莊金洪

(福建商學院 基礎部，福建 福州，350012)

1.引言與預備知識

關于Jordan導子的研究一直是國內外眾多學者關注的熱點問題，其中“Jordan導子什么時候退化成導子”已被許多學者討論。由局部Jordan導子的定義可知，Jordan導子一定是局部Jordan導子，局部Jordan導子不一定是Jordan導子。而近來，趙延霞[1]通過對交換幺環(huán)上全矩陣代數(shù)的Jordan導子和局部Jordan導子的研究，證明了交換幺環(huán)上的全矩陣代數(shù)上的每一個Jordan導子都是內導子，每一個局部Jordan導子也都是內導子。對于交換半環(huán)上全矩陣代數(shù)的局部Jordan導子是否也有類似的結論呢？本文的研究旨在解決這個問題，并得到肯定的答案。

定義1[2]：半環(huán)R=(R,+,·,0,1)是滿足下列性質的一種代數(shù)結構：

(1) (R,+,0)是一個交換幺半群；

(2) (R,·,1) 是一個幺半群；

(3) 對任意的a,b,c∈R，均有a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c；

(4) ?a∈R,0·a=a·0=0；

(5) 0≠1。

半環(huán)R稱為交換半環(huán)，如果?a,b∈R,均有ab=ba。

半環(huán)R稱為2-非撓的，如果對于任意的a,b∈R,如果2a=2b，那么a=b。

(4) 1Rm=m;

(5)r0M=0M=0Rm;

則稱M為左R-半模。

定義3[3]：設R是一個交換半環(huán)，(A,+,·,0,1)是一個半環(huán)。如果(A,+,0)是一個左R-半模，且滿足?r∈R,x,y∈A，均有r(xy)=x(ry)，則稱A是R上的一個代數(shù)。

定義4[4]：設R是一個交換半環(huán)，Mn(R)是由R上所有n階矩陣構成的集合。對于A=(aij),

不難驗證，(Mn(R),+,On)對于純量乘法構成一個左R-半模，稱為交換半環(huán)R上的矩陣半模，其中零元On是n階零矩陣。而(Mn(R),+,·,On,In)是交換半環(huán)R上的一個代數(shù)，稱為交換半環(huán)R的全矩陣代數(shù)。本文將第(i,j)處元素為1、其它位置的元素均為0的n×n矩陣記作eij。

定義5[4]：設R是一個半環(huán)，r∈R，如果在R中存在一個元素s使得r+s=0，則稱r為半環(huán)R的一個可反元，此時稱s為r的一個反元。

容易驗證，可反元r的反元是唯一的,記為-r。設a,b∈R，b是R的可反元，定義a-b=a+(-b)。

定義6[4]：設R是一個交換半環(huán)，M=(aij)n×n∈Mn(R),如果M中的每一個元素aij都是R中的可反元，那么稱M在Mn(R)中是可反的，這時稱(-aij)n×n為M的反矩陣，記為-M。

定義7：設A是R上的一個代數(shù)。

(1) 對于線性映射δ：A→A，如果對于?a,b∈A，均有δ(ab+ba)=δ(a)b+aδ(b)+δ(b)a+bδ(a)，則稱δ是一個Jordan 導子。

(2) 對于線性映射δa：A→A，如果對于?a∈A，存在一個僅依靠于a的Jordan導子δa,使得δ(a)=δa(a)，則稱δa是一個局部Jordan 導子。

2.主要結果及其證明

引理1[4]：設R是一個2-非撓的交換半環(huán)，A是半環(huán)R上的一個代數(shù)，δ是A上的一個Jordan導子。那么對于?a∈A，均有δ(a2)=δ(a)a+aδ(a)。

引理2：設R是一個2-非撓的交換半環(huán)，δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子。

