摘 要：教學(xué)設(shè)計(jì)是為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)而進(jìn)行的系統(tǒng)規(guī)劃，它對(duì)課堂教學(xué)具有定向作用。以《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課為例，說明數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的四個(gè)基本點(diǎn)是理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)，兩個(gè)關(guān)鍵是設(shè)計(jì)“自然的”過程、設(shè)計(jì)“好的”問題，一個(gè)核心是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì) “四個(gè)理解” 過程 問題 數(shù)學(xué)思維能力

所謂教學(xué)設(shè)計(jì)，就是為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，對(duì)課堂教學(xué)的過程與行為進(jìn)行的系統(tǒng)規(guī)劃。教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)課堂教學(xué)具有定向作用，高水平的設(shè)計(jì)能提高課堂教學(xué)的質(zhì)量和效益。本文所指的“四二一”，即“四個(gè)基本點(diǎn)”“兩個(gè)關(guān)鍵”“一個(gè)核心”。下面以《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課為例，具體闡述。

一、四個(gè)基本點(diǎn)

教學(xué)設(shè)計(jì)主要解決的問題是“教什么”和“怎樣教”，進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)要建立在以下四個(gè)基本點(diǎn)上。

（一）理解數(shù)學(xué)

主要是對(duì)數(shù)學(xué)的思想、方法以及精神的理解。教好數(shù)學(xué)的前提是學(xué)好數(shù)學(xué)。教師只有對(duì)數(shù)學(xué)的思想、方法以及精神有較高水平的理解，才能在教學(xué)中自覺地把它們傳達(dá)給學(xué)生，使數(shù)學(xué)在學(xué)生發(fā)展中的關(guān)鍵作用真正發(fā)揮出來。

學(xué)習(xí)“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”的主要原因有：（1）這類函數(shù)在物理學(xué)和工程技術(shù)中應(yīng)用比較廣泛；（2）學(xué)習(xí)這類函數(shù)圖像及性質(zhì)的過程有助于學(xué)習(xí)其他三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)。

“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”蘊(yùn)含的研究方法、思想方法主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）研究問題的一般方法——提出問題→構(gòu)想研究方法→探究實(shí)驗(yàn)→提出猜想→驗(yàn)證猜想→數(shù)學(xué)語言表示；（2）從特殊到一般、從具體到抽象的思維策略——參數(shù)的控制，參數(shù)的取值；（3）復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化——三個(gè)參數(shù)分解研究，控制兩個(gè)，研究一個(gè)；（4）聯(lián)系類比——用研究一個(gè)參數(shù)的方法去類比研究其他兩個(gè)參數(shù)；（5）“變中不變”——理解三個(gè)參數(shù)對(duì)圖像的影響，抓住每種情況下的“變”與“不變”；（6）合理利用函數(shù)的性質(zhì)（如周期性）來研究問題。

（二）理解學(xué)生

主要是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的理解，核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律。教師只有對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律有了深入的了解，才能有針對(duì)性地采取教學(xué)措施引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，有的放矢地進(jìn)行教學(xué)。

在本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”，會(huì)畫三角函數(shù)的圖像；掌握了研究三角函數(shù)圖像的一些方法，比如觀察圖像的角度，利用周期性進(jìn)行研究，等等。

在知識(shí)的獲得與理解上，學(xué)生最容易出問題的地方是參數(shù)ω對(duì)圖像產(chǎn)生的影響。一方面，在對(duì)ω選取數(shù)值時(shí)，學(xué)生會(huì)忽略（0，1）范圍內(nèi)的數(shù)值；另一方面，學(xué)生很難理解為什么把y=sin x的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍（縱坐標(biāo)不變）就得到y(tǒng)=sin ωx的圖像。針對(duì)后一個(gè)問題，教學(xué)中可以列舉一些實(shí)例幫助學(xué)生理解，讓他們有充分的感悟，從而突破疑難。比如，從y=sin x到y(tǒng)=2sin x實(shí)質(zhì)上是用y2代換y，那么從y=sin x到y(tǒng)=sin 2x實(shí)質(zhì)上是用2x代換x。

在研究能力上，高一的學(xué)生具備一定的觀察、分析、總結(jié)、概括等方面的能力，所以完全可以在教師的指導(dǎo)下，以小組合作的方式開展自主探究活動(dòng)。

（三）理解教學(xué)

