賴俊杰，浮 潔，李沛東，白俊峰，余 淼

（重慶大學 光電工程學院光電技術及系統教育部重點實驗室，重慶 400044）

實際工程中，房屋、橋梁、航天器連接構件等柔性結構對振動極其敏感[1-2]。振動會造成系統結構損傷甚至破壞，因此振動控制非常重要。傳統被動隔振（橡膠或液壓隔振器）結構簡單，對高頻振動衰減效果明顯但自適應性差。因此對具有多頻激勵的柔性結構振動抑制效果不佳。壓電陶瓷執(zhí)行器由于響應速度快、輸出力大等優(yōu)點，在結構振動控制研究中受到極大關注。與壓電片相比，壓電堆具有更大的輸出力，將其作為執(zhí)行器可以很好地實現柔性結構的振動抑制[3]。

執(zhí)行器結構、安裝位置和控制系統的硬件組成等一旦確定，振動抑制效果與控制算法有直接的關系。根據算法與控制對象模型的相關性分為依賴于模型的算法和不依賴于模型的算法。依賴于模型的算法諸如LQR、H∞等[4-6]可求出精確的控制參數，但要求對象模型精確已知。不依賴于模型的算法包括PID、模糊控制[7-8]等與對象模型無關。其中PID控制器由于結構簡單，易于實現，被廣泛應用在機械，自動化，電力能源等領域[9]。

柔性結構控制系統中存在較大的相位滯后，主要影響因素有：

(1)為消除控制系統中存在的噪聲干擾（硬件系統數模輸出端存在高頻噪聲、信號發(fā)生器和功率放大器的輸出存在紋波失真、信號調理器中存在非線性失真、試驗環(huán)境中人員走動、空調壓縮機運行與建筑物擺動、信號傳輸線屏蔽效果不佳等），需引入帶通濾波器，從而使控制信號產生相位偏移。

（2）反饋點與控制點位置不同，引起振動信號與控制信號之間的相位滯后，其為控制系統產生滯后的主要因素。

（3）柔性結構與壓電堆等機械系統的響應也存在滯后。相位滯后會影響振動控制效果，甚至放大振動。而常規(guī)的PID控制器難以解決該問題?，F有針對相位滯后的補償方法如Dahllin算法，Smith預估算法[10-11]，內模控制算法（IMC）[12-13]等均需通過對象數學模型預估來消除相位滯后，對于結構復雜的柔性結構來說很難建立其精確的數學模型。

此外，柔性結構系統在實際應用中的激勵常為多頻振動，且滯后補償大小與激勵頻率有關。因此，單一的滯后補償PID控制器難以達到滿意的控制效果。本文提出采用分頻滯后補償PID控制方法，即通過帶通濾波器組對誤差信號進行窄帶濾波從而實現信號的分頻[14]。

基于以上分析，本文針對具有相位滯后的柔性結構多頻振動問題，提出相位滯后補償PID控制方法，通過理論分析和實驗辨識出激勵頻率和相位滯后補償值間函數關系。并針對多頻率振動問題進行分頻控制，實現多頻振動的抑制。所提方法無需建立柔性結構系統的精確模型且易于實現。

1 柔性梁結構模態(tài)仿真與試驗

基于壓電執(zhí)行器的柔性結構系統如圖1所示，系統由簡支梁、壓電堆和基礎三部分組成。其中簡支梁（304不銹鋼材質、長600 mm、寬50 mm、厚2 mm）模擬柔性結構，壓電執(zhí)行器采用40VS12型機械封裝式壓電陶瓷。為了保證壓電執(zhí)行器在垂直方向工作，通過聚氯乙烯螺桿將其安裝在梁中央處（圖1中位置2處）。

由于壓電執(zhí)行器的放置會使簡支梁約束增加從而改變系統振動特性。為獲得簡支梁振動控制系統精確的振動特性（振型和共振頻率），需對安裝有壓電執(zhí)行器的柔性結構系統進行模態(tài)分析。本節(jié)將通過ANSYS仿真和掃頻試驗進行分析和驗證。

