董靜雨

(石家莊市第二中學(xué),河北 石家莊 050000)

在中學(xué)“電磁感應(yīng)”教學(xué)中,有一些電磁感應(yīng)過(guò)程,在中學(xué)階段是難解釋清楚的．如有這樣一道經(jīng)典題目,題目主要考察學(xué)生利用楞次定律判斷閉合回路中的感應(yīng)電流方向．筆者在通過(guò)對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤解答的深入分析后,又從理論角度進(jìn)行推導(dǎo),發(fā)現(xiàn)本題中的另一番風(fēng)味．

1 一道經(jīng)典題目

圖1

AOC是光滑的直角金屬導(dǎo)軌,AO沿豎直方向,OC沿水平方向,ab是一根靠立在導(dǎo)軌上的金屬直棒(開(kāi)始時(shí)b離O點(diǎn)很近),如圖1所示．它從靜止開(kāi)始在重力作用下運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過(guò)程中a端始終在AO上,b端始終在OC上,直到ab完全落在OC上,整個(gè)裝置放在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中,磁場(chǎng)方向垂直紙面向里,則ab棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

(A) 感應(yīng)電流方向始終是b→a.

(B) 感應(yīng)電流方向先是b→a,后變?yōu)閍→b.

(C) 所受安培力方向垂直于ab向上.

(D) 所受安培力方向先垂直于ab向下,后垂直于ab向上.

本題的正確選項(xiàng)是(B)、(D)．幾乎所有可查到的分析均如下:初始,ab與直角形金屬導(dǎo)軌圍成的三角形面積趨于0,末狀態(tài)ab與直角形金屬導(dǎo)軌圍成的三角形面積也是趨于0,所以整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,閉合回路的面積是先增大后減?。鶕?jù)楞次定律的增反減同,判斷電流方向先是逆時(shí)針后是順時(shí)針,選項(xiàng)(A)錯(cuò)(B)對(duì)．根據(jù)左手定則判斷安培力可得安培力先是垂直于ab向下,后垂直于ab向上,選項(xiàng)(C)錯(cuò)(D)對(duì)．

2 錯(cuò)因分析

學(xué)生的錯(cuò)誤答案是選項(xiàng)(A)、(C)．其原因是因?yàn)閷W(xué)生在分析此題時(shí),認(rèn)為金屬棒ab在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì),b點(diǎn)的速度始終水平向右且有垂直于棒向上的分速度,故利用右手定則判斷出感應(yīng)電流方向始終是b→a,再利用左手定則判斷出所受安培力方向垂直于ab向上,從而得出錯(cuò)誤的答案選項(xiàng)(A)、(C)．

學(xué)生認(rèn)識(shí)到回路中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)實(shí)質(zhì)是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),這一點(diǎn)是正確的．這一電動(dòng)勢(shì)是金屬棒ab在運(yùn)動(dòng)中切割磁感線產(chǎn)生的．然而,由于學(xué)生知識(shí)所限,在分析金屬棒切割方向時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤,導(dǎo)致得到錯(cuò)誤答案．

在切割類(lèi)電動(dòng)勢(shì)中,動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小為Blv．在磁感應(yīng)強(qiáng)度B、導(dǎo)體棒切割長(zhǎng)度l和切割速度v3個(gè)參量中,若其中任意兩者平行,則不會(huì)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)．

圖2

金屬棒ab的運(yùn)動(dòng),在題給圖示位置時(shí),b端有水平向右的速度vb,同時(shí)a端有豎直向下的速度va,如圖2所示．

兩速度在沿棒方向的分速度v∥相等,這一分速度并不切割磁感線,對(duì)電動(dòng)勢(shì)沒(méi)有貢獻(xiàn)．但是,b端垂直棒向上的分速度vb⊥與a端垂直棒向下的分速度va⊥均切割磁感線,對(duì)回路電動(dòng)勢(shì)有貢獻(xiàn)．這種切割可以等效為金屬棒ab在繞著棒上某點(diǎn)O2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)切割磁感線．O2點(diǎn)是金屬棒中僅有沿棒的分速度而沒(méi)有垂直棒的分速度的一點(diǎn)．因此O2b端切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閎→a,O2a端切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閍→b,整個(gè)金屬棒ab中的電動(dòng)勢(shì)為兩者之和．在初始瞬間,a點(diǎn)速度沿棒方向,垂直棒方向分速度為0,b點(diǎn)速度垂直棒方向,沿棒速度為0,故O2點(diǎn)在a點(diǎn);在末態(tài)瞬間,a點(diǎn)速度垂直棒方向,沿棒速度為0,b點(diǎn)速度沿棒方向,垂直棒速度為0,故O2點(diǎn)在b點(diǎn)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,O2點(diǎn)從a點(diǎn)逐漸移動(dòng)到b點(diǎn),前一段時(shí)間內(nèi)O2b長(zhǎng)度大于O2a長(zhǎng)度,O2b段產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)大于O2a段電動(dòng)勢(shì),故金屬棒ab中電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閎→a;當(dāng)O2點(diǎn)位于棒中點(diǎn)時(shí),金屬棒中電動(dòng)勢(shì)為0,此后過(guò)程中由于O2a長(zhǎng)度大于O2b長(zhǎng)度,O2a段產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)大于O2b段電動(dòng)勢(shì),故金屬棒ab中電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閍→b．結(jié)合左手定則可得到本題正確選項(xiàng)為(B)、(D)．

