摘 要：認(rèn)知負(fù)荷理論要求教師在教學(xué)中善于分解和降低學(xué)生的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，減少學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷，適當(dāng)增加學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，從而提升學(xué)生對(duì)復(fù)雜認(rèn)知任務(wù)的認(rèn)知加工水平。依據(jù)這一理論，提出對(duì)數(shù)定義教學(xué)設(shè)計(jì)的“八步”流程：“激”——激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；“憶”——復(fù)習(xí)舊知；“探”——探究問題；“粗”——給出科普式定義；“精”——給出形式化定義；“化”——內(nèi)化定義；“用”——應(yīng)用定義；“悟”——感悟數(shù)學(xué)的精神及思想方法。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知負(fù)荷理論 對(duì)數(shù)定義 教學(xué)設(shè)計(jì)

納皮爾發(fā)明的對(duì)數(shù)深含數(shù)學(xué)文化意蘊(yùn)，是發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）數(shù)學(xué)的經(jīng)典范例，具有較高的育人價(jià)值。不過，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)數(shù)定義是公認(rèn)的難點(diǎn)。有研究者曾調(diào)查過600名學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的情況，結(jié)果顯示：感到對(duì)數(shù)定義難學(xué)、難以理解的占74%。

筆者從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)和腦科學(xué)等角度論述過對(duì)數(shù)定義難學(xué)的原因：一是對(duì)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪難以理解，導(dǎo)致已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不足，難以同化學(xué)習(xí)；二是對(duì)對(duì)數(shù)定義的認(rèn)知加工可能導(dǎo)致工作記憶系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)過重甚至超負(fù)荷。筆者還應(yīng)用米勒的“組塊”理論，從對(duì)數(shù)定義涉及的新概念、關(guān)系、字母和符號(hào)等方面進(jìn)行過組塊數(shù)量的統(tǒng)計(jì)，結(jié)果表明：無論怎樣計(jì)算，組塊總數(shù)都會(huì)超過工作記憶容量（7±2）的上限。也就是說，相對(duì)于高一學(xué)生而言，對(duì)數(shù)定義自身所帶來的認(rèn)知負(fù)荷較高，是較為復(fù)雜的認(rèn)知任務(wù)。

下面基于認(rèn)知負(fù)荷理論，給出對(duì)數(shù)定義的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、認(rèn)知負(fù)荷理論及其教學(xué)意義簡(jiǎn)介

（一）認(rèn)知負(fù)荷理論

認(rèn)知負(fù)荷理論（Cognitive Load Theory）是由澳大利亞教育心理學(xué)家斯威勒（J.Sweller）等人于1988年提出的。該理論認(rèn)為認(rèn)知資源（即工作記憶容量）是有限的，認(rèn)知負(fù)荷的總量應(yīng)該限制其范圍內(nèi)，否則學(xué)習(xí)就會(huì)受阻或產(chǎn)生困難。該理論還把認(rèn)知負(fù)荷分為內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷。

內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是指工作記憶對(duì)認(rèn)知任務(wù)本身所包含的信息元素（如概念、規(guī)則的基本成分的數(shù)量）及其交互性進(jìn)行認(rèn)知加工活動(dòng)所產(chǎn)生的負(fù)荷。內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷源于認(rèn)知任務(wù)本身，是由相對(duì)于學(xué)習(xí)者經(jīng)驗(yàn)水平的學(xué)習(xí)材料的復(fù)雜性所帶來的，反映了獲得某種圖式所必須同時(shí)在工作記憶中加工的信息元素的量。

外在認(rèn)知負(fù)荷是指添加給內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷的額外負(fù)荷。外在認(rèn)知負(fù)荷是由學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式及其所要求的學(xué)習(xí)活動(dòng)所帶來的，主要是由不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)所導(dǎo)致的。

相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷是指與促進(jìn)圖式構(gòu)建和圖式自動(dòng)化過程相關(guān)的負(fù)荷。相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷不是必需的，但是能夠促使學(xué)習(xí)者投入更多的努力，促進(jìn)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)，通常是由良好的教學(xué)設(shè)計(jì)所產(chǎn)生的。

