摘 要：合乎邏輯地思考實(shí)質(zhì)是按照一定的思維規(guī)律，有目標(biāo)、有依據(jù)、有條理、清晰、連貫、系統(tǒng)地思考；它是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的核心，有利于發(fā)展學(xué)生的理性思維和理性精神?！暗缺葦?shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)”教學(xué)可從追尋目標(biāo)和盯住目標(biāo)，追尋出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，追尋目標(biāo)與條件之間的聯(lián)系，追尋數(shù)與形的內(nèi)在一致性，追尋問題及其解法的本質(zhì)等五個(gè)方面入手，示范如何合乎邏輯地思考。通常的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓數(shù)學(xué)思維更自然、更充分、前后連貫、相互支持；應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)思維過程與方法的感悟，把思維教學(xué)上升到信念與精神層面。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維 合乎邏輯 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

一、何為合乎邏輯地思考

美國(guó)著名教育家杜威對(duì)此做了十分深刻的闡述：“我們說一個(gè)人的行動(dòng)和談話‘合乎邏輯’，而另一個(gè)人的行動(dòng)和談話‘不合邏輯’，并不是說合乎邏輯的人的活動(dòng)、思維或談話是遵循三段論式的，而是指他所做的和所說的是有秩序的，具有連貫性；他所采用的手段能夠很好地預(yù)測(cè)將來獲得的結(jié)果。在這種場(chǎng)合下，‘合乎邏輯’和‘合乎道理’是同義詞……真正有思想的人，其思想必定是合乎邏輯的。有思想的人細(xì)心而不輕率，他們四處查看，謹(jǐn)慎周到，而不盲目地亂碰?！币虼?，合乎邏輯地思考實(shí)質(zhì)是按照一定的思維規(guī)律，有目標(biāo)、有依據(jù)、有條理、清晰、連貫、系統(tǒng)地思考。

二、為何要讓學(xué)生學(xué)會(huì)合乎邏輯地思考

合乎邏輯地思考是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的核心。發(fā)展學(xué)生的理性思維和理性精神是數(shù)學(xué)教育的最大價(jià)值所在，而“理性”的核心是“理”，是合乎規(guī)律地思考：發(fā)現(xiàn)知識(shí)、解決問題。思維的最大價(jià)值是使行動(dòng)富有預(yù)見性和目的性，是通過預(yù)測(cè)沒有發(fā)生但將會(huì)發(fā)生的事物以趨利避害。思維的中心因素是“一種事物指示或預(yù)示另一種事物，這種功能引導(dǎo)我們?nèi)ニ伎家环N事物在多大程度上可以看作另一種事物的依據(jù)”。因此，要正確地預(yù)測(cè)未來，就必須提高思維的預(yù)測(cè)水平，即提高思維的合邏輯性（規(guī)律性）的水平。

另一方面，思維需要細(xì)心而周到的指導(dǎo)，才能充分實(shí)現(xiàn)其機(jī)能。因?yàn)樗季S既有缺乏發(fā)展的危險(xiǎn)，更有錯(cuò)誤發(fā)展的危險(xiǎn)?！叭绻皇切纬杉?xì)心考察事物的習(xí)慣，不是形成使觀念前后相繼發(fā)生的連貫性的習(xí)慣，就是形成偶然的像蝗蟲亂蹦亂跳似的亂猜亂想的習(xí)慣?！辈粦{任何技藝而胡亂地猜測(cè)，“只會(huì)磨滅心靈的光芒，使我們的心靈習(xí)慣于幼稚的無(wú)聊勾當(dāng)，使它今后總滿足于事物的表面，而不能更深入進(jìn)去”。“想獲得細(xì)心、周到、徹底和連續(xù)的品質(zhì)（這些品質(zhì)是‘邏輯的’因素），唯一的辦法是從一開始就訓(xùn)練這些品質(zhì)，并設(shè)法使種種情境有利于這些品質(zhì)的訓(xùn)練。”因此，數(shù)學(xué)教育應(yīng)有意識(shí)地增強(qiáng)學(xué)生合乎邏輯地思考的意識(shí)與能力。

