周玉林 楊 龍,2 肖 超

1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,秦皇島,066004 2.石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,石家莊,050043

0 引言

機(jī)構(gòu)靜剛度對于機(jī)構(gòu)的工程應(yīng)用具有重要參考意義。目前，并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度方面的研究已經(jīng)取得一定進(jìn)展。徐東濤等[1]以改進(jìn)型Delta機(jī)構(gòu)為研究對象,建立了彈性變形和重力參數(shù)的剛度模型。曲海波等[2]研究了一種4-RRS冗余球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)并對其進(jìn)行了靜力學(xué)和剛度分析。CECCARELLI等[3]采用公式化剛度性能指標(biāo)的方法，得到了Cassino并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣； TSAI等[4]將4種三自由度平動機(jī)構(gòu)的剛度特性作了詳細(xì)的對比分析；CHAKAROV[5]建立了冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度控制圖譜，并得到了該機(jī)構(gòu)的剛度解析模型；王友漁等[6]以Tricept機(jī)械手的三自由度球坐標(biāo)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，提出了含恰約束支鏈的并聯(lián)構(gòu)型裝備的靜剛度解析建模方法；汪滿新等[7]建立了一種基于全變形雅可比矩陣的混聯(lián)機(jī)器人模塊Bicept的靜剛度半解析模型；李樹軍等[8]基于守恒協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)換剛度矩陣，推導(dǎo)出了3-RRR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度結(jié)構(gòu)位形部分的解析表達(dá)式；趙鐵石等[9]基于影響系數(shù)法并借助虛功原理建立了空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)連續(xù)剛度非線性映射通用模型；胡波等[10]以傳統(tǒng)的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，研究了考慮約束反力產(chǎn)生變形的剛度模型的建立方法；ZHOU等[11]利用彈性小變形疊加原理對UP+R二自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度特性進(jìn)行了詳細(xì)研究。

本文提出了一種新型PRRR+PURU+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，首先推導(dǎo)機(jī)構(gòu)總變形與構(gòu)件上各力的關(guān)系，再利用構(gòu)件上各力與機(jī)構(gòu)外載荷的關(guān)系(靜力學(xué)分析)，得到機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣；將靜剛度矩陣正交化，從而得到機(jī)構(gòu)的6個主剛度值及其所在的方向。實(shí)例計(jì)算的結(jié)果表明，新型踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的線位移剛度大幅增大，基本實(shí)現(xiàn)剛度均衡。

1 新型PRRR+PURU+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)

圖1所示為UP+R踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)的橫滾支鏈由連桿1和3個轉(zhuǎn)動副組成，俯仰支鏈由連桿2-1、連桿2-2(分別對應(yīng)90°的圓心角)和3個轉(zhuǎn)動副組成；2個伺服電機(jī)M1、M2安裝在機(jī)架(固定叉架)上，電機(jī)軸互相垂直；動平臺的2個轉(zhuǎn)動副軸線垂直，可以實(shí)現(xiàn)2個方向的轉(zhuǎn)動。

圖1 UP+R踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)Fig.1 Ankle mechanism UP+R

UP+R踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)保留了二自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)UP+R的良好運(yùn)動學(xué)特性，但是，由靜力學(xué)、靜剛度分析結(jié)果可知，UP+R踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)2個運(yùn)動支鏈的剛度非常小，不能滿足實(shí)際應(yīng)用的要求。

為了增大UP+R踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的剛度，增加1條中心球面副約束支鏈，并對2個運(yùn)動支鏈進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)，從而得到新型PRRR+PURU+S踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 PRRR+PURU+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)Fig.2 Spherical parallel humanoid ankle mechanism PRRR+PURU+S

支鏈2由機(jī)架、驅(qū)動滑塊Ⅱ、拉桿Ⅱ和動平臺組成。拉桿Ⅱ由通過轉(zhuǎn)動副B2連接的上、下拉桿組成，轉(zhuǎn)動副的軸線沿拉桿Ⅱ的長度方向。拉桿Ⅱ的上端、下端分別通過虎克鉸A2、虎克鉸C2與驅(qū)動滑塊Ⅱ、動平臺相連接。在初始位姿時，驅(qū)動滑塊Ⅱ的軸線和拉桿Ⅱ的軸線組成的平面垂直于弧形叉的平面。

支鏈3為機(jī)架和動平臺組成的中心球面副支鏈。在驅(qū)動滑塊Ⅰ和Ⅱ的驅(qū)動下，動平臺可以實(shí)現(xiàn)2個方向的擺動。

取中心球面副的球心點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立與機(jī)架固連的固定坐標(biāo)系OXYZ。其中，Z軸與機(jī)架軸線重合，方向豎直向下，Y軸與支鏈1的轉(zhuǎn)動副軸線重合，方向如圖2所示，X軸方向軸由右手法則確定。