（二）教學(xué)意義

認(rèn)知負(fù)荷理論要求教師在教學(xué)中善于分解和降低學(xué)生的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，減少學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷，適當(dāng)增加學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，從而提升學(xué)生對(duì)復(fù)雜認(rèn)知任務(wù)的認(rèn)知加工水平。

分解內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷的本質(zhì)就是通常說的分散教學(xué)難點(diǎn)。其教學(xué)策略有：任務(wù)先“分”后“整”逐步呈現(xiàn)，任務(wù)先“簡(jiǎn)”后“繁”二次呈現(xiàn)。此外，按照奧蘇伯爾倡導(dǎo)的有意義學(xué)習(xí)理論設(shè)計(jì)教學(xué)，也能為后續(xù)的學(xué)習(xí)降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，即在學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)之前給他們呈現(xiàn)一些與所學(xué)新知識(shí)之間能夠建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的引導(dǎo)性材料，作為建構(gòu)新知識(shí)的“腳手架”。

減少外在認(rèn)知負(fù)荷的本質(zhì)就是聚焦教學(xué)內(nèi)容，減少與學(xué)習(xí)內(nèi)容無關(guān)的教學(xué)活動(dòng)。其教學(xué)策略有：精選典型問題以減少問題數(shù)量，恰當(dāng)運(yùn)用多媒體和圖表等的直觀性改變學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式，在教學(xué)內(nèi)容和要求上體現(xiàn)循序漸進(jìn)、由淺入深、由易到難、由簡(jiǎn)到繁的原則，注重前后知識(shí)（問題）之間內(nèi)在的邏輯性等。

增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷的本質(zhì)就是幫助學(xué)生激發(fā)內(nèi)在動(dòng)機(jī)，搭建同化學(xué)習(xí)的“腳手架”。其教學(xué)策略有：改變認(rèn)知任務(wù)，設(shè)置引導(dǎo)性材料，變式練習(xí)，引入故事，生動(dòng)比喻等。

二、基于認(rèn)知負(fù)荷理論的對(duì)數(shù)定義“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)

依據(jù)上述理論，筆者提出對(duì)數(shù)定義教學(xué)設(shè)計(jì)的“八步”流程：“激”“憶”“探”“粗”“精”“化”“用”“悟”。下面對(duì)這“八步”的基本含義、實(shí)施建議、設(shè)計(jì)意圖作簡(jiǎn)要說明。

（一）“激”

“激”是指激發(fā)內(nèi)在動(dòng)機(jī)，提升學(xué)習(xí)情感。具體可以呈現(xiàn)如下內(nèi)容，提出如下問題：

對(duì)數(shù)的發(fā)明是17世紀(jì)數(shù)學(xué)史上的重大事件。伽利略說：“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙?！崩绽拐f：“對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)不僅避免了冗長(zhǎng)的計(jì)算和可能的誤差，而且實(shí)際上倍延了天文學(xué)家的壽命?！?/p>

為什么對(duì)數(shù)的發(fā)明會(huì)讓天文學(xué)界和數(shù)學(xué)界如此欣喜若狂呢？什么是對(duì)數(shù)？對(duì)數(shù)又是怎樣延長(zhǎng)天文學(xué)家壽命的呢？這些是我們將要探討的問題。

設(shè)計(jì)意圖：利用名家名言，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的育人魅力，適度地增加了學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)（好奇心和求知欲），增加學(xué)生的學(xué)習(xí)意志力。

（二）“憶”

“憶”是指回憶，即復(fù)習(xí)舊知。具體可以提出如下問題：

在指數(shù)式ab=N（a>0且a≠1）中有三個(gè)量（a、b、N）。用方程的觀點(diǎn)來看，一般情況下，已知兩個(gè)量，就能求解第三個(gè)量。有幾種情況？請(qǐng)同學(xué)們思考。