上面是從定性角度對(duì)題目進(jìn)行分析,下面從定量角度再次對(duì)題目做更深入詳盡的討論．

3 理論分析

根據(jù)感應(yīng)電流與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系,我們可以通過(guò)定量計(jì)算金屬棒滑動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻ab兩端的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),進(jìn)而分析回路中感應(yīng)電流．

為了簡(jiǎn)化金屬棒中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算,我們假設(shè)金屬棒與直角金屬導(dǎo)軌絕緣接觸,即電路開(kāi)路,僅有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),沒(méi)有感應(yīng)電流．在這種情況下,金屬棒由靜止?fàn)顟B(tài)在重力作用下順著墻壁滑下,金屬棒減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為其增加的動(dòng)能.

ΔEp=-ΔEk.

(1)

在某一時(shí)刻t,金屬棒到達(dá)圖2所示狀態(tài),設(shè)金屬棒質(zhì)量為m,棒長(zhǎng)為L(zhǎng),a端縱坐標(biāo)為y,金屬棒的動(dòng)能為Ek．從初始狀態(tài)到此時(shí)刻,根據(jù)能量守恒有

(2)

在此時(shí)刻,選取金屬棒的速度瞬心O1為參考點(diǎn),此時(shí)金屬棒僅有轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,故Ek可以表示為

(3)

式中I為金屬棒繞速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．在不同時(shí)刻時(shí),金屬棒的速度瞬心不同,根據(jù)圖中幾何關(guān)系及平行軸定理[1],能夠證明任意時(shí)刻時(shí)金屬棒繞速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為

(4)

(5)

過(guò)金屬棒的速度瞬心作金屬棒的垂線交金屬棒O2點(diǎn),此O2點(diǎn)只有沿金屬棒的速度,沒(méi)有垂直金屬棒的速度分量．因此,金屬棒ab中的電動(dòng)勢(shì)可以認(rèn)為是金屬棒aO2和金屬棒bO2分別繞O2點(diǎn)旋轉(zhuǎn)切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)的和，即

(6)

式中rb和ra分別表示金屬棒bO2和金屬棒aO2的長(zhǎng)度．根據(jù)幾何關(guān)系得

(7)

由(5)～(7)式解得金屬棒ab的電動(dòng)勢(shì)為

(8)

利用MATLAB軟件模擬出在B=0.5 T,L=1.0 m,g=9.8 m/s2的情況下,金屬棒中的電動(dòng)勢(shì)變化規(guī)律如圖3所示．

圖3

圖4

4 拓展

若將直角形金屬導(dǎo)軌換成固定的圓形導(dǎo)軌,如圖4所示．根據(jù)上述分析可知金屬棒ab在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中速度瞬心O1一直保持在圓形導(dǎo)軌圓心處不變,故棒上只有沿棒速度的點(diǎn)O2始終固定在棒的中點(diǎn),此時(shí)切割可等效為棒繞中點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)切割,且兩端的電動(dòng)勢(shì)始終等大反向,總和為0．

5 小結(jié)

中學(xué)階段對(duì)于電磁感應(yīng)現(xiàn)象中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的討論,由于所學(xué)知識(shí)的限制,在很多情況下,如本題所給情景,是沒(méi)有辦法給出詳細(xì)解釋的．以上對(duì)本題目的討論中,不僅對(duì)學(xué)生的能力提出了更高的要求,同時(shí)也對(duì)教師的能力提出了更高的要求．對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)解,歸根結(jié)底在于學(xué)生的“想當(dāng)然”,沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)深入地吃透物理模型．在高中物理題目中偶有相似的題目出現(xiàn),其中的錯(cuò)誤具有很強(qiáng)的迷惑性．作為高中物理教師,應(yīng)該從普通物理的高度去理解知識(shí),準(zhǔn)確地把握物理模型的內(nèi)涵,才能在高中物理知識(shí)的講解中做到清晰透徹,不被此類(lèi)的錯(cuò)誤所迷惑．

以上是筆者的一孔之見(jiàn),不妥之處,請(qǐng)各位同仁賜教．

參考文獻(xiàn)：

1 漆安慎，杜嬋英. 普通物理學(xué)教程·力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社,2011(9)： 225-226.