主要是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)和規(guī)律的理解。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，這決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)和規(guī)律，比如要處理好學(xué)生主體與教師主導(dǎo)的關(guān)系、教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)系、知識(shí)能力與個(gè)性品質(zhì)的關(guān)系，等等。只有反映這些特點(diǎn)，遵循這些規(guī)律，數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效益才能真正得到保證。

“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”第一課時(shí)總的研究課題是探究“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像和函數(shù)y=sin x的圖像之間的關(guān)系”，具體研究步驟是y=sin（x+φ）→y=Asin x→y=sin ωx。

本課設(shè)計(jì)的總體思路是，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過親自動(dòng)手操作、觀察、實(shí)驗(yàn)獲得新知，在回顧研究過程的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納出研究問題的一般方法。

這是基于問題解決的自主探究、合作交流式教學(xué)設(shè)計(jì)。采用先集中、后分散、再集中的方式，即：首先，全體師生共同討論，提出本課的研究課題并制定研究計(jì)劃；其次，學(xué)生分小組進(jìn)行探究，得出研究成果并進(jìn)行匯報(bào)展示；最后，全體師生共同補(bǔ)充完善，給出理性證明并總結(jié)歸納研究方法。

在探究過程中，教師的主導(dǎo)作用也不可忽視。比如，對(duì)學(xué)習(xí)提出明確的任務(wù)和要求，并加強(qiáng)對(duì)探究過程的及時(shí)指導(dǎo)，對(duì)結(jié)論概括的規(guī)范化、科學(xué)化，等等。

（四）理解技術(shù)

主要是對(duì)使用信息技術(shù)的理解。正確使用信息技術(shù)可以增強(qiáng)教學(xué)效果是不爭(zhēng)的事實(shí)。尤其是青年教師，應(yīng)該努力掌握信息技術(shù)，并積極嘗試運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐，不斷提高運(yùn)用水平。

結(jié)合本課的特點(diǎn)，教學(xué)中可以使用圖形計(jì)算器。如果教師只是利用課件在大屏幕上演示，那么學(xué)生只能動(dòng)眼、動(dòng)腦，不能動(dòng)手。使用圖形計(jì)算器，可以讓學(xué)生真正動(dòng)起來，參與到課堂中，在親自動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)的過程中感悟、理解，提高學(xué)習(xí)興趣。使用圖形計(jì)算器的最大優(yōu)勢(shì)，是改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。雖然有時(shí)學(xué)生得到的結(jié)論不夠準(zhǔn)確，也不是很全面，但那是他們自主得出的結(jié)論，印象會(huì)很深刻。

當(dāng)然，使用圖形計(jì)算器的探究，往往是建立在對(duì)數(shù)據(jù)和圖形的觀測(cè)上的一種歸納，缺乏對(duì)得出結(jié)論的理性思考。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中演繹推理能力同樣重要，所以在得出結(jié)論后，一定要讓學(xué)生養(yǎng)成理性思考的習(xí)慣。

二、兩個(gè)關(guān)鍵

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)以啟發(fā)式教學(xué)思想為指導(dǎo)，通過問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)的過程。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)要做好如下兩方面。

（一）設(shè)計(jì)“自然的”過程

“自然的”過程是一種數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的原過程與學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程的融合（“再創(chuàng)造”的過程），體現(xiàn)了知識(shí)的歸納、概括過程?！白匀坏摹边^程不是教師強(qiáng)加的；教師對(duì)學(xué)生思維的引導(dǎo)是“潤(rùn)物細(xì)無聲”的，學(xué)生感受到“合情合理”，教學(xué)效果則“水到渠成”。

本課設(shè)計(jì)的過程如下：（1）提出課題，明確學(xué)習(xí)任務(wù)。教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生參與討論，共同提出問題1：y=Asin（ωx+φ）的圖像與y=sin x的圖像之間的關(guān)系如何？這就是本課的學(xué)習(xí)任務(wù)。（2）啟發(fā)引導(dǎo)，制定研究策略。教師提出問題2：如何研究y=Asin（ωx+φ）的圖像與y=sin x的圖像之間的關(guān)系？師生共同討論，制定研究策略。（3）實(shí)驗(yàn)操作，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師提出問題3：利用圖形計(jì)算器，選取數(shù)據(jù)，分別研究φ、A、ω對(duì)y=sin（x+φ）、y=Asin x、y=sin ωx的圖像的影響。學(xué)生小組分工合作，選取不同的參數(shù)值，利用圖形計(jì)算器畫出這些函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像，觀察它們與y=sin x的圖像之間的關(guān)系。學(xué)生研究得出結(jié)論后，匯報(bào)展示研究成果。（4）理性思考，研討結(jié)論。教師提出問題4：為什么這兩個(gè)函數(shù)圖像之間有這樣的關(guān)系？在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，學(xué)生思考、分析，得出結(jié)論。（5）回顧過程，總結(jié)方法。教師提出問題5：回顧問題的研究過程，能否說說研究此類問題的方法是什么？師生共同討論，總結(jié)出研究問題的重要環(huán)節(jié)，進(jìn)而提煉出研究問題的一般方法。（6）布置作業(yè)，課后探究。教師給出思考題：如果改變兩個(gè)或三個(gè)參數(shù)，對(duì)圖像又會(huì)有什么影響？學(xué)生課后思考，下節(jié)課共同交流。