(1)如果E是Mn(R)上的一個冪等元，那么δ(E)=δ(E)E+Eδ(E)。

(2)如果E3=E，E∈Mn(R)，那么δ(E)=δ(E)E2+Eδ(E)E+E2δ(E)。

證明：(1)如果E是Mn(R)上的一個冪等元，那么E=E2。因為δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子，那么存在一個僅依靠于E的Jordan導子δE，使得δ(E)=δE(E)。因此，由引理2.1有：

δ(E)=δE(E)=δE(E2)=δE(E)E+EδE(E)=δ(E)E+Eδ(E)。

(2)因為δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子，那么存在一個僅依靠于E的Jordan導子δE,使得δ(E)=δE(E)。如果E=E3，那么：

δE(E·E2+E2·E)

=δE(E)·E2+EδE(E2)+δE(E2)E+E2δE(E)(Jordan導子的定義)

=δE(E)·E2+E(δE(E)E+EδE(E))+(δE(E)E+EδE(E))E+E2δE(E)(由引理2.1)

=δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E)+δE(E)E2+EδE(E)E+E2δE(E)

=2(δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E))

而δE(E·E2+E2·E)=δE(2E3)=2δE(E3)，所以2δE(E3)=2(δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E))。由于R是一個2-非撓的交換半環(huán)，所以δE(E3)=δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E)。

因此，δ(E)=δE(E)=δE(E3)=δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E)=δ(E)·E2+Eδ(E)E+E2δ(E)。

引理5：設R是一個2-非撓的交換半環(huán)，δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子，那么存在一個可反矩陣M，使得(δ-adM)(eii)=0，i=1,2,…，n。

證明：因為(eii+ejj)2=eii+ejj,?i≠j，所以由引理2可知：

δ(eii+ejj)

=δ(eii+ejj)(eii+ejj)+(eii+ejj)δ(eii+ejj)

=(δ(eii)+δ(ejj))(eii+ejj)+(eii+ejj)(δ(eii)+δ(ejj))

(δ-adM)(eii)

=δ(eii)-adM(eii)=δ(eii)-(Meii-eiiM)

=0。

引理6：設R是一個2-非撓的交換半環(huán)，且R中不存在非零的加法冪等元，δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子，如果δ(eii)=0，i=1,2,…，n,那么存在一個bij∈R，使得δ(eij)=bijeij,1i≠jn。

證明：因為δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子，那么存在一個僅依靠于eij的Jordan導子δeij，使得δ(eij)=δeij(eij)。

因為(eii+eij)2=eii+eij,所以由引理2可知：

δ(eii+eij)

=δ(eii+eij)(eii+eij)+(eii+eij)δ(eii+eij)

=(δ(eii)+δ(eij))(eii+eij)+(eii+eij)(δ(eii)+δ(eij))

=δ(eij)(eii+eij)+(eii+eij)δ(eij)

另一方面，又因為(eij+ejj)2=eij+ejj,所以由引理2可知：

δ(eij)

=δ(eij+ejj)=δ(eij+ejj)(eij+ejj)+(eij+ejj)δ(eij+ejj)

=δ(eij)(eij+ejj)+(eij+ejj)δ(eij)

=bijeij+bjjejj+bjjejj+bjjeij,

對比等式兩邊，可得:bjjejj=bjjejj+bjjejj，再由R的條件，有bjj=0。因此，δ(eij)=bijeij。

引理7：設R是一個2-非撓的交換半環(huán)，且R中不存在非零的加法冪等元，δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子，如果δ(eii)=0，i=1,2,…，n，那么存在一個可反矩陣D∈Mn(R)，使得：

(δ-adD)(ei,i+1)=0,(δ-adD)(ei+1,i)=0,1in-1，且(δ-adD)(eii)=0，1in。

證明：由引理6，當δ(eii)=0，i=1,2,…，n時，δ(eij)=bijeij。

因為(eij+eji)3=eij+eji,所以由引理2(2)，有：

δ(eij+eji)

=δ(eij+eji)·(eij+eji)2+(eij+eji)·δ(eij+eji)·(eij+eji)+(eij+eji)2δ(eij+eji)

