徐華，錢程

(1. 杭州師范大學錢江學院， 浙江 杭州 310036； 2. 杭州師范大學 理學院， 浙江 杭州 311121)

0 引 言

以C[0,1]表示定義在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)函數(shù)的全體，對于任意f∈C[0,1]的函數(shù)，其對應(yīng)的Bernstein算子和Bernstein-Durrmeyer算子分別定義如下：

其中，

這2類算子在逼近論和計算數(shù)學等領(lǐng)域有許多重要的應(yīng)用，對其逼近性質(zhì)的研究也已經(jīng)相當廣泛. 2010年，GADJIEV等[1]定義了以下推廣形式的Bernstein-Durrmeyer型算子：

其中，αk,βk,k=1,2為滿足以下條件的正常數(shù)： 0≤α1≤β1,0≤α2≤β2,而

最近，DONG等[4]引入了下列基于Sn,α,β(f,x)的Durrmeyer型算子：

其中，

由于(lemma 1[3])

(1)

t4/(2-λ)‖g″‖},

(2)

(3)

其中x～y意為存在正常數(shù)c使得c-1y≤x≤cy.

本文的主要結(jié)論為：

定理1設(shè)f為[0,1]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，0≤λ≤1. 則存在一個僅依賴于λ,α1,α2,β1,β2的正常數(shù)C，使得

其中，

而ω(f,t)為f在[0,1]上的通常連續(xù)模.

文中，C總表示一個絕對正常數(shù)或僅依賴于某些參數(shù)(除f,n和x以外)的正常數(shù)，其值在不同地方可以不同.

定理2設(shè)f為[0,1]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，0<α<2/(2-λ),0≤λ≤1,則

意味著

(ii)ω(f,t)=O(tα(1-λ/2)).

1 引理及證明

引理1對于任意γ≥0，有

x∈[0,1].

證明利用文獻[3]中的引理1，對任意γ≥0，有

因此，

由此，引理1得證.

引理2對任意x∈[0,1]，有

證明記

由文獻[6]有

且有

(5)

注意到(見文獻[4])：

Δn(x)～δn(x),x∈[0,1].

(6)

由式(5)即得

引理2得證.

引理3對任意x∈[0,1]，有

(7)

(8)

證明直接計算，得

又因為

第2階段，繼續(xù)推進“四同步”工作機制，以副中心道路新建、改建和擴建為契機，全面推進城市副中心新城155 km2智慧交通管理科技系統(tǒng)建設(shè).

所以

由此，

(9)

若x∈[0,1]An，不妨設(shè)

(10)

若x∈An，則有

(11)

綜合式(9)～(11)，即得式(9).

下證式(8).由式(6)知：

因此，

置

Cα,λ={f∈C([0,1]),‖f‖0<+};

引理4如果0≤λ≤1,0<α<2,則

(12)

(13)

證明分2種情形證明式(12).

Δn(x)～φ(x),x∈Bn.

(14)

通過簡單計算可得

(15)

其中，

(16)

由式(13)～(16)得

由引理1和引理3，得

情形2

此時，顯然有

注意到

其中,qn-1,-1(x)=qn-1,n(x)=0,故有

利用式(16)并使用H?lder不等式2次，得到

上式第4個不等式利用了以下事實(由類似于式(7)的推導(dǎo)可得)：

綜合情形1和2的討論，式(12)獲證.

現(xiàn)在，證明式(13). 如果

則使用H?lder不等式2次，可得

C‖f‖1.

上式最后一個不等式用到了式(8).

類似于引理4的證明，可以得到：

引理5若0≤λ≤1,0<α<2,那么

x∈[0,1],β<2,則有

x∈[0,1],0≤β≤2,則有

2 定理的證明

定理1的證明定義輔助算子

(17)

其中，

易知

(18)

Sn,α,β(1,x)=1,Sn,α,β(t-x,x)=0,

(19)

‖Sn,α,β‖≤3.

(20)

由式(18)可知，

(21)

(22)

(23)

(24)

由式(20)和(21)有

|Sn,α,β(f,x)-f(x)|≤|Sn,α,β(f-g,x)|+

|f(x)-g(x)|+|Sn,α,β(g,x)-g(x)|≤

4‖f-g‖+|Sn,α,β(g,x)-g(x)|≤

(25)

注意到φ2λ(x)與Δ2λ(x)在[0,1]上是凹函數(shù)，對于任意的t,x∈[0,1],以及介于x與t之間的u，令

u=θx+(1-θ)t, 0≤θ≤1,

則有

(26)

(27)

利用Taylor公式:

以及式(19)與(27),有

當x∈Bn時，由式(14)、(26)、(18)、引理2和式(23)，得

Cn-1Δ2-2λ(x)‖φ2λg″‖≤

(28)

(29)

上式最后一個不等式利用了式(23)和(24).

結(jié)合式(17)、(21)、(25)、(28)與(29)，定理1得證.

定理2的證明由引理4～引理7，按照文獻[7]中的方法可證得定理2，此證明略.

參考文獻(References)：

[1] GADJIEV A D, GHORBANALIZACH A M. Approximation properties of a new type Bernstein-Stancu polynomials of one and two variables[J].AppliedMathematicsComputation, 2010, 216(3)： 890-901.

[2] STANCU D D. Approximation of functions by a new class of linear polynomial operators[J].RevueRoumainedeMathematiquesPuresetAppliquees, 1968, 13(8)： 1173-1194.

[3] WANG M L, YU D S,ZHOU P.On the approximation by operators of Bernstein-Stancu types[J].AppliedMathematicsComputation, 2014, 246(11)： 79-87.

[4] DONG L X, YU D S, ZHOU P. Pointwise approximation by a Durrmeyer variant of Bernstein-Stancu operators [J].JournalofInequalityApplications, 2017(1)： 28.Doi: 10.1186/S13660-016-1291-x.

[5] DITZIAN Z, TOTIK V.ModuliofSmoothness[M]. Berlin/New York： Springer-Verlag, 1987.

[6] ACAR T, ARAL A, GUPTA V. On approximation properties of a new type Bernstein-Durrmeyer operators[J].MatheticalSlovaca, 2015,65(5)： 1107-1122.

[7] GUO S, LIU L. The pointwise estimate for modified Bernstein operators[J].StudiaScientiarumMathematicarumHungarica, 2001, 37(1)： 69-81.