朱堅民 李 堯 何丹丹 田豐慶 李孝茹

上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院，上海，200093

0 引言

銑刀的精確建模是準確預(yù)測其刀尖點頻響函數(shù)的前提，銑刀刀齒結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以直接建模計算其頻響函數(shù)[1-2]，建立銑刀的等效模型是一種可行的方法。常用的銑刀等效建模方法是將銑刀整體視為階梯梁模型，即將銑刀劃分為刀桿和刀齒兩個部分，將刀齒部分等效為等直徑圓柱梁。銑刀刀齒等效直徑的確定方法有多種，VODT[3]首先提出了銑刀刀齒段等效直徑的概念，利用刀齒剛度相等的原則(即等剛度法)計算銑刀刀齒等效直徑，以2刃、4刃立銑刀為研究對象，研究銑刀等效模型與實際銑刀之間的受力變形誤差。張俊等[4]以銑刀刀齒橫截面面積相等(即等截面積法)為原則計算刀齒的等效直徑，并以3把銑刀為驗證對象與等質(zhì)量法、等慣性矩法所確定的刀齒等效直徑精度進行了對比。ZHANG等[5]利用銑刀等效前后刀齒質(zhì)量不變原則(即等質(zhì)量法)計算銑刀刀齒等效直徑，利用響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)法(receptance coupling substructure analysis,RCSA)計算主軸系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)，對比其與主軸系統(tǒng)刀尖點實測頻響函數(shù)固有頻率之間的誤差，結(jié)果證明兩者誤差較小。等質(zhì)量法簡單可靠，是刀齒等效直徑確定方法中應(yīng)用最廣泛的方法。張俊等[6]利用等質(zhì)量法、等截面積法、等剛度法三種等效方法分別確定銑刀刀齒的等效直徑，并分析了刀齒截面慣性矩、刀齒螺旋角、刀齒長度占總長百分比、銑刀長度與直徑比值等因素對三種刀齒等效直徑計算方法所引起的相對誤差變化規(guī)律。文獻[7-10]在計算銑刀頻響特性時將銑刀整體等效為一個等直徑圓柱梁，采用刀齒最外端的包絡(luò)圓直徑作為刀齒等效直徑。該方法雖然簡化了銑刀頻響函數(shù)計算，但其計算誤差較大，由此預(yù)測的刀尖點頻響函數(shù)精度較低。

實際上，目前已有的銑刀刀齒等效直徑計算方法各有優(yōu)缺點和適用性，由其計算銑刀刀尖點頻響函數(shù)時會受到銑刀的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)的不確定性影響，當面對一把未知參數(shù)的刀具時，很難確定哪種等效方法最佳。針對此問題，本文提出一種新的銑刀刀齒等效直徑確定方法，該方法彌補了不同參數(shù)下銑刀建模方法之間的差異，基于對銑刀等效模型的子結(jié)構(gòu)分析和理論計算建立刀齒等效直徑優(yōu)化的目標函數(shù)，采用遺傳算法尋優(yōu)確定刀齒的等效直徑，并與等質(zhì)量法確定的刀齒等效直徑進行對比，驗證本文方法的有效性。

1 基本原理

1.1 銑刀的等效建模

本文將圖1a所示的銑刀等效為圖1b所示的階梯圓柱梁，再將其進一步劃分為圖1c的兩個子結(jié)構(gòu)，其中子結(jié)構(gòu)Ⅰ為刀桿部分，其直徑已知；子結(jié)構(gòu)Ⅱ為刀齒部分，其直徑未知，記為d。

(a)銑刀

(b)銑刀等效模型

(c)子結(jié)構(gòu)劃分圖1 銑刀等效模型及其子結(jié)構(gòu)劃分Fig.1 Equivalent model and substructure division of milling cutter

圖1中，A1為銑刀刀桿端點，B為刀尖點，A2為刀桿與刀齒的分界點。c1、c2為子結(jié)構(gòu)Ⅰ兩端端點，c3、c4為子結(jié)構(gòu)Ⅱ兩端端點。

子結(jié)構(gòu)Ⅰ、子結(jié)構(gòu)Ⅱ可視為等直徑的EB梁，自由狀態(tài)下的EB梁單元兩端的頻響函數(shù)矩陣Rij可寫成

(1)

式中，hij為在梁單元的點j處施加單位力引起的點i處的平動位移響應(yīng)；lij為在梁單元的點j處施加單位力矩引起的點i處的平動位移響應(yīng)；nij為在梁單元的點j處施加單位力引起的點i處的轉(zhuǎn)角響應(yīng)；pij為在梁單元的點j施加單位力矩引起的點i處的轉(zhuǎn)角響應(yīng)。