2 動平臺角位移及球心點(diǎn)線位移

為了便于研究，各轉(zhuǎn)動副處的變形和間隙忽略不計(jì)，并采取連續(xù)性假設(shè)、均勻性假設(shè)和各向同性假設(shè)，假設(shè)機(jī)構(gòu)的所有構(gòu)件(除動平臺)均滿足彈性小變形條件。

2.1 支鏈1傳遞到動平臺的變形

與弧形叉直接傳遞到動平臺的變形相比，驅(qū)動滑塊Ⅰ的變形和拉桿Ⅰ傳遞到動平臺的變形都非常小，故忽略不計(jì)，只考慮弧形叉的變形。

弧形叉的軸向變形和垂直桿件方向的變形相對于弧形叉扭轉(zhuǎn)和彎曲變形非常小，忽略不計(jì)。同時，轉(zhuǎn)動副B1處的作用力對弧形叉的扭轉(zhuǎn)和彎曲變形沒有影響，忽略不計(jì)。為便于研究弧形叉的變形，將其分為桿1-1和桿1-2兩部分，如圖3所示。

圖3 弧形叉示意圖Fig.3 Diagram of the arc-shaped fork

桿1-i(i=1,2)的一端受三個力F1i、R1i、P1i和兩個力矩Mf1i、Mr1i的作用，另一端簡化為固定端，如圖4所示。設(shè)弧形叉的切線方向?yàn)閟方向，弧形叉的曲率半徑方向?yàn)閙方向，垂直于弧形叉平面的方向?yàn)閚方向。u1i、v1i、w1i(i=1,2)分別為固定坐標(biāo)系下的單位方向矢量。Msi(φ)、Mmi(φ)、Mni(φ)為上述作用力引起的桿1-i任意截面φ處的力矩。當(dāng)φ=90°時，Msi(φ)引起的扭轉(zhuǎn)變形為θsi；Mmi(φ)引起的撓度變形為νmi、轉(zhuǎn)角變形為θmi；Mni(φ)引起的撓度變形為νni、轉(zhuǎn)角變形為θni。所以，桿1-1和桿1-2與動平臺連接點(diǎn)的線位移、可傳遞到動平臺的角位移分別為

(1)

(2)

圖4 桿1-i簡化模型Fig.4 Simplified model of rod 1-i

2.2 支鏈2傳遞到動平臺的變形

在支鏈2的變形中，與拉桿Ⅱ的變形相比，驅(qū)動滑塊Ⅱ的變形非常小，忽略不計(jì)。設(shè)拉桿Ⅱ的上拉桿、下拉桿的拉伸變形分別為Δ21、Δ22。

動平臺會產(chǎn)生微小的位姿調(diào)整，假設(shè)上拉桿相對于驅(qū)動滑塊Ⅱ沿單位矢量u24、v24方向分別存在牽連角位移e21、e22，下拉桿相對于上拉桿沿單位矢量w23方向存在牽連角位移e23，則上拉桿、下拉桿的實(shí)際角位移分別為

(3)

由牽連角位移引起上、下拉桿產(chǎn)生的線位移分別為

(4)

式中，l2、l3分別為上拉桿、下拉桿的長度。

由小變形疊加原理，分別得到下拉桿與動平臺的連接點(diǎn)處的線位移、角位移的表達(dá)式如下：

(5)

2.3 支鏈3傳遞到動平臺的變形

圖5 機(jī)架的簡化模型Fig.5 Simplified model of rack

Δ3=νf3u3+νr3v3+νp3w3

(6)

式中,u3、v3、w3均為單位矢量。

2.4 動平臺角位移與球心點(diǎn)線位移

三條支鏈的小變形使動平臺產(chǎn)生微小的位姿調(diào)整，假設(shè)動平臺相對于機(jī)架沿單位矢量u3、v3、w3方向的角位移分別為e01、e02、e03，則動平臺的角位移、動平臺與弧形叉的兩個連接點(diǎn)的角位移分別為

(7)

三條支鏈與動平臺連接處的線位移與動平臺角位移的矢量關(guān)系如圖6所示。

圖6 位移矢量關(guān)系Fig.6 Relationship between displacement vectors

所以，球心點(diǎn)的線位移有以下4種表達(dá)形式：

(8)

式中,r為動平臺半徑。

3 機(jī)構(gòu)的剛度矩陣

(9)

Δ=Δo2=G2C2Fg

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中，K為機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣；E為連桿的彈性模量；C2為4×6系數(shù)矩陣，由靜力學(xué)分析得到，每一項(xiàng)元素均為機(jī)構(gòu)位姿與參數(shù)的函數(shù);G2為3×4系數(shù)矩陣；Iy為y軸截面慣矩；Iz為z軸截面慣矩；G為切變模量；β為截面系數(shù)；h為截面尺寸高；b為截面尺寸寬；q221、q23、υ2、o23、o221均為固定坐標(biāo)系下的方向矢量。

