張 洪，陳一鳴，王通德

（1.江南大學 機械工程學院 江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2.國網(wǎng)電力科學研究院 江蘇南瑞恒馳電氣裝備有限公司，江蘇 無錫 214161）

在柔性機器人的動力學建模中，采用拉格朗日動力學方程是最常用的方法之一。它將連桿視作有限自由度的系統(tǒng)，通過拉格朗日方程推算出動力學方程[1]；國內(nèi)外學者對此做了大量研究[1-10,13-15]。Matsuno等在拉格朗日方程的基礎(chǔ)上結(jié)合補充Hamilton原理進行建模[2]；Spong在對柔性關(guān)節(jié)機械臂建模時提出，將關(guān)節(jié)的柔性簡化描述為一個線性的彈黃，其產(chǎn)生的彈性力與關(guān)節(jié)的柔性變形形成相應(yīng)的線性關(guān)系，并且彈簧的比例系數(shù)為關(guān)節(jié)的彈性系數(shù)[4-6]；Bridges等對Spong模型進行了補充與完善，考慮了非線性與外界不確定干擾等影響因素，建立更為準確的關(guān)節(jié)機械臂模型[7]。但是上述研究都比較片面，沒有考慮連桿柔性、關(guān)節(jié)柔性與電機電壓繞組特性之間的耦合特性，模型缺乏統(tǒng)一性與通用性。

本文首先引入耗散能[8]描述軸承間黏性阻尼，引入關(guān)節(jié)等效形變描述彈簧勢能，對柔性關(guān)節(jié)進行建模；同時將連桿簡化為簡支梁，采用模態(tài)假設(shè)法描述連桿柔性，將物理坐標轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標，并通過拉格朗日方程建立動力學方程；編寫4階5級定步長Runge-Kutta算法程序，對模型進行仿真求解，計算出不同情況下，連桿末端軸向、徑向形變與關(guān)節(jié)等效變形來論證引入電機繞組電壓的必要性，對比分析電機繞組電壓、關(guān)節(jié)柔性、連桿柔性間的耦合關(guān)系。

1 動力學建模

本文在Spong模型基礎(chǔ)上，綜合考慮了關(guān)節(jié)間的摩擦、彈簧的非線性以及電機轉(zhuǎn)子的耦合影響，建立如圖1所示的物理模型，它由直流電機、傳動機構(gòu)、摩擦阻尼、非線性彈簧、連接法蘭和連桿組成。

圖1 柔性關(guān)節(jié)物理學模型

1.1 柔性關(guān)節(jié)動力學模型

電機輸出的轉(zhuǎn)角為qm，經(jīng)過傳動機構(gòu)（傳動比為N）輸出的剛體名義轉(zhuǎn)角為qn。將傳送軸等效為扭轉(zhuǎn)彈簧模型，輸出的角度為θ。關(guān)節(jié)等效形變即表示為

關(guān)節(jié)形變使非線性彈簧產(chǎn)生的勢能為

式中：K1、K2分別代表等效扭轉(zhuǎn)彈簧的線性彈性系數(shù)和非線性彈性系數(shù)。電機動能可以表示為

式中：Jm為電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量矩陣。法蘭動能表示為

式中：Jh是電機軸連接法蘭轉(zhuǎn)動慣量。因此，關(guān)節(jié)動能可以表示為

考慮到除了受到有勢力作用之外，還有黏滯阻尼的作用，稱之為耗散能，則電機耗散能表示為

式中：Bm為電機軸承阻尼矩陣。法蘭耗散能則表示為

式中：fL為與電機軸連接法蘭相關(guān)的靜態(tài)動態(tài)摩擦系數(shù)矩陣。因此，關(guān)節(jié)耗散能則表示為

綜合耗散能的拉格朗日方程表達式為

式中：T為系統(tǒng)動能，V為系統(tǒng)勢能，D為系統(tǒng)耗散能，QF為廣義力。

取廣義坐標變量q=(qm,θ)T，將式(2)、式(5)和式(8)代入式(9)，可得柔性關(guān)節(jié)的動力學方程為

式中：u為電機電流驅(qū)動力矩；Twg、Tfs為驅(qū)動電機與連桿間的耦合力矩向量，其表達式如下

1.2 柔性桿動力學模型

選取柔性連桿截面為矩形，各變量定義如圖2所示。

圖2 柔性連桿懸臂梁模型

在電機轉(zhuǎn)動軸法蘭中心處O建立慣性坐標系Oxy，連桿初始方向為X軸。圖中θ是虛擬剛性臂的旋轉(zhuǎn)角度，M1是柔性連桿的質(zhì)量，V1、V2分別是連桿相對于虛擬剛性臂的軸向振動和連桿與虛擬剛性臂的徑向振動，wc是連桿的徑向振動V1引起的軸向伸縮量。L是連桿長度，d是連桿上點到關(guān)節(jié)距離。連桿上的任意點在慣性坐標系Oxy下的坐標為

式中：耦合變形量wc的表達式為

將式(13)對時間t求導，得到該點的速度分量為

采用假設(shè)模態(tài)法描述柔性桿的變形，其表達式為

式中：φx(x) 、φy(x)分別為梁的軸向振動和徑向振動的模態(tài)函數(shù)的行矢量，A(t)、B(t)分別為軸向振動和徑向振動的模態(tài)坐標矢量。由此可得柔性連桿的動能表達式為