=(δ(eij)+δ(eji))·(eii+ejj)+(eij+eji)·(δ(eij)+δ(eji))·(eij+eji)+(eii+ejj)(δ(eij)+δ(eji))

=(bijeij+bjieji)·(eii+ejj)+(eij+eji)·(bijeij+bjieji)·(eij+eji)+(eii+ejj)(bijeij+bjieji)

=bjieji+bijeij+(bijeji+bjieij)+bijeij+bjieji

=(bij+bji+bij)eij+(bji+bij+bji)eji

而δ(eij+eji)=δ(eij)+δ(eji)=bijeij+bjieji，所以bij=bij+bji+bij,bji=bji+bij+bji。

因此，bij+bji=(bij+bji+bij)+bji=(bij+bji)+(bij+bji),再由R的條件，可得：bij+bji=0。

所以，bji=-bij。

可設可反矩陣D=-diag(0,b12,b12+b23,…,b12+b23+…+bn-1,n)，則：

(δ-adD)(eii)=0-(Deii-eiiD)=0,1in;

(δ-adD)(ei+1,i)=bi+1,iei+1,i-(Dei+1,i-ei+1,iD)

引理8：設R是一個2-非撓的交換半環(huán)，且R中不存在非零的加法冪等元，δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子，如果δ(ei,i+1)=0,δ(ei+1,i)=0,1in-1，且δ(eii)=0，1in，那么：

δ(ei,i+k)=0,δ(ei+k,i)=0,?ei,i+k,ei+k,i∈Mn(R)。

證明：由引理6，當δ(eii)=0，i=1,2,…，n時，δ(eij)=bijeij。

當k=2時，因為

(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)2=ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1，所以：

δ(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)

=δ(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)·(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)+(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)·δ(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)

=δ(ei,i+2)·(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)+(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)·δ(ei,i+2)

=bi,i+2ei,i+2·(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)+(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)·bi,i+2ei,i+2=0,

而δ(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)=δ(ei,i+1)+δ(ei+1,i+2)+δ(ei,i+2)+δ(ei+1,i+1)=δ(ei,i+2)，因此，δ(ei,i+2)=0。

類似的，由(ei+1,i+ei+2,i+1+ei+2,i+ei+1,i+1)2=ei+1,i+ei+2,i+1+ei+2,i+ei+1,i+1可得：δ(ei+2,i)=0。

假設δ(ei,i+m)=0,δ(ei+m,i)=0,m=2,3,…,k-1。

因為ei,i+1+ei+1,i+k+ei,i+k+ei+1,i+1與ei+1,i+ei+k,i+1+ei+k,i+ei+1,i+1均為冪等元，所以類似于k=2，經(jīng)計算可得:δ(ei,i+k)=0,δ(ei+k,i)=0。

因此，由數(shù)學歸納法可知:δ(ei,i+k)=0,δ(ei+k,i)=0, ?ei,i+k,ei+k,i∈Mn(R), 即δ(eij)=0。

定理1:設R是一個2-非撓的交換半環(huán)，且R中不存在非零的加法冪等元，那么Mn(R)上的每個局部Jordan導子都是內導子。

證明：令δ是Mn(R)上的一個局部Jordan導子，那么由引理4到引理8可得：存在可反矩陣M,D∈Mn(R)，使得(δ-adM-adD)(eij)=0,1i,jn。也就是說δ=adM+adD=ad(M+D)，所以δ是Mn(R)上的一個內導子。

參考文獻:

[1]ZHAO Y X. Jordan derivations and local Jordan derivations on full matrix algebras over commutative rings[J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Nankaiensis，2014，47(6):98-104.

[2]GOLAN J S. Semirings and their applications [M].London:Kluwer Academic Publisher，1999.

[3]陳培慈.半環(huán)理論與語言和自動機[M].南昌:江西高校出版社，1993.

[4]莊金洪. 交換半環(huán)上全矩陣代數(shù)的Jordan導子[J].龍巖學院學報，2017，35(2):35-39.