蒙永紅，賀西平，崔曉娟，衛(wèi)相潤

（陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西省超聲重點實驗室，陜西西安710119）

變幅桿的主要作用是聚能和機械阻抗匹配。林仲茂對傳統(tǒng)的縱向振動變幅桿做了詳細的研究[1]。文獻[2]提出了一端輸入、多端輸出的縱振動轉換體，根據(jù)連接處各物理量的連續(xù)條件推導出了設計轉換體的頻率方程。文獻[3]推導了夾角型變幅桿的矩陣解析法。超聲變幅桿縱向振動時會不可避免地出現(xiàn)彎曲振動，影響振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性,也會降低振動系統(tǒng)的工作效率，嚴重時會出現(xiàn)嘯振甚至停振。

有目的地利用彎曲振動有利于超聲加工。例如，對藍寶石襯底進行輔助化學機械拋光加工，使其表面光滑，提高材料去除率[4]；雙向彎曲振動對硬脆材料以橢圓振動的方式進行加工，可得深度為1.9 μm的小槽[5]；彎曲振動的焊極利于塑料焊接[6]。為了研究變幅桿的彎曲振動，文獻[7]、[8]用傳輸矩陣法計算了超聲錐形變幅桿的彎曲振動頻率。文獻[9]提出了變截面桿彎曲振動的半解析法。文獻[10]計算了一種圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率。

本文以圓柱型變幅桿為例，分別在只考慮轉動慣量或只考慮剪切形變影響時采用Euler-Bernoulli理論以及在考慮轉動慣量和剪切變形影響時采用Timoshenko理論，計算了該變幅桿的彎曲振動頻率方程，并得到了桿的前三階頻率值，又利用有限元軟件計算其彎振頻率，將解析計算和有限元計算結果與實驗測試值進行了比較。

1 圓柱型變幅桿彎曲振動固有頻率

等截面桿彎曲自由振動的微分方程為：

式中：I為轉動慣量；Y為橫向位移；K′為剪切系，對于圓截面取值為0.9；A為截面圓的面積。

1.1 Euler-Bernoulli理論

式（1）中若不考慮轉動和剪切，所得均勻截面桿的彎曲振動方程為：

式中：Y為桿上各點的橫向位移；c為縱波聲速；截面的回轉半徑K為半徑r的一半。

結合自由邊界條件可得：

則兩端自由的圓柱型桿彎曲振動諧振頻率方程為：

式中：

1.2 考慮轉動慣量的彎曲振動頻率

在只考慮轉動慣量的影響時，式（1）中不含剪切系數(shù)，則彎曲振動方程為：

令 Y（x，t）=y（x）T（t），則桿兩端自由邊界條件下的彎曲振動諧振頻率方程為：

1.3 考慮剪切變形的彎曲振動頻率

在只考慮彎曲變形引起的剪切效應時，式（1）中不含項，則彎曲振動方程為：

令 Y（x，t）=y（x）T（t），同理可得彎曲振動諧振頻率方程為：

1.4 考慮轉動慣量和剪切變形影響的Timoshenko理論

簡化式（1），可得Timoshenko理論桿的彎曲振動方程為：

由此可得彎曲振動諧振頻率方程為：

2 有限元計算

取一圓柱型變幅桿，其截面直徑D=15 mm，長度L=120 mm，材料為45鋼，楊氏模量E=2.10e11Pa，剪切模量G=8.0e10Pa，密度ρ=7800 kg/m3。如圖 1所示，采用Ansys15.0軟件建立桿的有限元模型，其坐標原點位于x=0處，所建模型單元類型為Solid187，其中單元數(shù)和節(jié)點數(shù)分別為22 978和4694。圖2a～圖2c分別為彎曲振動的前三階振型圖。

圖1 圓柱形變幅桿的有限元模型

3 實驗測試及分析

為了驗證上述理論計算方法，通過實驗測試了該圓柱形變幅桿兩端自由狀態(tài)的彎曲振動頻率，測試結果見圖3。實驗采用VibPilot振動測試系統(tǒng)多通道測試儀器，將交變信號的電壓和頻率施加到厚度為0.4 mm、直徑為10 mm的壓電陶瓷片上。利用YD-8型加速度計采集這種振動，并將采集的信號傳回VibPilot系統(tǒng)，經分析、處理后得到測試結果。

圖3 變幅桿兩端自由狀態(tài)的彎曲振動頻率測試結果

加工上述尺寸的變幅桿，由式（4）、式（6）、式（8）和式（10），即可求得該變幅桿的前三階彎曲振動頻率，結果見表 1。 其中，下標 E、B、S、T、e、t分別表示：Euler-Bernoulli理論計算值、考慮轉動慣量的理論計算值、考慮剪切變形的理論計算值、Timoshenko理論計算值、有限元計算值、實驗測試值。上述各方法與實驗測試值的誤差分別為：Δ1=

表1 變幅桿前三階彎曲振動頻率的理論計算與實測值

由表1可知，Euler-Bernoulli理論計算結果與實驗測試結果相比誤差較大；有限元計算結果誤差為1.37%～8.79%。Timoshenko理論計算結果與實驗測試結果最接近，其最大誤差只有8.06%，最小誤差為0.89%。這是因為Euler-Bernoulli理論忽略了變幅桿的轉動慣量和剪切變形影響，故造成的誤差較大；而Timoshenko理論考慮了這兩種情形，使其理論值與實驗測試值較接近。

4 結束語

本文利用Euler-Bernoulli和Timoshenko理論，計算、實測了圓柱型變幅桿的彎曲振動頻率，發(fā)現(xiàn)Timoshenko理論的計算結果與實驗測試結果最接近?；谠摲椒?，可研究變截面變幅桿的彎曲振動頻率，為縱-彎耦合、彎-彎耦合等復合型振動系統(tǒng)的設計提供理論依據(jù)。

參考文獻：

[1]林仲茂.超聲變幅桿的原理和設計[M].北京：科學出版社，1987.

[2]賀西平，張海島.單端輸入多端輸出的縱振動轉換體的研究[J].中國科學：物理學 力學 天文學，2016，46（3）：034301.

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[10]嚴日明，劉德福，陳濤，等.一種圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率的計算方法 [J].振動與沖擊，2016，35（7）：198-204.