三、如何合乎邏輯地思考

下面以“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)”的教學(xué)為例，闡述如何合乎邏輯地思考。

（一）追尋目標(biāo)，盯住目標(biāo)

目標(biāo)是思維的動(dòng)力與方向，目標(biāo)模糊的思維必然是盲目的、徘徊不定的、左顧右盼的。問題的解決應(yīng)“盯住目標(biāo)，記住你的目的”。為了增強(qiáng)思維的目的性和方向性，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)首先追問推導(dǎo)的目標(biāo)，即預(yù)期的結(jié)果是什么，然后“觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目”。觀察等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，不難預(yù)測(cè)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式也應(yīng)用首項(xiàng)、末項(xiàng)、公比等盡可能少的已知項(xiàng)或值來表示，或者說，用首項(xiàng)、末項(xiàng)、公比等少數(shù)項(xiàng)或值表示a2，a3，…，an-1等中間項(xiàng)的和。

（二）追尋出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)

思維是從此岸（即已知的條件）出發(fā)到達(dá)彼岸（即預(yù)期的結(jié)果）的過程。數(shù)學(xué)思維的出發(fā)點(diǎn)是已知的條件，依據(jù)是數(shù)學(xué)概念與原理，策略是從問題內(nèi)部尋找解決問題的方法。推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式用的是倒序相加法，其思維的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)是等差數(shù)列內(nèi)在的性質(zhì)，具體方法是化數(shù)值不同項(xiàng)的和為數(shù)值相同項(xiàng)的和。類似地，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式也應(yīng)從其內(nèi)在的性質(zhì)，即a2a1=a3a2=…=anan-1出發(fā)，尋找解決問題的方法。這種方法也就是波利亞所說的“回到定義上去，尋找字里行間潛在的意義和事實(shí)”，“通過回到定義上去，數(shù)學(xué)家尋找掌握蘊(yùn)藏在專業(yè)術(shù)語(yǔ)后面的數(shù)學(xué)對(duì)象之間的真正聯(lián)系，正如物理學(xué)家尋找隱藏在他們的專業(yè)術(shù)語(yǔ)后面的明確的實(shí)驗(yàn)一樣”。

（三）追尋目標(biāo)與條件之間的聯(lián)系

由上可知，錯(cuò)位相減法的產(chǎn)生應(yīng)有一個(gè)自然的過程，而不是“天上突然掉下來的林妹妹”。從更高的層次看，無(wú)論是錯(cuò)位相減法，還是前面的利用合比定理推導(dǎo)的方法，都是把Sn作為一個(gè)未知數(shù)，通過建立一個(gè)關(guān)于Sn的方程來求解。

四、如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)合乎邏輯地思考

為促進(jìn)和幫助學(xué)生學(xué)會(huì)合乎邏輯地思考，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)采取相應(yīng)的策略與方法。

（一）重視“合乎邏輯地思考”的范例教學(xué)

心理學(xué)研究表明：思維不僅可教，而且教的關(guān)鍵是“對(duì)學(xué)生有意義和有效”；“在任一水平上，最為重要的是示范高水平思維，即用言語(yǔ)表達(dá)自己的思維過程，如斟酌證據(jù)、考慮后果和進(jìn)行決策”。也就是說，學(xué)生是通過具體事例，通過模仿和感悟來學(xué)習(xí)如何思考的，因此，強(qiáng)化“合乎邏輯地思考”的范例教學(xué)十分重要。以上“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)”的教學(xué)重問題解決思路產(chǎn)生的過程，重問題解決方法的優(yōu)化，很好地突破了“錯(cuò)位相減法是怎樣產(chǎn)生的”這一思維難點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)習(xí)“合乎邏輯地思考”提供了范例。需要指出的是，鑒于思維難點(diǎn)是“一只會(huì)生金蛋的母雞”，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)準(zhǔn)確地把握學(xué)生的思維難點(diǎn)，利用學(xué)生的思維難點(diǎn)，而不是回避這些難點(diǎn)。