（1）已知a、b，求N，如求23；（預(yù)設(shè)：冪的運(yùn)算）

（2）已知b、N，求a，如已知a2=9，求a；（預(yù)設(shè)：開方運(yùn)算）

（3）已知a、N，求b，如已知2b=5，求b。（預(yù)設(shè)：學(xué)生疑惑）

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)數(shù)是借助于指數(shù)等式ab=N（a>0且a≠1）來定義的，因此在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)定義之前，應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)指數(shù)相關(guān)知識(shí)。這里利用了先行組織者策略，意在為后面的新知學(xué)習(xí)搭建“腳手架”，降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷。此外，這三個(gè)問題的前兩個(gè)利用學(xué)生已有知識(shí)能夠解決，但是第三個(gè)利用學(xué)生已有知識(shí)不能解決。設(shè)計(jì)第三個(gè)問題有兩個(gè)意圖：一是自然地引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生產(chǎn)生解決問題的心向；二是引出下一步將要重點(diǎn)探究的問題，開啟新知的學(xué)習(xí)。因此，第三個(gè)問題起著承上啟下的作用。

（三）“探”

“探”是指探究問題。探究是解決問題的基本手段，也是發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）數(shù)學(xué)的常用方法。探究源于問題。當(dāng)面對(duì)的新問題不能用現(xiàn)成方法解決時(shí)，學(xué)生的探究意識(shí)就會(huì)自然產(chǎn)生。

針對(duì)問題“已知2b=5，求b”，可以設(shè)計(jì)如下探究過程：首先，用代數(shù)方法（如解方程），不能奏效（注：盡量讓學(xué)生說出這個(gè)結(jié)論）；其次，若只看2b=5的左邊，就得到指數(shù)函數(shù)y=2b，又由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知這樣的b唯一存在（定性的結(jié)論），但是無法求出b的精確值（注：盡量讓學(xué)生得出這個(gè)結(jié)論）；綜上，b是存在且唯一的，但是用代數(shù)方法和幾何方法都不能求出b的精確值（注：?jiǎn)l(fā)并幫助學(xué)生得出這個(gè)結(jié)論）。

探究到這里，學(xué)生一般會(huì)有兩種不同的態(tài)度：一是放棄，二是創(chuàng)造（新的方法）。這時(shí)，教師可以講解：“蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾沒有選擇放棄，而是選擇創(chuàng)造（新的方法）。他為了解決這類問題，花費(fèi)了十多年時(shí)間，發(fā)明了對(duì)數(shù)。在這個(gè)問題中，納皮爾把b叫作由2和5確定的對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)，記作b=log25?！?/p>

至此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)納皮爾解決這類問題的思路：首先給b下一個(gè)定義，或者說給它起一個(gè)名字，叫作對(duì)數(shù)；然后研究對(duì)數(shù)的性質(zhì)；接著研究計(jì)算b的方法；最后應(yīng)用這個(gè)新發(fā)明的對(duì)數(shù)解決新問題。這個(gè)過程可歸結(jié)為“問題→定義→性質(zhì)→計(jì)算→應(yīng)用”，它正是數(shù)學(xué)家研究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般方法和步驟。

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)問題的深度探究，引出數(shù)學(xué)家研究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般方法和步驟，對(duì)本課而言，增加了學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷，但是對(duì)今后的“數(shù)學(xué)研究和發(fā)現(xiàn)”來說，減少了學(xué)生的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷。學(xué)生沒有對(duì)數(shù)以及對(duì)數(shù)符號(hào)的圖式，因此這一問題不適合探究學(xué)習(xí)，所以教師通過納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)的故事直接說出“b叫作對(duì)數(shù)”——這里講述納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)的故事還在于滲透數(shù)學(xué)文化教育。需要說明的是，為了有效降低外在認(rèn)知負(fù)荷，這里沒有采取一步到位的設(shè)計(jì)。也就是說，這里不是直接講解最為一般（抽象）的等式ab=N中的b叫作什么，而是把a(bǔ)和N取定并且取得非常簡(jiǎn)單。等式2b=5中只有一個(gè)“未知數(shù)”，從學(xué)生觀察的角度看，其著眼點(diǎn)極易聚焦到“未知數(shù)”b上，因此外在需要認(rèn)知的東西只有b，其外在認(rèn)知負(fù)荷不高。若直接考察等式ab=N，共有三個(gè)“未知數(shù)”，學(xué)生觀察的著眼點(diǎn)就不容易聚焦了，這就會(huì)增加外在認(rèn)知負(fù)荷。還需說明的是，納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)并不是完全按照“問題→定義→性質(zhì)→計(jì)算→應(yīng)用”的步驟。這里的做法體現(xiàn)了“教育數(shù)學(xué)”的理念，意在讓學(xué)生了解研究數(shù)學(xué)的一般方法和步驟，為學(xué)生今后“研究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”埋下伏筆。