同理可得

δ=δD2=G22C22Fg

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中，C22為12×6系數(shù)矩陣，由靜力學(xué)分析得到,每一項(xiàng)元素均為機(jī)構(gòu)位姿與參數(shù)的函數(shù)；G22為3×12系數(shù)矩陣；各三角函數(shù)均為輸出位姿角的函數(shù)；af23、f13f13、…、c21m2p3均為機(jī)構(gòu)位姿的函數(shù)。

故動平臺球心點(diǎn)的總位移與外載荷的關(guān)系為

(26)

機(jī)構(gòu)的柔度矩陣為

(27)

當(dāng)柔度矩陣非奇異時，將式(27)整理可得

(28)

與式(9)比較，得到機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣如下：

K=Ξ-1

(29)

4 機(jī)構(gòu)的主剛度及方向

利用正交變換的方法將機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣對角化，得到機(jī)構(gòu)的6個主剛度及它們所在的方向。

由上述分析得

(30)

令

從而有

(31)

即，機(jī)構(gòu)在新坐標(biāo)系下的靜剛度矩陣變?yōu)?/p>

(32)

取新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向的單位矢量如下：

(33)

5 機(jī)構(gòu)剛度數(shù)值計(jì)算與分析

各構(gòu)件均采用45鋼(切變模量G=80 GPa、彈性模量E=200 GPa)。拉桿Ⅰ和弧形叉的斷面尺寸h=10 mm、b=10 mm、β=0.141，拉桿Ⅰ的長度l1=80 mm，弧形叉的半徑r1=50 mm。拉桿Ⅱ的半徑r2=3 mm，上、下拉桿的長度l2=50 mm、l3=50 mm。

選擇動平臺的3個位姿，計(jì)算得到機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣，將剛度矩陣對角化，得到機(jī)構(gòu)的主剛度及主方向，見表1。計(jì)算結(jié)果表明，機(jī)構(gòu)線位移剛度和角位移剛度基本達(dá)到剛度均衡。主剛度的值與方向隨著動平臺的位姿變化而變化，當(dāng)位姿遠(yuǎn)離零點(diǎn)(φx=φy=0)位置時,機(jī)構(gòu)的剛度明顯增大。

在3個相同的輸出位姿下，比較新型踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)與UP+R踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的主剛度值，如表2所示。分析發(fā)現(xiàn)新型踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的角位移剛度、線位移剛度均有增大，其中線位移剛度大幅增大，基本實(shí)現(xiàn)剛度均衡。

6 仿真驗(yàn)證

選擇新型踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的兩個輸出位姿，假定外載荷為600 N垂直于動平臺過球心點(diǎn)的作用力，將理論計(jì)算得到的靜剛度矩陣，分別轉(zhuǎn)化為兩個輸出位姿時，機(jī)構(gòu)動平臺中心點(diǎn)的線位移變形。

將上述踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)三維模型導(dǎo)入到ANSYS軟件中，如圖7、圖8所示。在與理論分析相同的條件下進(jìn)行仿真，分別得到兩個輸出位姿時，對應(yīng)的動平臺中心點(diǎn)的線位移變形。

表1 PRRR+PURU+S踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的主剛度及主方向

表2 兩個踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的主剛度值比較Tab.2 Comparison between principal stiffness of two ankle mechanisms

圖7 φx=π/12、φy=π/12時，變形仿真試驗(yàn)Fig.7 Deformation simulation test when φx=π/12, φy=π/12

圖8 φx=π/6、φy=π/6時，變形仿真試驗(yàn)Fig.8 Deformation simulation test when φx=π/6,φy=π/6

將仿真試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果對比，如表3、表4所示。由表3和表4可知，兩者的相對趨勢是正確的、誤差在允許的范圍內(nèi)。驗(yàn)證了靜剛度理論分析結(jié)果的正確性。

表3 φx=π/12、φy=π/12時，線位移比較Tab.3 Comparison between linear displacements whenφx=π/12,φy=π/12

表4 φx=π/6、φy=π/6時，線位移比較Tab.4 Comparison between linear displacements whenφx=π/6,φy=π/6

7 結(jié)論

(1)提出了一種新型PRRR+PURU+S球面并聯(lián)人形機(jī)器人踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，導(dǎo)出了其靜剛度矩陣，對機(jī)構(gòu)的靜剛度特性進(jìn)行了詳細(xì)的研究。

(2)研究結(jié)果表明，新型PRRR+PURU+S踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的整體靜剛度除與機(jī)構(gòu)參數(shù)、運(yùn)動位姿有關(guān)外，還受過約束條件影響；與UP+R踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)相比，角位移剛度、線位移剛度均有增大，其中線位移剛度大幅增大，基本實(shí)現(xiàn)了剛度均衡。

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