韓 偉，毛崎波

（南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063）

旋轉(zhuǎn)梁被廣泛用于直升機(jī)旋翼、風(fēng)力機(jī)葉片、螺旋槳以及各種旋轉(zhuǎn)機(jī)械結(jié)構(gòu)，而研究旋轉(zhuǎn)梁的振動特性是設(shè)計此類機(jī)械的重要基礎(chǔ)。國內(nèi)外許多學(xué)者對該類問題做過研究。褚德超[1]使用高階有限元分析了等截面旋轉(zhuǎn)梁的固有振動。Hashemi和Richard[2]研究了科氏力對等截面旋轉(zhuǎn)梁固有頻率的影響。Yoo等[3]分析了集中質(zhì)量對等截面旋轉(zhuǎn)梁模態(tài)特性的影響。李艷輝[4]針對等截面旋轉(zhuǎn)梁的彎曲振動問題提出了一種高精度的有限元——梁柱元，Chung等[5]利用有限元法計算了等截面旋轉(zhuǎn)梁的動力響應(yīng)。而對變截面旋轉(zhuǎn)梁的計算，一般采用有限元法[6]，把梁分成若干個單元，每個單元近似看成等截面梁單元，這樣需要較多的單元才能取得滿意的精度。另外還有微分求積法[7]、有限差分法[8-9]和假設(shè)模態(tài)法[10]

動態(tài)剛度法[11-12]是解決工程結(jié)構(gòu)振動問題的一種有效方法，它簡單靈活，易于編程運算，適用于梁的各種邊界條件，適合處理沿幾何軸線發(fā)生改變的變參數(shù)，如變截面、旋轉(zhuǎn)梁離心力等。本文采用動態(tài)剛度法求解旋轉(zhuǎn)變截面梁的振動特性，首先基于歐拉-伯努利梁理論建立自由振動方程，然后利用動態(tài)剛度法推導(dǎo)出動態(tài)剛度矩陣，最后運用MATLAB中的fzero函數(shù)求解特征方程得到旋轉(zhuǎn)梁橫向振動的固有頻率和振型，數(shù)值計算結(jié)果表明該方法對于求解變截面旋轉(zhuǎn)梁自由振動是有效的，且具有較高的精度。

1 旋轉(zhuǎn)梁模型

旋轉(zhuǎn)梁模型如圖1所示，該模型是歐拉-伯努利梁，僅考慮平面彎曲振動，不考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，輪轂為剛性。

圖1 變截面旋轉(zhuǎn)梁模型

以梁左端截面形心為原點建立空間直角坐標(biāo)系，x軸為梁軸線，r為旋轉(zhuǎn)梁的輪轂半徑，懸臂梁繞輪轂中心的垂直軸旋轉(zhuǎn)。梁的旋轉(zhuǎn)角速度為Ω，長度為L。梁截面為矩形，其高度h(x)和寬度b(x)沿x軸方向減小，可以表示為

式中：h0和b0分別為梁固定端截面的高度和寬度。ch和cb分別是高度和寬度的漸變系數(shù)。

2 動態(tài)剛度法

基于歐拉-伯努利梁理論，變截面旋轉(zhuǎn)梁的橫向自由振動微分方程為[4]

式中：w(x,t)為梁的橫向撓度函數(shù)，E和ρ分別為梁的彈性模量和密度，A(x)和I(x)分別是橫截面積和慣性矩，可表示為

T(x)是旋轉(zhuǎn)梁所受離心力，可表示為

使用分離變量法，式(3)的通解具有如下形式

將式(7)代入式(3)，并分離變量t和x，可得4階變系數(shù)常微分方程，對此方程進(jìn)行無量綱化處理可得

同理，對離心力T(x)進(jìn)行無量綱化處理得到

采用Frobenius法[13]求解式（8），其解可表示為如下的級數(shù)形式

式中：an+1為多項式函數(shù)的系數(shù)，c為待定指數(shù)，將式(10)代入式(8)，可得如下指數(shù)方程

同時可得下列遞推關(guān)系式

顯然，式(11)的根為ci=0,1,2,3,(i=1,2,3,4)。因此，可得4個線性獨立多項式解函數(shù)如下

根據(jù)上述分析可知，式(8)的解可表示為

注意到式(13)包含 4 個待定系數(shù)Ni，i=1,2,3,4,可通過邊界條件確定。

現(xiàn)考慮如圖1所示旋轉(zhuǎn)梁的邊界條件。

固定端(X=0)：

自由端(X=1)：

將式(15)、式(16)寫成矩陣形式可得

這里矩陣B為一4×4矩陣，其元素可表示為

現(xiàn)聯(lián)立式(18)、式(19)可得

式中：K=BP-1即為所求旋轉(zhuǎn)梁的動態(tài)剛度矩陣。

式(21)通過消去固定端和自由端中為零的邊界條件可進(jìn)一步化為

為使式(22)有非零解，其系數(shù)矩陣行列式必為零，得到變截面旋轉(zhuǎn)梁的特征值方程

特征方程式(23)是無量綱固有頻率λ的非線性方程，可以采用MATLAB中fzero函數(shù)求解，得到橫向振動的固有頻率λ；將λ代入式(14)、式(18)、式(19)可得梁模態(tài)函數(shù)。