這里，還可以呈現(xiàn)一個(gè)變式練習(xí)：已知3t=7，按照納皮爾定義，在3、7、t中哪個(gè)叫對(duì)數(shù)？由此幫助學(xué)生鞏固和強(qiáng)化從上述問題中獲得的新概念（即對(duì)數(shù)）。

（四）“粗”

“粗”是指“粗定義”，或者說科普式定義。具體可以講解如下內(nèi)容：

在ab=N（a>0且a≠1）中，由a和N確定的數(shù)b叫作對(duì)數(shù)。簡(jiǎn)言之，b叫作對(duì)數(shù)。說得更簡(jiǎn)單些，就是在ab=N中，指數(shù)（b）叫作對(duì)數(shù)。

符號(hào)log是一個(gè)整體，不能分開看。符號(hào)logaN表示以a為底N的對(duì)數(shù)，其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作對(duì)數(shù)的真數(shù)。簡(jiǎn)言之，a叫作底數(shù)，N叫作真數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：這里引入“粗定義”，增加了相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，為下一步降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷打下了基礎(chǔ)：對(duì)數(shù)的“粗定義”自然就成了對(duì)數(shù)定義的引導(dǎo)性材料。也可以說，此步的“粗定義”相當(dāng)于在第三步和第五步之間搭了一個(gè)“橋”。由于“粗定義”易于理解和接受，其心理加工也不會(huì)發(fā)生困難。在講解“粗定義”的同時(shí)，讓學(xué)生提前認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)的符號(hào)，也是在為下一步學(xué)習(xí)定義減少內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷。此外，好的教學(xué)在于不斷地把學(xué)生的思維引向深入，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)然需要把問題及其變式作進(jìn)一步抽象和一般化。第三步的問題及練習(xí)中都只有一個(gè)“未知數(shù)”，相對(duì)比較直觀和特殊。這里對(duì)直觀和特殊的事例作進(jìn)一步抽象和一般化，正是弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)化”。

（五）“精”

“精”是指“精定義”，或者說形式化定義。概念教學(xué)的最終目標(biāo)是達(dá)到定義的形式化標(biāo)準(zhǔn)，即達(dá)到定義的嚴(yán)密化、符號(hào)化、一般化等要求。有了前面四步教學(xué)的鋪墊，學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的定義就水到渠成了：

如果ab=N（a>0且a≠1），那么b叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN，其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作對(duì)數(shù)的真數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：給對(duì)數(shù)賦予形式化的定義，使其形成一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象，不僅實(shí)現(xiàn)了定義的嚴(yán)密化、符號(hào)化、一般化，而且可以有效促進(jìn)學(xué)生將其融入已有的認(rèn)知圖式中。在講解定義時(shí)，沒有探究“a>0且a≠1”的主要目的是不增加外在認(rèn)知負(fù)荷。

（六）“化”

“化”是指內(nèi)化。學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于認(rèn)知，認(rèn)知的目的在于內(nèi)化。內(nèi)化就是使知識(shí)圖式化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。對(duì)數(shù)定義的內(nèi)化可以從概念域，對(duì)數(shù)符號(hào)的讀法、寫法，指數(shù)與對(duì)數(shù)的等價(jià)互化關(guān)系等方面進(jìn)行。

（1）概念域：對(duì)數(shù)、指數(shù)、底數(shù)、真數(shù)、冪值，見表1。

（2）符號(hào)“l(fā)ogaN”的讀法：以a為底N的對(duì)數(shù)。

（3）符號(hào)“l(fā)ogaN”的寫法：四線三格法，將底數(shù)a寫在下標(biāo)的位置，真數(shù)N寫在“l(fā)og”的橫向“重心線”位置。

（4）指數(shù)與對(duì)數(shù)的等價(jià)互化關(guān)系：當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，有ab=Nb=logaN。