可見，本課教學(xué)的路線是：（1）提出要研究的問題——盯住目標(biāo)；（2）思考和設(shè)計(jì)研究的方法——參數(shù)控制、參數(shù)取值、作圖分析等；（3）利用圖形計(jì)算器畫出多個(gè)函數(shù)圖像并進(jìn)行觀察；（4）歸納概括，提出猜想——從定性和定量?jī)煞矫妫唬?）對(duì)猜想進(jìn)行理性思考；（6）對(duì)結(jié)論用數(shù)學(xué)的語言做出描述。這是一個(gè)自然的探究過程，且符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從而保障了學(xué)生有充分的獨(dú)立思考的空間，有足夠的思維參與度。

如果將本課設(shè)計(jì)成：上課伊始，教師指定幾個(gè)特殊函數(shù)（比如y=sinx+π3、y=2sin x、y=sin 2x），請(qǐng)學(xué)生畫出它們的圖像并與y=sin x的圖像進(jìn)行對(duì)比，然后得到結(jié)論。在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)含有三個(gè)參數(shù)的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）怎么變化為只含有一個(gè)參數(shù)，為什么只畫這幾個(gè)函數(shù)的圖像就能得到一般性的結(jié)論，研究這類問題的一般方法是什么，等等，都缺少主動(dòng)的思考，從而被“牽著鼻子走”，處于被動(dòng)狀態(tài)。

（二）設(shè)計(jì)“好的”問題

“好問題”的標(biāo)準(zhǔn)有兩個(gè)：（1）有意義，即能反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)；（2）在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，即能形成認(rèn)知沖突，引發(fā)求知欲望，激活思維。

本課一共提出了5個(gè)主要的問題，它們的設(shè)計(jì)意圖分別是：?jiǎn)栴}1——問題是數(shù)學(xué)的心臟，任何一節(jié)課都要圍繞數(shù)學(xué)問題展開，因?yàn)閿?shù)學(xué)中任何概念、公式、定理、方法都是為解決問題而產(chǎn)生的，不是憑空想象出來的。把要學(xué)習(xí)的新知識(shí)轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問題，才可能以解決數(shù)學(xué)問題的方式進(jìn)行探究。問題2——讓學(xué)生思考研究問題的方法。在共同制定整個(gè)研究計(jì)劃的過程中，不僅讓學(xué)生掌握整個(gè)研究的方法和過程，而且讓學(xué)生學(xué)會(huì)分解問題進(jìn)行研究的策略。問題3——讓學(xué)生在研究參數(shù)對(duì)圖像影響的過程中，體會(huì)從特殊到一般、具體到抽象的思維策略，進(jìn)而體會(huì)研究問題的一般方法。重點(diǎn)是學(xué)習(xí)研究方法，即怎么探究和發(fā)現(xiàn)問題中的邏輯關(guān)系。問題4——培養(yǎng)學(xué)生理性思考的思維習(xí)慣，著重讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“變中不變”的數(shù)學(xué)思想，理解系數(shù)對(duì)三角函數(shù)圖像影響的本質(zhì)。不僅要讓學(xué)生知道結(jié)論，還要讓學(xué)生知道為什么。問題5——回顧研究問題的過程，體會(huì)研究問題的方法，如對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行分解研究以及從特殊到一般，在同一個(gè)周期內(nèi)研究三角函數(shù)圖像的變化，利用圖形計(jì)算器研究問題的一般程序，等等。

