劉洪霞 周紹偉 郭花

【摘要】本文將APOS理論應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中，整節(jié)課通過活動、過程、對象、圖式等階段的逐層構(gòu)建，使學(xué)生在原有知識的基礎(chǔ)上建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識，并通過問題驅(qū)動的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、合作探究，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性。

【關(guān)鍵詞】APOS理論 問題驅(qū)動 導(dǎo)數(shù)的概念 教學(xué)設(shè)計

【中圖分類號】G645 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）19-0005-02

一、引言

美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出的APOS理論是對皮亞杰的“自反抽象”理論的拓展。APOS 理論認為數(shù)學(xué)概念的認知包含活動、過程、對象和圖式四個階段。該理論強調(diào)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，要以實際生活中的問題為背景，老師精心設(shè)計教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，經(jīng)過探究與歸納，建構(gòu)新的知識。在教學(xué)中根據(jù)APOS理論進行教學(xué)設(shè)計，不僅有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，還可以促使學(xué)生更加積極主動地學(xué)習(xí)。

杜賓斯基指出，活動、過程和對象是學(xué)生進行數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的三種狀態(tài)，而圖式就是將這三種狀態(tài)與新概念有關(guān)的所有知識構(gòu)成的認知結(jié)構(gòu)或認知框架[1]。

我們經(jīng)過多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍認為數(shù)學(xué)概念抽象難懂，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握僅停留在被動記憶層面。而APOS理論可以有效地幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的來龍去脈，從加深對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，基于APOS理論的概念學(xué)習(xí)框架圖為：

二、基于APOS 理論的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計

導(dǎo)數(shù)的概念是高等數(shù)學(xué)中一元函數(shù)微分學(xué)的重要概念，也是整個高等數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容。在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了極限和連續(xù)的概念及簡單的計算，初步具備一定的抽象思維能力。

1.活動階段——設(shè)計問題情境，讓學(xué)生形成直觀的感性認識

在學(xué)習(xí)新概念時，教師通過實際問題引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，在課堂教學(xué)中我們主要采用問題驅(qū)動的方式，學(xué)生通過分組協(xié)助積極參與到課堂教學(xué)中。

問題：在奧運比賽中，高臺跳水是我國運動員的強項。請同學(xué)們思考：從數(shù)學(xué)的角度，我們該如何全面、準(zhǔn)確地描述運動員的這樣一個運動？

教師提示：運動員在空中的動作是非常復(fù)雜的，我們不考慮其動作，將運動員看作為一個質(zhì)點，與這個質(zhì)點的運動有關(guān)的是質(zhì)點的位置、速度和時間，請同學(xué)們考慮如何找到位置、速度和時間的關(guān)系。

同學(xué)們分組討論后，教師講解：以跳臺垂直向下與水面的交點為坐標(biāo)原點，豎直向上的方向為y軸正方向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。假設(shè)在比賽過程中，運動員相對水面的高度記為h（單位：米），起跳時初始速度為v0，起跳后的時刻記為t（單位：秒），我們將運動員看作一質(zhì)點，描繪出其運動軌跡如圖所示：

我們仔細觀察運動員的運動過程，發(fā)現(xiàn)在不同的時刻t，運動員相對水面的高度h是在變化的，那h和t之間存在怎樣的關(guān)系呢？

根據(jù)中學(xué)所學(xué)的物理知識，得出：

學(xué)生經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)這段時間的平均速度為零，但是通過視頻顯示運動員一直在運動著，為什么計算結(jié)果是零呢？通過數(shù)值結(jié)果與現(xiàn)實矛盾的產(chǎn)生，我們意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間的運動狀態(tài)，無法刻畫運動的細節(jié)，因為運動員的速度是時時刻刻改變的，平均速度不足以描述這個運動。