設(shè)計(jì)意圖：采用表格形式幫助學(xué)生形成概念域，有助于降低外在認(rèn)知負(fù)荷。強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)符號(hào)的規(guī)范讀法和寫法（教師示范，學(xué)生邊讀邊寫），可以增強(qiáng)學(xué)生的熟悉程度。強(qiáng)化指數(shù)與對(duì)數(shù)的等價(jià)互化關(guān)系，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)和理解，體會(huì)化歸思想。需要說明的是，指數(shù)與對(duì)數(shù)的等價(jià)互化關(guān)系特別重要，由此可以演繹出對(duì)數(shù)的全部性質(zhì)。在本課中，限于時(shí)間，一種做法是點(diǎn)到為止，另一種更為積極的做法是布置研究性學(xué)習(xí)課題“由ab=Nb=logaN能推出什么”，這體現(xiàn)了“帶著問題走出教室”的理念。

（七）“用”

“用”是指應(yīng)用，同時(shí)兼鞏固練習(xí)之任務(wù)。練習(xí)的核心目的是使內(nèi)化后得到的圖式更加清晰、明確和牢固，最終達(dá)到思維模塊化、反應(yīng)自動(dòng)化的水平，為將來解決新的數(shù)學(xué)問題減少內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決新的數(shù)學(xué)問題時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮何時(shí)用、怎樣用、用的效果如何等問題。具體可以設(shè)計(jì)如下例題：

將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式。

（1）54=625；

（2）2-6=164；

（3）13m=5.73；

（4）log1216=-4。

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的等價(jià)互化關(guān)系，加深對(duì)各字母意義的準(zhǔn)確理解。為了降低新授課學(xué)習(xí)的難度，例題給的都是具體數(shù)字。等學(xué)生對(duì)指數(shù)與對(duì)數(shù)的等價(jià)互化關(guān)系初步掌握之后，應(yīng)當(dāng)增加問題的抽象性，比如增加一些字母，使學(xué)生更深刻地理解指數(shù)與對(duì)數(shù)的等價(jià)互化關(guān)系。這就既遵循了循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，又體現(xiàn)了“靜待花開”的教育藝術(shù)。

（八）“悟”

“悟”是指感悟數(shù)學(xué)的精神及思想方法?！皩W(xué)之道在于悟?！睌?shù)學(xué)的精神及思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，具有一定的隱蔽性和概括性。

對(duì)數(shù)定義蘊(yùn)涵深刻的數(shù)學(xué)精神和思想，首先讓學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)新精神（即發(fā)明創(chuàng)造精神），其次讓學(xué)生經(jīng)歷了“問題→探究→理論”的“數(shù)學(xué)化”和數(shù)學(xué)研究、發(fā)現(xiàn)的過程，最后發(fā)掘深藏在定義中的分類討論、方程、類比、符號(hào)化等思想。此步不安排在本節(jié)課內(nèi)全部完成，因?yàn)椤拔颉毙枰容^長(zhǎng)的時(shí)間。

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)數(shù)定義的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造精神和一般方法。由于數(shù)學(xué)思想的隱喻性和概括性，因此教學(xué)時(shí)需深入鉆研教材，充分挖掘其中的數(shù)學(xué)精神和思想方法，然后有目的、有意識(shí)、有計(jì)劃、有步驟地滲透、介紹，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)到數(shù)學(xué)思考問題、解決問題的一般思想方法。

*本文系四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目（編號(hào)：ZY16001）和內(nèi)江師范學(xué)院2016年度校級(jí)學(xué)科建設(shè)特色培育項(xiàng)目（T160009、T160010、T160011）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙思林.對(duì)數(shù)定義難學(xué)的心理分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（6）.

[2] Sweller，J. Merrienboer，J. Paas，F(xiàn).Cognitive architecture and instructional design[J].Educational Psychology Review，1998（3）.

[3] 李爽，王光明.認(rèn)知負(fù)荷理論視角下的勾股定理教學(xué)課件設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（1）.

[4] 唐劍嵐，周瑩.認(rèn)知負(fù)荷理論及其研究的進(jìn)展與思考[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008（4）.

[5] 龐維國.認(rèn)知負(fù)荷理論及其教學(xué)涵義[J].當(dāng)代教育科學(xué)，2011（12）.

[6] 汪明，曹道平.基于認(rèn)知負(fù)荷理論的有效教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].現(xiàn)代教育技術(shù)，2013（5）.