3 數(shù)值算例

為了探討上述動態(tài)剛度法所求的半解析解的收斂特性，先以一種變截面梁為算例，其轉(zhuǎn)速U=12，輪轂半徑R=0，寬度漸變系數(shù)cb=0，高度漸變系數(shù)ch=0.5。表1給出了每一個級數(shù)項數(shù)M對應(yīng)的前4階固有頻率值，并與文獻(xiàn)[14]進(jìn)行比對。

從表1可以發(fā)現(xiàn)，階數(shù)越高，需要將M值取得越大，對于高階頻率需要非常多項才能逼近精確解，這將導(dǎo)致計算上的困難，而通常模態(tài)分析只做到前6階即可滿足一般的工程應(yīng)用。當(dāng)M取90時，前4階固有頻率值可得到小數(shù)點后四位的精度。為了保證計算結(jié)果的精度，在隨后的算例中，統(tǒng)一取M=100。

為了進(jìn)一步驗證上述方法的有效性，這里選取兩組算例對此進(jìn)行驗證，分別為U=5，cb=0.3，ch=0.5以及R=1，cb=0.6，ch=0.2，并將該數(shù)值結(jié)果和文獻(xiàn)[14]結(jié)果（黑體部分）進(jìn)行了比對，如表2和表3所示。從表2及表3可以看出，動態(tài)剛度法結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果高度吻合，說明當(dāng)M=100時所求出的固有頻率值精度較高，可以滿足一般的工程應(yīng)用要求。觀察表2和3可以發(fā)現(xiàn)，隨著輪轂半徑R或者轉(zhuǎn)速U的增加，各階固有頻率值也隨之增加。這是因為隨著輪轂半徑和轉(zhuǎn)速的增加，向心慣性力隨之增加從而導(dǎo)致梁的剛化效應(yīng)增強(qiáng)。

表1 級數(shù)項數(shù)M及其所對應(yīng)的的前4階頻率值

表 2 前5階頻率(U=5，cb=0.3，ch=0.5)

表 3 前5階頻率(R=1，cb=0.6，ch=0.2)

圖2給出了表3中cb=0.6，ch=0.2，R=1，U=1、2、5時3種工況下的前4階模態(tài)振型圖。從圖2可以看出隨著模態(tài)階數(shù)的增加，不同轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的模態(tài)振型之間的差別越來越小。

圖 2 cb=0.6，ch=0.2，R=1，U=1、2、5時前4階模態(tài)振型圖

圖3給出了轉(zhuǎn)速U=5，輪轂半徑R=1時前3階固有頻率分別隨寬度和高度漸變系數(shù)的變化圖，左圖中高度漸變系數(shù)ch=0.5，右圖中寬度漸變系數(shù)cb=0.5。

圖3 固有頻率分別隨寬度和高度漸變系數(shù)的變化圖

從左圖可以看出，當(dāng)高度漸變系數(shù)一定時，前3階固有頻率均隨寬度漸變系數(shù)的增大而增大，從右圖可以看出，當(dāng)寬度漸變系數(shù)一定時，第1階固有頻率隨高度漸變系數(shù)的增大而增大，而第2階和第3階固有頻率均隨高度漸變系數(shù)的增大而減小。

4 結(jié)語

本文基于歐拉-伯努利梁理論建立任意變截面旋轉(zhuǎn)梁橫向振動方程，引入了計算任意變截面梁橫向振動固有頻率和模態(tài)振型的動態(tài)剛度法，數(shù)值算例表明該方法具有很好的收斂性和計算精度。此外還研究了輪轂半徑、轉(zhuǎn)速以及漸變系數(shù)對固有頻率的影響，數(shù)值結(jié)果表明隨著轉(zhuǎn)速和輪轂半徑的增大，各階固有頻率也呈現(xiàn)增大的趨勢。隨著模態(tài)階數(shù)的增加，不同轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的模態(tài)振型圖之間的差別越來越小。

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