胡啟國，韓 奧，王宇謙

（重慶交通大學(xué) 機電與車輛工程學(xué)院,重慶 400074）

連續(xù)型減速帶被設(shè)置在高速公路的一些特殊路段，其原理是使通過的車輛產(chǎn)生振動，提示駕駛員減速[1]。在連續(xù)型減速帶的周期性激勵下，非線性懸架車輛有可能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象?；煦缬锌赡軐囕v造成不良影響，對車輛混沌狀態(tài)的識別和抑制十分重要。

國內(nèi)外學(xué)者對車輛的非線性特性做了諸多研究。G Litak等利用Melnikov過程分析了單自由度車輛模型在白噪聲路面激勵下進(jìn)入混沌的途徑[2]。Q Zhu等對車輛在正弦路面激勵下的混沌狀態(tài)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)車輛在某激勵頻率區(qū)間內(nèi)存在混沌[3]。DNaik等建立了包含時間延遲和速度反饋的單自由度汽車模型，發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)確定延遲時間能夠有效消除車輛混沌[4]。楊紹普等利用隨機Melnikov過程分析車輛在隨機路面激勵下路面白噪聲強度對車輛混沌狀態(tài)的影響，研究表明噪聲強度越大，車輛混沌越不容易發(fā)生[5]。梁山等采用仿真和實驗的方法研究了二自由度1/4車輛非線性懸架模型的混沌振動特性，運用頻率分岔圖、相軌跡圖等圖像揭示了車輛在連續(xù)型路面激勵下產(chǎn)生混沌的可能性，并引入直接變量反饋控制將車輛的混沌運動轉(zhuǎn)化為周期運動[6-7]。

盡管國內(nèi)外學(xué)者對車輛混沌做了諸多研究，相關(guān)研究仍存在待改進(jìn)之處。在車輛模型建立方面，未考慮到發(fā)動機對車輛混沌的影響；在車輛混沌識別方面，頻率分岔圖、相軌跡圖等圖像僅能定性分析車輛混沌狀態(tài)，在車輛混沌識別時具有一定主觀性；在車輛混沌抑制方面，利用反饋控制抑制車輛混沌時，反饋增益系數(shù)對車輛混沌抑制效果有明顯影響，利用傳統(tǒng)方法確定最佳反饋增益系數(shù)較為困難。故文中建立考慮發(fā)動機激勵的五自由度車輛模型，以車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)衡量車輛混沌程度，引入粒子群算法搜索反饋控制的最佳反饋增益系數(shù)，提高最佳反饋增益系數(shù)的搜索效率，優(yōu)化反饋控制對車輛混沌的抑制效果。

1 連續(xù)型減速帶路面激勵模型

以半正弦函數(shù)建立減速帶模型，減速帶高度為h，單個減速帶寬度為w1，各減速帶間隔為w2，且w1=w2=w。減速帶靜態(tài)模型如圖1所示。減速帶高度h=0.005 m，減速帶寬度w1=0.5 m，減速帶間隔w2=0.5 m。

圖1 減速帶靜態(tài)模型

汽車以速度v通過減速帶，通過單個減速帶所需時間為t1，t1=w1/v。通過減速帶間距所需時間為t2，t2=w2/v，由于w1=w2，故t1=t2。車輛以速度v通過一個減速帶和一個減速帶間距的時間，即連續(xù)型正弦減速帶動態(tài)模型的周期T

根據(jù)式(1)可得該動態(tài)模型的角速度

則連續(xù)型正弦減速帶的動態(tài)模型為

2 非線性汽車懸架模型

車輛結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要根據(jù)一定規(guī)則做相應(yīng)簡化?？紤]到車輛在通過減速帶時兩側(cè)路面激勵基本相同，前后輪處路面激勵存在相位差，將車輛視為左右對稱結(jié)構(gòu)，建立考慮發(fā)動機激勵的五自由度1/2車輛模型，如圖2所示。

圖2 五自由度車輛模型

圖2中ze為發(fā)動機的垂直位移；zb為車身的垂直位移；zf、zr分別為前、后懸架的垂直位移；qf、qr分別為前、后輪胎的垂直路面激勵。me為發(fā)動機質(zhì)量；mb為車身質(zhì)量；mf、mr為前、后輪胎質(zhì)量。a、b分別為前后懸架到質(zhì)心的距離；d為發(fā)動機懸置裝置位置到質(zhì)心的距離。ke為發(fā)動機懸置裝置彈簧剛度；kf2、kr2分別為前、后懸架彈簧剛度；kf1、kr1分別為前、后輪胎的彈性剛度。ce為發(fā)動機懸置裝置阻尼系數(shù)；cf2、cr2分別為前、后懸架阻尼系數(shù)；cf1、cr1分別為前、后輪胎的阻尼系數(shù)。文中符號e表示發(fā)動機，f表示前，r表示后，1表示車輪，2表示懸架。