1.1 柔性梁結構模態(tài)仿真

通過ANYSY/Workbench對簡支梁主動控制系統進行建模，得到如圖2所示的振型圖。

圖1 壓電堆主動振動控制系統

圖2 柔性梁控制系統

由圖可知梁的位置1、3處均為1、2階模態(tài)共振峰位置點，振動頻率分別為71.76 Hz和83.45 Hz，且2階模態(tài)振幅最大，最大值約為70 mm。由于3階及以上模態(tài)振型峰值較小，因此只考慮柔性梁前2階模態(tài)。

1.2 簡支梁模態(tài)試驗

為驗證仿真模態(tài)分析的正確性，搭建如圖3所示的柔性梁結構振動特性測試系統。半實物仿真平臺dSPACE AutoBox產生掃頻信號通過功率放大器驅動激振器激振柔性梁系統。加速度傳感器獲取柔性梁振動加速度經信號調理器進入半實物仿真平臺中，并通過上位機記錄分析數據。根據理論模態(tài)分析結果確定掃頻范圍為20 Hz～200 Hz，掃頻結果如圖4所示。

圖3 柔性梁模態(tài)分析實驗系統

圖4 柔性梁掃頻結果頻譜分析

由圖4可知，1階、2階共振頻率分別為70 Hz和95 Hz，且在2階共振頻率處梁振動幅度最大，為其主導模態(tài)。實驗結果與理論分析結果相近，驗證了理論分析的正確性。

2 具有滯后補償的分頻PID控制器設計

針對柔性結構中存在的延時和多頻激勵問題，設計如圖5所示的分頻滯后補償PID控制器。多頻加速度誤差信號經過不同帶通濾波器后被分離為多路單頻加速度信號，然后對單頻信號分別進行相位滯后補償，最后基于線性疊加原理將補償后的信號混疊經PID控制器中進行控制。

2.1 PID控制器

PID控制器的原理圖如圖5所示，其輸入為簡支梁位置3處的加速度誤差，輸出為壓電堆的驅動電壓。由誤差比例部分kpe(t)、積分部分ki∫e(t)dt和微分部分組成

式中：e(t)=0-a(t)=-a(t)為系統加速度誤差信號，a(t)為簡支梁位置3處的加速度響應信號，u(t)為控制器的輸出電壓，kp、ki和kd分別為比例系數、積分系數和微分系數。

PID控制器結構簡單，無需對柔性梁結構進行精確建模，但其魯棒性較差，對系統內存在的噪聲和相位差十分敏感，因此，將結合濾波和相位補償方法進行噪聲和延時控制。

2.2 滯后補償理論

柔性結構控制系統中存在的總延時Φ(f)由帶通濾波器產生的相位偏移Φ1(f) 、反饋點（圖1（a）中1）與控制點（圖1（a）中2）位置不同所引起振動信號與控制信號之間產生的相位滯后Φ2(f)、結構本身響應延時Φ3(f)組成，即Φ(f)=Φ1(f)+Φ2(f)+Φ3(f)，其中f為激振信號頻率。

本文采用圖3所示的測試系統獲得系統相位差。dSPACE中分別產生70 Hz、80 Hz、95 Hz、125 Hz單頻正弦信號，信號通過壓電驅動器放大以驅動壓電堆振動從而激振柔性梁結構。安裝在梁1/4處的加速度傳感器測得柔性梁振動加速度信號，并通過調理器將其轉換為電信號。將加速度信號上傳至上位機，在上位機中通過比較單頻正弦激振信號與加速度信號可得控制系統對不同激振頻率信號產生的滯后相位Φ(f)。測試結果如表1所示。

圖5 柔性結構分頻相位補償PID控制系統

表1 滯后相位角

根據表1中不同激勵信號頻率下的相位差值，結合各頻率信號周期可擬合出滯后補償量與信號頻率之間的函數關系見式（2）。

其中：n為單頻激勵加速度信號周期，n∈N。n的大小不影響滯后補償后系統控制效果。計算出各頻率點的滯后補償值如表2所示。

表2 滯后補償時間

為便于補償控制系統中的相位差，可將其隨激振頻率的變化關系轉換為滯后時間和激勵頻率的關系。根據表2對激勵頻率與滯后補償時間進行線性擬合，擬合結果如圖6所示。由圖6可得擬合公式