這5個(gè)環(huán)環(huán)相扣的問題就像是學(xué)海中的方向標(biāo)。在它們的指引下，學(xué)生親歷了“y=Asin（ωx+φ）的圖像”的完整的探究過程，對(duì)本課每一環(huán)節(jié)中的知識(shí)、研究方法的形成過程都有了深入的了解和充分的認(rèn)知。這5個(gè)問題在很大程度上激發(fā)了學(xué)生的求知欲望。通過它們，把學(xué)生“卷到”課堂中來，讓學(xué)生在“做”中學(xué)，在運(yùn)用方法的過程中學(xué)習(xí)方法，主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)、發(fā)明，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

三、一個(gè)核心

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的核心。概括能力是數(shù)學(xué)思維能力的基礎(chǔ)，所以，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心是設(shè)計(jì)概括過程：根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展水平和認(rèn)知規(guī)律以及數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程設(shè)計(jì)教學(xué)進(jìn)程，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，盡量采用“歸納式”，讓學(xué)生參與到卓有成效的數(shù)學(xué)活動(dòng)中來，扎扎實(shí)實(shí)地經(jīng)歷觀察與實(shí)驗(yàn)、歸納與演繹、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括等數(shù)學(xué)思維過程，體驗(yàn)知識(shí)技能、思想方法的形成。這是基本且重要的。為此，還要給學(xué)生足夠的時(shí)間與空間，讓他們獨(dú)立思考，主動(dòng)學(xué)習(xí)。

從前面的教學(xué)設(shè)計(jì)可以看到，本課教學(xué)分成了四個(gè)環(huán)節(jié)。那么在每個(gè)環(huán)節(jié)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力？

環(huán)節(jié)一，提出本課要研究的問題，并提出猜想。通常提出問題的方式有兩種，即由教師提出或由學(xué)生提出，本課是由學(xué)生提出的。本課的課題是“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”，但是怎么想到研究它與y=sin x圖像之間的關(guān)系？這是我們首先要解決的問題。由于前面畫幾個(gè)具體函數(shù)圖像（如y=sinx+π3、y=2sin x、y=sin 2x等）的時(shí)候能感覺到它們與y=sin x的圖像之間有關(guān)系，而這些具體函數(shù)的一般化形式可以寫成y=Asin（ωx+φ），自然想到例子是特殊的，那一般情況會(huì)怎樣，是不是也會(huì)存在關(guān)系，從而自然地引出本課要研究的問題，同時(shí)也提出猜想（圖像之間存在關(guān)系）。在此教學(xué)過程中，不但能讓學(xué)生感覺到研究問題的必要性，同時(shí)也能教會(huì)學(xué)生如何提出問題。

環(huán)節(jié)二，既然打算研究二者圖像之間的關(guān)系，那么怎么研究？即要制定研究的策略。函數(shù)含有三個(gè)參數(shù)，怎么辦？人類思考問題的最根本方法就是將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，所以要分解研究：先控制兩個(gè)變量，研究一個(gè)；再控制一個(gè)變量，研究?jī)蓚€(gè)；最后研究三個(gè)變量。那么控制變量時(shí)，如何給變量取值？比如，控制A和ω，研究φ對(duì)圖像的影響時(shí)，給A和ω取怎樣的值？當(dāng)然是越簡(jiǎn)單越好。最好都是0，但此時(shí)y=0，顯然不合適，所以都取1。接下來的問題是：需要在整個(gè)定義域內(nèi)研究嗎？由于是周期函數(shù)，只要在一個(gè)周期內(nèi)研究就可以了。在這樣的師生共同探討的過程中，學(xué)生獲得的是研究問題的方法，而不僅僅是結(jié)論。

環(huán)節(jié)三，借助工具得出結(jié)論，并證明。在此過程中，學(xué)生需要在眾多圖像中，觀察出“變中不變”的特征，歸納、概括出圖像變化的規(guī)律。這是對(duì)學(xué)生的觀察、概括能力的考量。而證明的過程是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練。在與同伴的交流中，學(xué)生可以互相啟發(fā)，互相學(xué)習(xí)；在匯報(bào)的過程中，學(xué)生的主動(dòng)性可以得到充分發(fā)揮。在此教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)會(huì)的是如何主動(dòng)地學(xué)習(xí)。

環(huán)節(jié)四，應(yīng)用結(jié)論解決問題，并給新問題的研究提供思路。通過回顧問題的研究過程，得到研究問題的一般思路，為今后研究新問題提供線索；通過作業(yè)和思考題，將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論（第二版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

[2] 張躍紅.“數(shù)學(xué)教學(xué)”教學(xué)生學(xué)什么——例談怎樣建構(gòu)新概念，怎樣確定研究問題的方法[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（7）.