當i=j時，Rij為原點頻響函數(shù)；當i≠j時，Rij為跨點頻響函數(shù)。

圖1c中，點c3處的原點位移頻響函數(shù)hc3c3可由EB梁模型[11]計算，其計算公式如下：

(2)

(3)

(4)

式中，E為刀具材料的彈性模量;I為子結(jié)構(gòu)Ⅱ的截面慣性矩;l為子結(jié)構(gòu)Ⅱ的長度;m為子結(jié)構(gòu)Ⅱ的質(zhì)量;ω為角頻率;η為子結(jié)構(gòu)Ⅱ的阻尼因子;d為子結(jié)構(gòu)Ⅱ的直徑。

根據(jù)式(2)所確定的hc3c3是含有未知數(shù)d的子結(jié)構(gòu)Ⅱ上點c3處的原點位移頻響函數(shù)。

1.2 c3點位移頻響函數(shù)的子結(jié)構(gòu)分析與計算

(a)銑刀等效模型

(b)子結(jié)構(gòu)劃分圖2 銑刀等效模型及其子結(jié)構(gòu)分析模型Fig.2 Equivalent model of milling cutter and analysis model of substructure

圖2中，xi(i=A1、A2、c1、c2、c3)分別表示銑刀等效模型(子結(jié)構(gòu)Ⅰ、子結(jié)構(gòu)Ⅱ)在力載荷fA1、fA2作用下點i處的平動位移；θj(j=A2、c2、c3)表示等效模型(或子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ)在力載荷fA1、fA2作用下點j處的轉(zhuǎn)動位移。根據(jù)圖2所示銑刀等效模型、子結(jié)構(gòu)Ⅰ與子結(jié)構(gòu)Ⅱ之間的連接關(guān)系，確定其位移協(xié)調(diào)方程如下：

(5)

力平衡方程為

(6)

式中，mA2為銑刀等效模型在點A2處受到的力矩;fc1、fc2、fc3分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ上點c1、c2、c3處的受力;mc2、mc3分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ上點c2、c3處受到的力矩。

fc2和mc2可表示成fA1、fA2、mA2的函數(shù)，即[12]

fc2=αfA1+βfA2+γmA2

(7)

mc2=λfA1+μfA2+χmA2

(8)

式中，α、λ、β、μ、γ、χ為未知系數(shù)。

由式(5)中的xA1=xc1，可得

(9)

由式(5)中xA2=xc2，可得

(10)

由式(6)中fA1=fc1，結(jié)合式(7)、式(8)，可將式(9)寫成如下形式：

hA1A1fA1+hA1A2fA2+lA1A2mA2=(hc1c1+αhc1c2+
λlc1c2)fA1+(βhc1c2+μlc1c2)fA2+(γhc1c2+χlc1c2)mA2

(11)

由式(6)中fA1=fc1，結(jié)合式(7)、式(8)，可將式(10)寫成如下形式：

hA2A1fA1+hA2A2fA2+lA2A2mA2=(hc2c1+αhc2c2+
λlc2c2)fA1+(βhc2c2+μlc2c2)fA2+(γhc2c2+χlc2c2)mA2

(12)

根據(jù)頻響函數(shù)的互易性原理，有hA1A2=hA2A1，由式(11)、式(12)可得

hc2c1+αhc2c2+λlc2c2=βhc1c2+μlc1c2

(13)

根據(jù)式(11)、式(12)等號兩邊f(xié)A1、fA2的系數(shù)對應(yīng)相等及式(13)，可得

(14)

其中，位移頻響函數(shù)hc1c2、lc1c2、lc2c2、hc2c2可在子結(jié)構(gòu)Ⅰ中通過EB梁模型計算確定，位移頻響函數(shù)hA1A1、hA1A2、hA2A2可在銑刀自由狀態(tài)下對銑刀A1、A2點進行模態(tài)錘擊實驗確定，從而可解出未知系數(shù)α、λ、β、μ。

由式(5)中的xc2=xc3可得

(15)

根據(jù)式(6)，整理式(15),得

(16)

聯(lián)立式(7)、式(8)、式(16)，整理后可得

(17)

根據(jù)式(17)兩邊f(xié)A1、fA2系數(shù)對應(yīng)相等，整理可得

(18)

由式(18)可得

(19)

由式(19)進一步整理后可以得到

(20)