圖6 滯后補償時間與激勵頻率間函數關系

其中td(f)為滯后補償時間。根據上式可求出各激勵頻率下系統需補償的滯后時間。

不同的激勵頻率對應著不同的相位補償器。多頻振動激勵內存在多種頻率成分，若只采用一種相位補償器，某些頻率成分的振動可能會被放大，甚至導致系統振蕩。為此本文基于線性系統的疊加原理設計了如圖5所示的分頻相位補償PID控制器。

2.3 帶通濾波的設計

帶通濾波器在系統中有兩個作用：其一，濾除信號傳輸過程中的噪聲干擾；其二，由于加速度信號滯后與激勵頻率相關，因此可通過帶通濾波器分離信號進行滯后補償。帶通濾波器會導致加速度信號相位失真，本文選取有限沖擊響應（FIR）濾波器保證滯后與信號頻率間的線性關系。為減少實時控制系統中振動加速度信號幅值失真對控制效果的影響，帶通濾波器通帶區(qū)內采用波動幅度為0.3 dB的等紋波設計?？紤]滯后補償的準確性和硬件實現條件，所設計的窄帶帶通濾波器參數如表3所示。

表3 各帶通濾波器參數設置

3 實驗結果與分析

由于實際應用中柔性結構系統常發(fā)生多頻振動，因此主要考慮雙頻和三頻激勵振動情況。激勵為70 Hz(1階共振頻率)、80 Hz、95 Hz(2階共振頻率)、125 Hz等頻率成分的組合，控制實驗系統如圖7所示。

圖7 具有分頻相位補償的PID控制實驗系統

考慮到硬件條件的限制，試驗中濾波器采樣頻率為1 800 Hz，滯后補償在MATLAB/Simulink軟件中通過“Transport Delay”時域延時模塊實現，并將加速度作為試驗振動衰減評定參數。

3.1 雙頻激勵振動控制

雙頻激勵條件（70 Hz+80 Hz、70 Hz+95 Hz、80 Hz+95 Hz、80 Hz+125 Hz）下確定PID控制器參數如表4所示，此參數為70 Hz+95 Hz條件下最優(yōu)參數。具有滯后補償的PID控制器控制效果及壓電堆控制電壓見圖8－圖9，雙頻混合激勵在常規(guī)PID控制器與分頻滯后補償PID控制器控制前后加速度均方根值及衰減如表5所示。

由振動控制前后加速度頻譜圖和表5可知分頻滯后補償后柔性梁結構振動衰減相較常規(guī)PID控制效果明顯，特別在1、2階共振頻率處最大衰減均可達40%以上。

3.2 三頻激勵振動控制

本節(jié)研究三頻激勵條件（70 Hz+80 Hz+95 Hz、70 Hz+80 Hz+125 Hz）下控制器的控制效果、控制器參數如表6所示，此參數為70 Hz+80 Hz+95 Hz條件下最優(yōu)參數。分頻滯后補償PID控制器的控制效果及壓電堆控制電壓如圖10所示，各三頻混合激勵的PID控制器參數如表6所示，三頻混合激勵在常規(guī)PID控制器與分頻滯后補償PID控制器控制前后加速度均方根值及衰減如表7所示。因此經過相位補償后的PID分頻控制器可有效衰減多頻混疊振動，特別是使包含共振頻率的振動加速度衰減最高達40%以上。

4 結語

針對具有多頻激勵和延時的柔性結構振動問題，提出分頻相位補償PID控制方法。通過理論模態(tài)分析和試驗模態(tài)分析確定柔性梁的1階模態(tài)頻率（70 Hz）和2階主導模態(tài)頻率（95 Hz）。通過實驗測試及數據擬合得出各頻率點滯后補償與激勵頻率的函數關系，設計了分頻滯后補償PID控制器。搭建試驗系統并與常規(guī)PID控制器控制效果對比，驗證了多頻振動條件下所設計控制器的有效性，其中加速度均方根最大衰減可達45%，證明所設計控制器能較好抑制柔性梁結構的振動。10-19.

圖8 70 Hz+95 Hz雙頻激勵控制效果

圖9 70 Hz+80 Hz雙頻激勵控制效果

表5 雙頻激勵條件下分頻相位補償前后加速度均方值及衰減率對比

表6 三頻激勵條件下PID控制器參數

表7 三頻激勵下分頻滯后補償前后加速度均方值及衰減率對比

圖10 70 Hz+80 Hz+95 Hz三頻激勵控制效果

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