以車輛靜止時的平衡位置為各廣義坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，車輛的運動方程可以表示為

非線性彈簧的彈性力可表示為

式(5)中Fk為彈性力；k為彈性系數(shù)；Δz表示彈性形變量；sgn(·)為符號函數(shù)，表示正負(fù)。當(dāng)n＝1時彈簧表現(xiàn)為線性，n≠1時彈簧表現(xiàn)為非線性。

懸架阻尼器和輪胎的阻尼力可表示為

式中cu為壓縮行程阻尼，cd為拉伸行程阻尼。

發(fā)動機激勵可以表示為[8]

車輛模型參數(shù)如表1所示[9]。

表1 汽車模型參數(shù)

3 車輛混沌特性分析

3.1 基于圖像法的混沌特性分析

一般車輛通過連續(xù)型減速帶的速度范圍為10 m/s～20 m/s。以車速為橫坐標(biāo)，以各車速工況下車身位移的poincaré截面點作為縱坐標(biāo)，繪制車身位移的車速分岔圖，如圖3所示。

圖3 車輛垂向位移頻率分岔圖

分岔圖不能有效分辨各車速工況下準(zhǔn)周期運動和非周期運動，車輛系統(tǒng)的混沌狀態(tài)和進(jìn)入混沌的途徑需要利用poincaré截面圖做進(jìn)一步分析。對于poincare截面，以在該平面上的一個相點為起點，相軌跡經(jīng)過一周期運動后又回到該平面，相軌跡與該平面的交點為poincare截面點。當(dāng)經(jīng)過多個周期后，該截面上點的個數(shù)反映了系統(tǒng)的運動狀態(tài)。當(dāng)Poincare截面上只有一個不動點和少數(shù)離散點時，可判定運動是周期的；當(dāng)Poincare截面上是一封閉曲線時，可判定運動是準(zhǔn)周期的；當(dāng)Poincare截面上出現(xiàn)成片的密集點，且有層次結(jié)構(gòu)時，可判定運動處于混沌狀態(tài)。選取三個車速為10 m/s、15 m/s和20 m/s，分別作對應(yīng)車速工況下車身的poincaré截面圖如圖4、圖5和圖6所示。分析低速、中速和高速工況下車輛混沌狀況和車輛進(jìn)入混沌的途徑。

圖4 10 m/s車速工況下車身poincaré截面圖

圖4中車身poincaré截面點組成兩個相互分離的極限環(huán)，表明車輛處于非周期運動狀態(tài)，車輛進(jìn)入混沌的途徑為多激勵頻率下系統(tǒng)振動的相互耦合。

圖5 15 m/s車速工況下車身poincaré截面圖

圖5中車身poincaré截面點的兩個相互分離的極限環(huán)融合為一個極限環(huán)且有破裂的趨勢，表明車輛處于非周期運動狀態(tài)，車輛進(jìn)入混沌的途徑仍為多激勵頻率下系統(tǒng)振動的相互耦合。

圖6 20 m/s車速工況下車身poincaré截面圖

圖6中車輛相軌跡圖為一組螺旋線，poincaré截面圖中極限環(huán)完全破裂，表明車輛處于非周期運動狀態(tài)，極限環(huán)破裂，車輛由分岔途徑進(jìn)入混沌。

3.2 基于數(shù)值法的混沌特性分析

利用車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)識別車輛系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，Lyapunov指數(shù)是目前定量識別混沌最可靠的一個指標(biāo)[6]，表示相空間內(nèi)鄰近軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率的數(shù)值特征，體現(xiàn)了混沌系統(tǒng)對初值的敏感性。

以4階5級龍格庫塔算法求解式(4)，得到一組時間序列，將此時間序列做標(biāo)準(zhǔn)化處理后首尾相接組成一組一維時間序列。利用坐標(biāo)延遲法對該時間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)

