張 碩,張雪妮,2

(1．河北師范大學 數(shù)學與信息科學學院 050024； 2.河北省撫寧第二中學 066300)

一、問題的提出

我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出：了解無理數(shù)與實數(shù)的概念并能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．我國香港地區(qū)中學數(shù)學課程標準指出：體驗有理數(shù)與無理數(shù)，發(fā)展利用數(shù)來構(gòu)想及解決問題的各種策略．美國中學數(shù)學課程標準中指出：在初中階段安排學生學習有理數(shù)，無理數(shù)，實數(shù)等知識．英國中學數(shù)學課程標準指出：中學生需要理解并使用實數(shù)中的有理數(shù)與無理數(shù)并能確定區(qū)間邊界．日本中學數(shù)學課程標準中指出：在數(shù)的有關(guān)概念的教學中要重視數(shù)的意義及大小，并通過數(shù)軸來表示數(shù)來說明數(shù)之間的大?。商m中學數(shù)學課程標準指出：學生需學會估算，包括與小數(shù)和分數(shù)有關(guān)的估算，并能對估算結(jié)果的準確性做出判斷，而且可以將分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)．通過以上各國中學數(shù)學課程標準對無理數(shù)的提出，可看出無理數(shù)在世界各國中學數(shù)學中都占有很重要的位置．

但是，據(jù)筆者對中學老師的一些訪談及側(cè)面對學生的了解，發(fā)現(xiàn)許多學生認為無理數(shù)比有理數(shù)難懂，對無理數(shù)的相關(guān)概念，性質(zhì)等學得一塌糊涂，有些學生甚至不知道無理數(shù)是什么，對于有理數(shù)的區(qū)別也模模糊糊．許多教師認為無理數(shù)比較抽象，雖是初中數(shù)學的難點，但因中考所占比例不大，因此對這塊內(nèi)容不夠重視，也不作更深講解．筆者還發(fā)現(xiàn)一部分教師對無理數(shù)發(fā)展史也不清楚，雖然教材把無理數(shù)編制了一整節(jié)內(nèi)容，但還是不能引起學生及教師的關(guān)注．因此筆者認為有必要對學生無理數(shù)知識的學習情況進行調(diào)查研究．

二、研究過程

2.研究對象

筆者選取了河北省石家莊市的幾所不同層次學校的部分九年級學生進行了預(yù)調(diào)查，并通過整理分析，最終選取河北省石家莊市第二十二中這所普通中學的九年級不同層次的四個班級132名學生作為本研究的測試樣本，其中重點班學生共為61人，普通班學生共為71人．

3.研究工具

本文研究使用的測驗工具為預(yù)測卷、正式測試卷、訪談提綱．

3.統(tǒng)計方法

本研究實際回收試卷132 份，實際有效卷為127份．試卷中所有試題均為主觀題目，且均不記分，對問題結(jié)果進行水平劃分或?qū)W生回答情況進行歸類統(tǒng)計．為了根據(jù)學生的回答比較學生對無理數(shù)概念的掌握情況，筆者借鑒了比格斯的SOLO分類系統(tǒng)將學生對第一題和第二題進行水平的編碼劃分，具體劃分標準說明如下：

水平1：相當于SOLO分類系統(tǒng)的前結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學生的回答基本上無法理解無理數(shù)的本質(zhì)特征．

水平2：相當于SOLO分類系統(tǒng)的單一結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學生在回答無理數(shù)的定義時只找到了無理數(shù)的某一類型或者只提及到無理數(shù)概念的某一個側(cè)面或舉例說明就此結(jié)束回答．

水平3：相當于SOLO分類系統(tǒng)的多元結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學生在回答無理數(shù)的定義時找到了可以代表無理數(shù)的多種不同的表現(xiàn)形式，但卻未能把這些不同形式有機嚴謹?shù)卣显谝黄穑?/p>

水平4：相當于SOLO分類系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學生在回答無理數(shù)定義時找到了多個無理數(shù)概念的表現(xiàn)形式或者知識點，并且能夠把這些知識點串聯(lián)起來．

水平5：相當于SOLO分類系統(tǒng)的抽象拓展結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學生回答無理數(shù)定義時能夠?qū)o理數(shù)的概念進行多種不同表述的抽象概括，并且表述邏輯嚴密，思路清晰，涵蓋了所有的知識點．

三、研究結(jié)果及分析

問卷中的第一題是讓學生寫出自己所理解的無理數(shù)的概念，并要求學生盡可能多的寫出不同的表達方式，第二題是讓學生從眾多數(shù)中選出無理數(shù)，目的是要考察學生是否真正掌握了無理數(shù)概念的本質(zhì)．答卷中學生的回答呈現(xiàn)出不同的水平，筆者借鑒了SOLO分類系統(tǒng)進行水平劃分(具體劃分標準見研究過程中的統(tǒng)計方法)，表1反映了學生對無理數(shù)概念的回答水平分布情況．

表1學生對無理數(shù)概念的回答水平分類統(tǒng)計表

從上表數(shù)據(jù)可以看出學生對無理數(shù)概念的回答情況絕大部分處于水平3(多元結(jié)構(gòu)水平)共有80人，占全部被試人數(shù)的62.9%；處于水平1(前結(jié)構(gòu)水平)、水平2(單一結(jié)構(gòu)水平)、水平4 (關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平)的學生人數(shù)相對較少，所占被試人數(shù)的比例分別為15.0%，15.0%，5.5%；而處于水平5(抽象結(jié)構(gòu)水平)的學生水平人數(shù)更是寥寥無幾，僅占所有被試人數(shù)的1.6%．其中重點班的學生對無理數(shù)概念的掌握情況相對普通班學生對無理數(shù)概念的掌握情況要好一些，但差距不是很大．

筆者在統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)很多學生出現(xiàn)了同樣的幾種典型錯誤并做了如下整理:

典型錯誤一：不知道π、e也是無理數(shù)．

典型錯誤五：認為無理數(shù)只包含小數(shù)中的無限不循環(huán)小數(shù)、開方開不盡的數(shù)、以及用特殊符號表示的π、e中的其中一種或兩種．

為了更加了解學生發(fā)生錯誤的原因，筆者對個別學生進行了采訪，下面為一段訪談記錄(T表示筆者，S1表示學生1，S2表示學生2)，由于有些學生表達不是很清楚，因此對一些回答筆者做了一定的邏輯整理．

T:你認為無理數(shù)包括哪幾種表現(xiàn)形式？

S1：帶根號的、除不盡的兩個數(shù)的商、無法開出來的平方根．

S2：開方開不盡的、帶π的數(shù)、無限不循環(huán)的小數(shù)．

S1：他們都除不盡，應(yīng)該是無理數(shù)．

S2：他們是分數(shù)應(yīng)該是有理數(shù)，但他們又除不盡好像又是無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，這樣的話不太清楚．

由以上問卷測試和訪談結(jié)果可發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學生對無理數(shù)概念的把握處于不完全理解的狀態(tài)，他們大多數(shù)表現(xiàn)為能夠正確地表達出無理數(shù)的定義，卻對無理數(shù)的幾種表現(xiàn)形式不清楚，沒有掌握無理數(shù)的本質(zhì).還有些同學不明白分數(shù)除不盡的小數(shù)是無限循環(huán)的并不屬于無理數(shù)，因此在題二中選擇無理數(shù)時出現(xiàn)各種各樣的錯誤．

五、教學建議

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準(修訂稿)[M]．北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]楊秀娟.初中生對無理數(shù)概念的理解[D].上海：華東師范大學，2007:1.