（二）讓數(shù)學(xué)思維更自然、更充分

這里“自然”的含義是為什么這樣想、怎么想到這樣做有比較清晰的緣由與依據(jù)，是水到渠成、瓜熟蒂落的邏輯必然；“充分”的含義是有足夠的探索時(shí)間和空間讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和感受思維的目標(biāo)、依據(jù)、方法與步驟，而不是操之過急地傳授知識(shí)，或把自己的思路與想法強(qiáng)加給學(xué)生。因?yàn)椤叭说男闹蔷芙^接受以這種方式塞進(jìn)來的知識(shí)。青年人生來渴望發(fā)展，渴望沖動(dòng)，厭惡乏味的強(qiáng)迫性的知識(shí)訓(xùn)練。訓(xùn)練，當(dāng)它進(jìn)行的時(shí)候，應(yīng)該滿足一種對(duì)智慧的自然的渴望，因?yàn)檫@種智慧給原始的經(jīng)驗(yàn)增添了價(jià)值”。由于思維能力只有在合乎邏輯的思維過程中才能得到鍛煉和發(fā)展，并且決定思維發(fā)展水平的是思維的“質(zhì)”而不是思維的“量”，因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)盡最大可能讓方法的產(chǎn)生更自然，讓探究的過程更充分。

（三）讓數(shù)學(xué)思維前后連貫、相互支持

“觀念沒有連續(xù)的秩序，便是胡思亂想?！彼季S只有前后連貫、相互支持，才能形成解決問題的完整鏈條。在前面推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程中，我們通過追問“思維的目標(biāo)是什么”“思維的出發(fā)點(diǎn)（即條件）是什么”“如何建立目標(biāo)與條件之間的聯(lián)系”“如果思維受阻，如何借助直觀的圖像來尋找啟發(fā)”“問題解決后，方法能否優(yōu)化”等一系列問題，形成了一個(gè)完整的思維鏈條。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷思維從醞釀、發(fā)現(xiàn)、形成到實(shí)施、反思、優(yōu)化的完整過程，促使他們感受合乎邏輯地思考的魅力與價(jià)值，幫助他們養(yǎng)成連貫地、有條理地思考問題的習(xí)慣和回顧反思、追根究底的思維習(xí)慣，進(jìn)而提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、靈活性與創(chuàng)新性水平。

（四）強(qiáng)化對(duì)思維過程與方法的感悟

知識(shí)的獲得主要靠傳授，技能的形成主要靠訓(xùn)練，思維的發(fā)展主要靠感悟?！白钫_經(jīng)驗(yàn)的積累不是基于理解，而是基于感悟?！币虼?，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化對(duì)思維突破過程和方法的反思與感悟，強(qiáng)化對(duì)解決問題過程和方法的反思與優(yōu)化，強(qiáng)化對(duì)思維嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的反思與體會(huì)。在前面推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程中，學(xué)生可能在得到公式Sn=a1-qan1-q后止步不前，也可能忽視q≠1這個(gè)公式成立的前提條件。教師應(yīng)通過追問，使學(xué)生在反思中認(rèn)識(shí)到解決問題思路與想法的產(chǎn)生與優(yōu)化是自然的、合理的，努力使學(xué)生在感悟中對(duì)問題解決過程的理解達(dá)到直覺水平。

（五）把思維教學(xué)上升到信念與精神層面

“推理的藝術(shù)在于不失時(shí)機(jī)地抓住主題，抓住那些說明整體情況的一般概念，并堅(jiān)持不懈地整理在這些概念周圍的所有次要事實(shí)。除非通過長(zhǎng)久的訓(xùn)練，認(rèn)識(shí)到抓住重要概念到死也不松手的價(jià)值，否則，一個(gè)人不可能成為一個(gè)好的推理者。”數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地把思維策略、思維方法、思維經(jīng)驗(yàn)上升到思維原理層面，應(yīng)幫助學(xué)生形成“數(shù)學(xué)思維是有章可循的”“世界在本質(zhì)上是有秩序的和可認(rèn)識(shí)的”的信念，同時(shí)應(yīng)使學(xué)生獲得的感受和信念成為他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和從事一切工作的基礎(chǔ)。

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