(wèn)題5 圖7是將一個(gè)長(zhǎng)方形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到的。據(jù)說(shuō)，第20任美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德就是利用圖7中梯形ABCD的面積證明勾股定理的。你能看懂“總統(tǒng)證法”嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為a、b，對(duì)角線為c，則可以用不同的方法表示梯形ABCD的面積：①S=12（a+b）（a+b）=12（a+b）2；②S=2×12ab+12c2。于是有12（a+b）2=2×12ab+12c2，整理得a2+b2=c2。

追問(wèn) 有人發(fā)現(xiàn)圖6、圖7兩種證法本質(zhì)上是一樣的。對(duì)比一下，你們覺(jué)得這種說(shuō)法有道理嗎？

教學(xué)引導(dǎo)：通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)圖7是圖6的“一半”，可以用圖8來(lái)演示。

（四）課堂小結(jié)與勾股定理的初步運(yùn)用

首先，小結(jié)：“本節(jié)課我們從直角三角形出發(fā)，了解了中國(guó)古代的‘趙爽弦圖’，并利用它證明了勾股定理，也學(xué)習(xí)了其他兩種拼圖證法。當(dāng)然，勾股定理還有很多證明方法。而且，勾股定理用途很廣泛，與很多數(shù)學(xué)分支都有緊密的聯(lián)系?！?/p>

接著，安排一組練習(xí)（主要是直角三角形中給定兩邊求第三邊的訓(xùn)練題，這里略去），讓學(xué)生運(yùn)用和鞏固勾股定理。

二、關(guān)于勾股定理的教學(xué)思考

（一）勾股定理博大精深，教學(xué)需要保持謹(jǐn)慎謙遜

對(duì)于作為“千古第一定理”的勾股定理，不同的古代民族都有獨(dú)立而原創(chuàng)的研究與發(fā)現(xiàn)。在勾股定理的探索與證明上，中國(guó)古人也有到獨(dú)特的貢獻(xiàn)（比如“趙爽弦圖”等拼圖方法）。這也是我們?cè)谘芯拷滩暮螅釛壗滩纳详P(guān)于畢達(dá)哥拉斯觀察地磚而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系的傳說(shuō)的原因。我們常常見(jiàn)到一些年輕教師在向?qū)W生介紹勾股定理的數(shù)學(xué)史（特別是有些不可信的傳說(shuō)）時(shí)的那份自信和夸大。這實(shí)在讓人遺憾。面對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)，我們應(yīng)該保持謹(jǐn)慎、謙遜的態(tài)度，實(shí)事求是地介紹客觀的數(shù)學(xué)史實(shí)，而不是以傳說(shuō)替代史實(shí)，給學(xué)生造成不好的印象。值得一提的是，當(dāng)前國(guó)家層面課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)重視中國(guó)傳統(tǒng)文化的教學(xué)滲透，而像勾股定理這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)凸顯了中國(guó)古人的智慧，能確實(shí)增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)上的自信心和自豪感。因此，包括教材編寫在內(nèi)，應(yīng)該增加中國(guó)古代對(duì)勾股定理等研究的內(nèi)容，以便教師備課時(shí)參考選用。

（二）勾股定理教法多樣，關(guān)鍵在于落實(shí)過(guò)程目標(biāo)

勾股定理教法多樣，充分體現(xiàn)了教無(wú)定法的理念，其關(guān)鍵在于對(duì)教學(xué)目標(biāo)的確定。除了知識(shí)層面上要讓學(xué)生掌握直角三角形三邊之間的平方關(guān)系之外，最為關(guān)鍵的就是如何獲得勾股定理：是一味地追求自主發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生“原創(chuàng)證法”，還是基于數(shù)學(xué)史引出一些證法的思路，讓學(xué)生跟進(jìn)理解、消化吸收前人的方法？就筆者目前聽(tīng)課所見(jiàn)，前者追求“從零開(kāi)始”的艱難探索，導(dǎo)致學(xué)生很難在課堂上有真正的獨(dú)創(chuàng)發(fā)現(xiàn)，最后還是得教師引導(dǎo)或告知；后者基于“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”，相對(duì)可以讓所有的學(xué)生在課堂上有更多的參與，也有獲得勾股定理證明的成就感。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蒲淑萍，汪曉勤.教材中的數(shù)學(xué)史：目標(biāo)、內(nèi)容、方式與質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)研究[J].課程·教材·教法，2015（3）.

[2] 蔡宗熹.千古第一定理——勾股定理[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3] 【荷】弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬等譯.上海：上海教育出版社，1995.

[4] 劉東升.基于HPM視角重構(gòu)“勾股定理”起始課[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2016（1）.