式(8)中Yk為m維相空間，k=1,2,…,N-(m-1)τ，τ為延遲時間，m為嵌入維數(shù)，為保證相空間重構(gòu)的保真度和Lyapunov指數(shù)計算的準(zhǔn)確性，這兩個參數(shù)的選取十分重要，采用互信息法得到延遲時間τ與信息熵I(τ)的關(guān)系[10]，得到的結(jié)論是最佳延遲時間為向后延遲14個采樣點，采樣補償T=0.001即延遲時間為τ=0.014 s。利用虛假鄰近點法確定嵌入維數(shù)，利用matlab計算出嵌入維數(shù)與虛假臨近點占比的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是當(dāng)嵌入維數(shù)為m=29時，繼續(xù)擴大嵌入維數(shù)，虛假臨近點占比不再發(fā)生改變，故路面激勵頻率為10 Hz時，車輛系統(tǒng)時間序列的嵌入維數(shù)應(yīng)該取29[10]。再利用wolf法計算相空間重構(gòu)后時間序列的最大Lyapunov指數(shù)，各車速工況下車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)如圖7所示。

圖7 各車速工況下車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)圖

各車速工況下車輛最大Lyapunov指數(shù)均大于零，車輛處于混沌狀態(tài)。低速時路面激勵頻率與發(fā)動機激勵頻率相差較大，在多頻率激勵下車輛混沌較為明顯；中速時路面激勵頻率與發(fā)動機頻率相差減小，車輛極限環(huán)逐漸融合，車輛混沌程度降低；高速時車輛極限環(huán)破裂，車輛由分岔途徑進(jìn)入混沌，混沌程度急劇增大。注意到在15.69 m/s車速工況下，車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)劇烈增大，這是由于在此車速附近車輛極限環(huán)完全融合，車輛進(jìn)入混沌的途徑由多頻率激勵轉(zhuǎn)變?yōu)榉植恚藭r車輛發(fā)生陣發(fā)性混沌。

4 車輛混沌智能抑制

4.1 反饋控制

直接變量反饋控制[7]能夠在系統(tǒng)目標(biāo)非穩(wěn)定周期軌道未知的前提下，通過調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)實現(xiàn)混沌抑制。利用分段二次函數(shù)x|x|作為反饋控制的形式，這種控制方法易于實現(xiàn)，對系統(tǒng)影響小[11]。設(shè)計系統(tǒng)的控制器為U=Kx|x|的形式，其中K為反饋增益系數(shù)矩陣，將控制器作用于原系統(tǒng)，令

則系統(tǒng)前4項的狀態(tài)空間方程可根據(jù)式(4)改寫為

4.2 最優(yōu)反饋控制系數(shù)智能搜索

反饋增益系數(shù)決定了混沌抑制的效果，引入改進(jìn)的粒子群算法，以使車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)最小化為控制目標(biāo)，搜索最佳反饋增益系數(shù)[k1,k2,k3,k4]。與傳統(tǒng)反饋控制不同，文中反饋增益系數(shù)在控制過程中不斷變化，擴展了粒子群算法的搜索域，可以得到更佳的反饋控制效果。同時，為了避免粒子群算法中普遍存在的“早熟”問題，還需要對粒子群做“早熟”判斷，利用混沌搜索對“早熟”粒子群做早熟處理，避免計算陷入局部最優(yōu)解。

搜尋全局最優(yōu)反饋系數(shù)[k1,k2,k3,k4]步驟如下：

(1)初始化M個4×N的隨機向量組成一個(P×4)×N的矩陣作為初始解，生成同構(gòu)隨機向量作為初始粒子群的“遷移”速度。

(2)以反饋控制后車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)作為相應(yīng)粒子群的適應(yīng)度，第i代粒子群適應(yīng)度記為Lyai。Lyaig為第i代粒子群中最小的最大Lyapunov指數(shù)，對應(yīng)的反饋系數(shù)即為局部最優(yōu)反饋系數(shù)kig；Lyaq為迄今為止搜索到的最小的最大Lyapunov指數(shù)，對應(yīng)的反饋系數(shù)即為全局最優(yōu)反饋系數(shù)kq。

(3)若反饋控制后車輛最大Lyapunov指數(shù)為非正數(shù)或到達(dá)極限代數(shù)，則結(jié)束計算，將該粒子群位置作為全局最優(yōu)解輸出；若不滿足此條件，則進(jìn)行早熟判斷。

(4)粒子群群體適應(yīng)度方差σ2體現(xiàn)了粒子群的“聚集”程度，以σ2為粒子群早熟判據(jù)，其定義為

式中m為目前為止粒子群代數(shù)，Lyaavg為目前為止粒子群平均適應(yīng)度，L為歸一化標(biāo)定因子，限制了群體適應(yīng)度方差的大小，其確定公式為