式(20)即為通過子結(jié)構(gòu)分析和實驗測試所確定的子結(jié)構(gòu)Ⅱ在點c3處的位移頻響函數(shù)h'c3c3。

1.3 刀齒等效直徑d的優(yōu)化

刀齒等效直徑d的優(yōu)化原理如圖3所示，本文采用遺傳算法對等效直徑d進行優(yōu)化。遺傳算法是一種高效的全局尋優(yōu)搜索算法[13]，廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、自動控制、圖像處理、參數(shù)識別[14-15]等領(lǐng)域。尋優(yōu)過程中的相關(guān)說明如下：

圖3 刀齒等效直徑的優(yōu)化原理Fig.3 Optimization principle of milling cutter tooth’s equivalent diameter

(1)優(yōu)化變量。以子結(jié)構(gòu)Ⅱ的直徑d(銑刀刀齒等效直徑)為優(yōu)化變量，采用十進制浮點數(shù)進行編碼，初始群體中的個體在所設(shè)定的尋優(yōu)范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生。

(21)

(3)約束條件。由于銑刀刀齒的等效直徑最大為刀桿直徑ds，由此確定等效直徑d的尋優(yōu)范圍為[0,ds]。

(4)收斂準則。本文通過設(shè)置最大尋優(yōu)迭代參數(shù)來終止尋優(yōu)進程，設(shè)置為100代。

采用MATLAB Toolbox中的Sheffield遺傳算法工具箱函數(shù)，并利用MATLAB軟件編寫程序，尋優(yōu)確定刀齒的等效直徑d。

2 實驗研究

2.1 銑刀的頻響特性測試

本文以圖4所示的5把不同參數(shù)的2刃、3刃和4刃銑刀為研究對象進行實驗測試、刀齒等效直徑計算、刀尖點頻響函數(shù)預(yù)測，各銑刀的編號、材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖4 實驗銑刀Fig.4 The experiment milling cutters

銑刀編號刃數(shù)材料總長(mm)刀桿直徑(mm)刀桿長度(mm)刀齒長度(mm)A4硬質(zhì)合金1001046．453．6B2硬質(zhì)合金1001247．053．0C2硬質(zhì)合金1501085．964．1D2硬質(zhì)合金1501296．054．0E3高速鋼1101241．069．0

如圖5所示，為模擬銑刀的自由狀態(tài)，將銑刀的兩端用彈性皮筋懸掛。實驗測試分為兩種情況。

(1)測試銑刀A1、A2點的原點與跨點位移頻響函數(shù)。測試時在銑刀刀桿端部(A1點)、刀桿與刀齒分界點(A2點)分別布置一個三向加速度傳感器(型號BK 4525B-B)，測量A1、A2點的原點位移頻響函數(shù)hA1A1、hA2A2和跨點位移頻響函數(shù)hA1A2，如圖5a所示。

(2)測量銑刀刀尖點頻響函數(shù)。測試時在銑刀刀尖處布置一個三向加速度傳感器(型號：BK 4525B-B)，測試刀尖點頻響函數(shù)hBB，供后續(xù)驗證等效直徑的計算精度，如圖5b所示。

(a)銑刀A1、A2原點及跨點位移頻響函數(shù)測試

(b)銑刀刀尖點頻響函數(shù)測試圖5 銑刀的頻響特性測試Fig.5 Milling cutter’s frequency response test

考慮到銑刀的結(jié)構(gòu)尺寸較小，實驗時選用PCB小型力錘(型號：PCB Model 086E80)對銑刀進行激振。測試系統(tǒng)為LMS SCADAS Mobile，實驗時同步采集加速度信號和激振力信號，配合使用LMS Test Lab軟件對每個測點分別進行5次測量取平均值作為最后分析結(jié)果。

為驗證上述實驗裝置和測試方法的有效性，選用一根等直徑圓柱棒(直徑為10 mm、長度為150 mm，材料為硬質(zhì)合金)為驗證對象進行測試實驗，其原點響應(yīng)的測試值和理論計算值如圖6所示，二者吻合得很好，說明上述測試方法正確可行。

圖6 圓棒原點響應(yīng)頻響函數(shù)的實驗值與計算值Fig.6 The round rod’s FRF measured and the calculated

根據(jù)圖5所示的方法，對表1中5把銑刀分別進行實驗測試，得到各銑刀對應(yīng)的原點位移頻響函數(shù)hA1A1、hA2A2和跨點位移頻響函數(shù)hA1A2以及銑刀刀尖點頻響函數(shù)hBB。