2.過程階段 ——將活動階段內(nèi)化并抽象出概念

這就是瞬時速度這個概念的數(shù)學(xué)表示。其中△t是時間增量，而△t→0表示了這個增量逐步縮小的過程。

教師還可以用類似的思想引導(dǎo)學(xué)生解決股指“跳水”，房價“暴漲”，氣溫“陡增”，GDP“猛增”等變化率問題。

上述例子，雖然問題不同，但數(shù)學(xué)本質(zhì)相同，都是函數(shù)值的變化和自變量變化的比值，即屬于變化率問題。和學(xué)生一起總結(jié)出：

3.對象階段 —— 通過探究和反思，形成導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

綜合前面的思考過程，引導(dǎo)學(xué)生拋開問題的實際意義，抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。那么如何判斷函數(shù)在某一點是否可導(dǎo)呢？通過具體的例題讓學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)。進一步給出函數(shù)在某點不可導(dǎo)例題，從而引導(dǎo)學(xué)生給出導(dǎo)函數(shù)和單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。

通過問題探究引導(dǎo)學(xué)生思考導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

問題：中學(xué)學(xué)過圓的切線的定義，即與圓只有唯一交點的直線叫圓的切線，那么“與曲線有唯一交點的直線是該曲線的切線”這樣定義曲線的切線合理嗎？不合理的話如何給出曲線的切線的定義？此處，借助多媒體手段，形象地觀察如何借助極限這個工具定義曲線的切線。

4.圖式階段 —— 整合活動、過程與對象階段，形成清晰的圖式結(jié)構(gòu)

學(xué)生經(jīng)過前面三個階段的學(xué)習(xí)后，頭腦中基本形成了概念的結(jié)構(gòu)圖，經(jīng)過的長期、反復(fù)地學(xué)習(xí)，并與原有的圖式進行整合，可以建立起綜合的圖式，從而能建立起知識點之間的前驅(qū)后繼關(guān)系，對高等數(shù)學(xué)的知識體系有更深刻的理解。

我們?nèi)圆捎脝栴}驅(qū)動的教學(xué)方式。請同學(xué)們思考導(dǎo)數(shù)的概念可以解釋生活中的哪些現(xiàn)象？設(shè)計這個問題的主要目的是讓學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念解決實際問題，加深對所學(xué)知識的理解。最后請同學(xué)們思考導(dǎo)數(shù)與連續(xù)有什么區(qū)別與聯(lián)系？可導(dǎo)是不是一定連續(xù)？連續(xù)是不是一定可導(dǎo)呢？

同學(xué)們討論后總結(jié)出結(jié)論： 如果函數(shù)y=f（x）在點x0處可導(dǎo)，則它在點x0處一定連續(xù)。

那么定理的逆命題成立嗎？即y=f（x）在點x0處連續(xù)，則它在點x0處可導(dǎo)嗎？你能舉出連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)嗎？

通過上述問題的解答，讓學(xué)生腦子里進一步形成導(dǎo)數(shù)概念的清晰的圖示結(jié)構(gòu)。

三、結(jié)束語

本節(jié)課我們首先通過跳臺運員的速度等現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)平均變化率對描述這些現(xiàn)象很有幫助，但是我們通過跳臺運動員這樣一個運動發(fā)現(xiàn)平均變化率只能描述事物變化的結(jié)果，但是不能描述事物變化的過程，因此我們看到引進瞬時變化率即導(dǎo)數(shù)的必要性。那是不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)呢？答案是否定的。不過有些函數(shù)雖然不可導(dǎo)，但從左側(cè)或右側(cè)看卻是可導(dǎo)的，為此我們給出了單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。對照前面學(xué)習(xí)的連續(xù)，我們自然會思考連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系。通過運用本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們體會到數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用，很多看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象我們可以用數(shù)學(xué)方法來解釋。請同學(xué)們以后多用數(shù)學(xué)的眼光看我們所處世界，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)因為應(yīng)用而美麗。

參考文獻：

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作者簡介：

劉洪霞（1979-），山東科技大學(xué)講師，女，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。