當(dāng)σ2＜C時，認(rèn)為粒子群處于早熟狀態(tài)，做早熟處理；當(dāng)σ2＞C時，認(rèn)為粒子群處于非早熟狀態(tài)，則產(chǎn)生下一代粒子群，將產(chǎn)生的下一代粒子群返回步驟(3)繼續(xù)粒子群計算。文中將此常數(shù)C設(shè)置為0.7。

(5)混沌優(yōu)化算法利用混沌變量的隨機性、遍歷性和規(guī)律性特點在解空間中進(jìn)行優(yōu)化搜索，易于跳出局部最優(yōu)解[12]。選擇Logistic映射產(chǎn)生混沌變量

其中：μ是控制參數(shù)，當(dāng)μ=4時Logistics系統(tǒng)處于完全混沌狀態(tài)。利用混沌對初始條件的敏感性選取n個有微小差別的初值yq，由式(12)得到n個混沌變量yp′。根據(jù)式(13)產(chǎn)生n個新的反饋增益系數(shù)kigq′。

這n個變量組成混沌優(yōu)化算法的解空間，將這n個新的反饋增益系數(shù)代入式(13)計算車輛系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，此解空間內(nèi)使車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)最小的反饋增益系數(shù)記為kig′，以kig′更新kig并返回步驟3繼續(xù)粒子群計算。

(6)根據(jù)式(14)和式(15)生成第i代粒子群及其“遷移”速度

其中：i=1,2,3,4；d=1,2,…,M；a為約束系數(shù)，控制了粒子群“遷移”速度的權(quán)重；ω≥0為慣性因子；c1、c2≥0為學(xué)習(xí)因子；r1、r2為隨機因子，為[0，1]之間的隨機數(shù)。

其流程如圖8所示。

圖8 改進(jìn)粒子群算法流程圖

4.3 控制效果分析

為分析反饋控制的混沌抑制效果，將利用粒子群算法搜索得到的全局最優(yōu)反饋增益系數(shù)代入式(9)中，做控制后車速為20 m/s時車身poincaré截面圖，如圖9所示。

比較圖6與圖9，發(fā)現(xiàn)控制后車輛運動狀態(tài)由混沌運動轉(zhuǎn)化為周期運動。反饋控制能夠有效抑制車輛系統(tǒng)混沌。

圖9 20 m/s車速工況下控制后車身poincaré截面圖

進(jìn)一步分析反饋控制在各車速工況下對車輛混沌的抑制效果，計算反饋控制后各車速工況下車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)，反饋控制前后車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)如圖10所示。

圖10 反饋控制前后各車速工況下車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)圖

各車速工況下車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)均有明顯減小，說明各車速工況下反饋控制均能有效抑制車輛混沌。

5 結(jié)語

建立考慮發(fā)動機振動的五自由度汽車模型，分析車輛在連續(xù)型減速帶及發(fā)動機聯(lián)合激勵下的混沌特性，并以基于粒子群算法的反饋控制對車輛混沌進(jìn)行智能抑制，得到如下結(jié)論：

(1)在減速帶與發(fā)動機聯(lián)合激勵下，車輛在10 m/s～20 m/s車速范圍內(nèi)均處于混沌狀態(tài)。車速在中低速范圍內(nèi)車輛進(jìn)入混沌的途徑是多頻率激勵下系統(tǒng)振動的耦合；高速時車輛由分岔途徑進(jìn)入混沌。

(2)由車輛各車速工況下最大Lyapunov指數(shù)可知，低速時路面激勵頻率與發(fā)動機激勵頻率相差較大，在多頻率激勵下車輛混沌較為明顯；中速時路面激勵頻率與發(fā)動機頻率相差減小，車輛極限環(huán)逐漸融合，車輛混沌程度降低；高速時車輛極限環(huán)破裂，車輛由分岔途徑進(jìn)入混沌，混沌程度急劇增大；在15.69 m/s車速工況下，車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)劇烈增大，在此車速附近車輛極限環(huán)完全融合，車輛進(jìn)入混沌的途徑由多頻率激勵轉(zhuǎn)化為分岔，車輛發(fā)生陣發(fā)性混沌。

(3)利用反饋控制抑制車輛混沌，引入粒子群算法搜索反饋控制的全局最優(yōu)反饋增益系數(shù)，并利用混沌搜索對粒子群算法做出改進(jìn)，避免粒子群發(fā)生“早熟”現(xiàn)象，使計算盡快跳出局部最優(yōu)解。結(jié)果表明在各車速工況下該反饋控制均能有效減小車輛系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)，抑制車輛混沌，將車輛運動狀態(tài)由混沌運動轉(zhuǎn)化為周期或準(zhǔn)周期運動。

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