2.2 刀齒等效直徑的計算

為說明本文方法的有效性，將本文方法和等質(zhì)量法進行對比。等質(zhì)量法是確定銑刀刀齒等效直徑最常用的一種方法，它基于銑刀等效前后質(zhì)量相等的原則確定刀齒等效直徑dm，其計算公式如下：

(22)

式中，M為銑刀質(zhì)量；ρ為銑刀密度；ds為刀桿直徑；ls為刀桿長度；lm為刀齒長度。

以表1中的5把銑刀為研究對象，按本文方法和等質(zhì)量法計算的刀齒等效直徑如表2所示。

表2 二種等效方法計算的刀齒等效直徑Tab.2 The equivalent diameter of cutter toothcalculated by the two equivalent methods mm

2.3 刀齒等效直徑的計算精度分析

為驗證本文方法的有效性，基于圖1c的子結(jié)構(gòu)劃分，在子結(jié)構(gòu)Ⅱ直徑d(或等質(zhì)量法確定的dm)已知的情況下，采用RCSA[16-17]剛性耦合子結(jié)構(gòu)Ⅰ(刀桿)和子結(jié)構(gòu)Ⅱ(刀齒)，通過下式計算得到銑刀刀尖點頻響函數(shù)：

(23)

式中，hBB為銑刀刀尖點頻響函數(shù)；Rc4c4、Rc4c3、Rc3c3、Rc2c2、Rc3c4可由子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的二個EB梁模型計算得到。

將表2中兩種不同的方法所確定的刀齒等效直徑代入式(23)可分別計算出5把銑刀的刀尖點頻響函數(shù)，并與各自的實測結(jié)果進行對比，結(jié)果如圖7～圖11所示。

圖7 本文方法、等質(zhì)量法計算的銑刀A刀尖點頻響函數(shù)與實測結(jié)果的對比Fig.7 Comparison of milling cutter A point FRF measured with the calculated by the two methods

圖8 本文方法、等質(zhì)量法計算的銑刀B刀尖點頻響函數(shù)與實測結(jié)果的對比Fig.8 Comparison of milling cutter B point FRF measured with the calculated by the two methods

圖9 本文方法、等質(zhì)量法計算的銑刀C刀尖點頻響函數(shù)與實測結(jié)果的對比Fig.9 Comparison of milling cutter C point FRF measured with the calculated by the two methods

圖10 本文方法、等質(zhì)量法計算的銑刀D刀尖點頻響函數(shù)與實測結(jié)果的對比Fig.10 Comparison of milling cutter D point FRF measured with the calculated by the two methods

圖11 本文方法、等質(zhì)量法計算的銑刀E刀尖點頻響函數(shù)與實測結(jié)果的對比Fig.11 Comparison of milling cutter E point FRF measured with the calculated by the two methods

由圖7～圖11可知，基于本文方法所確定的刀齒等效直徑所計算的銑刀刀尖點頻響函數(shù)比等質(zhì)量法更接近實測頻響函數(shù)曲線。為進一步量化對比，列出基于兩種方法所計算的銑刀刀尖點頻響函數(shù)固有頻率與實驗結(jié)果的固有頻率,如表3所示。由表3可看出：本文方法計算的刀尖點頻響函數(shù)固有頻率與實驗固有頻率的相對誤差在0.6%～6.5%之間，而由等質(zhì)量法所計算的刀尖點頻響函數(shù)固有頻率與實驗固有頻率的相對誤差在4.1%～11.3%之間，本文方法獲得了更高的計算精度，并且對不同參數(shù)的銑刀具有更好的適用性。

3 結(jié)論

(1)提出了一種新的銑刀刀齒等效直徑的優(yōu)化確定方法，該方法將銑刀劃分為刀齒和刀桿兩個子結(jié)構(gòu)，基于理論分析、子結(jié)構(gòu)分析和頻響函數(shù)測試確定優(yōu)化刀齒等效直徑的目標函數(shù)，通過遺傳算法確定刀齒的等效直徑。

(2)以多把不同參數(shù)的銑刀為研究對象，采用本文方法、等質(zhì)量法分別確定其刀齒等效直徑，進而計算出銑刀刀尖點頻響函數(shù)，對比了兩種方法的刀尖點頻響函數(shù)計算值與實測值之間的差異，結(jié)果表明本文方法具有更高的計算精度，且對銑刀參數(shù)的變化不敏感，具有更好的適用性。

表3 二種等效方法計算的銑刀刀尖點頻響函數(shù)固有頻率對比Tab.3 Comparison of milling cutter point’s FRF naturalfrequencies measured with calculated by the twoequivalent methods

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