式中：ρ是連桿密度，S是連桿橫截面積。不計重力勢能，柔性連桿和連接法蘭勢能可以表示為

式中：Iz為連桿截面慣性矩。取廣義坐標變量q=(θ、AT、BT)T，將式(18)和式(19)代入式(10)，可得柔性連桿的動力學方程為

式中：M′為柔性連桿廣義質(zhì)量矩陣?？紤]到wc是徑向變形V2的2階小量，因此可以舍去與wc相關(guān)的高階小量。得到系統(tǒng)的一次近似剛?cè)狁詈蟿恿W方程，表達式為

式中：M23、M32、K11、K12、K13、K21、K22、K31、K33、C11、C12、C13、C21、C23、C31、C32、Q3等值皆為0或0矩陣。fs為空氣阻力，其表達式為

式中：k為比例系數(shù)，一般與空氣密度有關(guān)；S1為桿件與空氣接觸面積。

1.3 系統(tǒng)綜合動力學方程

綜合關(guān)節(jié)柔性與連桿柔性本質(zhì)上就是動能、勢能與耗散能的疊加與廣義力的合并，因此，聯(lián)立式(10)和式(21)可得

式(32)為柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿綜合動力學方程，其中電機驅(qū)動力矩u表達式為

式中：M為電機力矩矩陣；I為電流向量。由式(33)可以看出，電流I和電機力矩矩陣M的大小會對動力學方程產(chǎn)生影響。因此，在對系統(tǒng)做動力學建模時候，必須要考慮電流I與柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿的耦合作用。將電壓繞組方程與式(34)聯(lián)立求解，即可得出系統(tǒng)的綜合動力學方程。電壓繞組方程為[10-11]

式中：L、R、Kb分別代表電機的電感、電阻和反電動勢矩陣；V代表輸入的電壓。因此，系統(tǒng)的綜合動力學方程為

2 仿真分析

柔性機械臂取為細長的鋁材質(zhì)桿，機械臂物理參數(shù)：桿長為1 m，密度為2.77×103kg?m-3，彈性模量為6.9×1011Pa，截面慣性矩為3.0×10-10m4，截面積為4×10-4m2；機械臂機構(gòu)參數(shù)：電機轉(zhuǎn)動慣量為0.001 N?m?rad-1，法蘭轉(zhuǎn)動慣量為0.174 N?m?rad-1，剛度系數(shù)K1為560 N?rad，K2為1.1×104N?rad3，軸承摩擦系數(shù)為0.005；電機電氣參數(shù)：電壓為12 V，電感為0.04 H，電阻為5 Ω，反動電勢為0.002 V?(rad·s-1)-1。

利用MATLAB 4階5級定步長Runge-Kutta算法，對拉格朗日方程進行變換求解，假設(shè)初始無變形[12]，且，仿真時間為3 s，運動控制律為

本文分別根據(jù)連桿柔性（形變1）、關(guān)節(jié)和連桿柔性（形變2）、電機特性與關(guān)節(jié)及連桿柔性（形變3）3種情況來分析連桿末端形變的異同。

如圖3所示，桿件末端徑向的形變幅值呈現(xiàn)出周期性逐漸減小趨勢，其周期逐漸減少。當僅考慮連桿柔性時幅值最大；考慮關(guān)節(jié)柔性時，由于一部分能量轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)等效彈簧勢能，因此幅值有所降低并且彈簧形變滯后性引起了相位的滯后；當綜合考慮桿件、關(guān)節(jié)柔性與電機特性時，在電機轉(zhuǎn)子的角速度與電流的耦合作用下，幅值進一步降低，當電機驅(qū)動力矩消失后，與形變2基本保持一致。

圖3 三種情況下桿件末端徑向形變對比

從圖4中可以看出，軌跡1因未考慮關(guān)節(jié)和電機影響，其軌跡振幅較大，遠遠偏離其他兩種軌跡，而軌跡2、軌跡3因電機因素干擾有所差別，因此考慮電機繞組特性是必要的。

由圖5、圖6可知，當傳動比越大，引起的連桿末端形變越大，并且周期也隨之增大；在連桿上距原點d處增加附加重量，距離d越大，引起的連桿末端形變越大，并且幅值衰減越慢，震蕩周期越長，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。

圖4 3種情況下機械臂末端軌跡對比

圖5 不同傳動比下連桿末端形變對比

圖6 不同距離附加重量工況下連桿末端形變對比

3 結(jié)語

基于拉格朗日原理建立了綜合考慮電機特性與關(guān)節(jié)、連桿柔性的剛?cè)狁詈蟿恿W方程，并通過模態(tài)假設(shè)法簡化方程。通過仿真實驗可得：僅考慮連桿柔性時，模型不夠精確，并且誤差很大，當綜合考慮電機特性和關(guān)節(jié)柔性時，其結(jié)果更為精確，證明了考慮電機特性和關(guān)節(jié)柔性在動力學建模中的必要性，并且得出了傳動比N和距離d對連桿末端振動的影響規(guī)律，為以后的優(yōu)化工作提供理論基礎(chǔ)。

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