劉 程，呂恒緒，杜天強(qiáng)，陳志勇

(1.中國(guó)汽車(chē)技術(shù)研究中心， 天津 300300; 2.吉林大學(xué) 汽車(chē)仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 長(zhǎng)春 130022)

伴隨著輕量化技術(shù)及節(jié)能減排的發(fā)展，越來(lái)越多的汽車(chē)采用變剛度鋼板彈簧。拋物線板簧是一種板簧片寬保持不變、簧片斷面厚度尺寸沿長(zhǎng)度方向呈拋物線變化的變截面板簧。它具有質(zhì)量輕、性能好、動(dòng)摩擦小、可避免高頻振動(dòng)彈簧敲擊現(xiàn)象等諸多優(yōu)點(diǎn)。單片拋物線板簧已經(jīng)在部分汽車(chē)上得到應(yīng)用[1-5]。對(duì)于多片拋物線板簧，由于制造業(yè)水平的限制，不能完全保證板簧可靠性，故此類(lèi)板簧在汽車(chē)上還沒(méi)有得到廣泛應(yīng)用。兩片式變剛度拋物線板簧是最簡(jiǎn)單的兩級(jí)變剛度板簧，目前出于安全性的考慮，會(huì)使用兩片等長(zhǎng)的拋物線板簧構(gòu)成主簧，這樣就形成了本文所研究的三片式變剛度拋物線板簧。

剛度是板簧設(shè)計(jì)的重要參數(shù)之一，當(dāng)前計(jì)算板簧剛度的方法主要分為公式計(jì)算法、有限元法以及實(shí)驗(yàn)法。因?qū)嶒?yàn)法耗費(fèi)大量的人力、財(cái)力，并花費(fèi)大量時(shí)間，當(dāng)前研究較多的是公式計(jì)算法和有限元法。在公式計(jì)算法方面，很多學(xué)者[6]主要是抽象出板簧數(shù)學(xué)模型，建立某一類(lèi)板簧的剛度計(jì)算公式，并通過(guò)有限元和臺(tái)架實(shí)驗(yàn)對(duì)此方法進(jìn)行驗(yàn)證。還有許多學(xué)者利用有限元法對(duì)板簧剛度進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[7-11]利用有限元法對(duì)板簧剛度進(jìn)行計(jì)算，并用臺(tái)架實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有限元計(jì)算結(jié)果。對(duì)比以上兩種剛度計(jì)算方法可以發(fā)現(xiàn)：有限元法通用性較好，適用于各種板簧的剛度計(jì)算，但有限元法比較復(fù)雜，需要專(zhuān)門(mén)的有限元軟件作為輔助，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)；公式法計(jì)算簡(jiǎn)單、快速，但受板簧類(lèi)型的影響，某些公式只能適合某一特定板簧，對(duì)于如多片式拋物線變截面這類(lèi)板簧，由公式法直接求出剛度非常困難。而基于板簧數(shù)學(xué)模型建立的剛度數(shù)值計(jì)算方法有較好的通用性，不需要板簧剛度計(jì)算具體計(jì)算公式，只需要板簧的基本尺寸參數(shù)就可以快速得出板簧的剛度。當(dāng)前，對(duì)于變截面板簧復(fù)合剛度的研究主要集中在有限元法，因此有必要建立一種通用的數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算此類(lèi)剛度值。本文結(jié)合所研究的實(shí)際項(xiàng)目，對(duì)三片式變剛度拋物線板簧這類(lèi)變截面鋼板彈簧的復(fù)合剛度進(jìn)行理論研究，為鋼板彈簧的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供依據(jù)。

首先，對(duì)整體板簧模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立板簧數(shù)學(xué)模型，從材料彎曲變形理論出發(fā)，推導(dǎo)出鋼板彈簧撓度計(jì)算一般積分式。其次，對(duì)于變截面鋼板彈簧，提出一種利用數(shù)值積分求解此復(fù)合剛度的方法，并編寫(xiě)Matlab計(jì)算程序，通過(guò)程序快速計(jì)算出此類(lèi)型板簧撓度。最后，建立一典型三片式拋物線板簧有限元模型，通過(guò)有限元計(jì)算和臺(tái)架試驗(yàn)獲得此板簧的剛度值，并與所提方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 兩級(jí)變剛度拋物線板簧模型簡(jiǎn)化

1.1 板簧總成模型

一般情況下，汽車(chē)采用對(duì)稱(chēng)式鋼板彈簧，但有些汽車(chē)由于設(shè)計(jì)上的要求，也采用非對(duì)稱(chēng)板簧。在理論上，可以把對(duì)稱(chēng)式鋼板彈簧作為非對(duì)稱(chēng)板簧的一種特殊情況。為使汽車(chē)在空載和重載工況下具有同樣的減震效果和平順性，當(dāng)前應(yīng)用較多的兩級(jí)變剛度鋼板彈簧由主簧和副簧組成。主簧和副簧可以由單片或多片板簧組成。當(dāng)載荷較小、副簧不工作、載荷達(dá)到一定值時(shí)，副簧與托架接觸，此時(shí)主副簧共同工作。由于板簧在整車(chē)布置上的限制，要求副簧長(zhǎng)度小于主簧長(zhǎng)度。不失一般性，本文以車(chē)輛的不等臂長(zhǎng)的變剛度拋物線板簧為研究對(duì)象(如圖1所示)，該板簧為三片式兩級(jí)剛度拋物線板簧。第1片和第2片為主簧，一般情況下，兩片主簧的尺寸一樣，當(dāng)然主簧的厚度與寬度尺寸也可以不一樣。

圖1 兩級(jí)變剛度拋物線板簧

1.2 模型的簡(jiǎn)化

本文研究的板簧主副簧之間，為減小摩擦以及接觸時(shí)沖擊，在副簧端部安裝橡膠材料。模型簡(jiǎn)化時(shí)，由于本文研究的是板簧靜態(tài)載荷下的剛度，不存在相互摩擦和沖擊，因此不考慮這些橡膠材料對(duì)剛度計(jì)算的影響，在兩主簧端部的卷耳與包耳之間部位也設(shè)有橡膠，在剛度計(jì)算時(shí)同樣忽略其對(duì)剛度的影響。因此，本文研究的拋物線板簧可簡(jiǎn)化為三片直板簧相互疊加。本文所研究的板簧屬于兩端支承，中間受載變截面弓形板彈簧，工作過(guò)程中板簧的變形與它的長(zhǎng)度相比很小，認(rèn)為在變形過(guò)程中載荷的作用方向不變。因此，此板簧可以簡(jiǎn)化為3片相互疊加的懸臂梁，懸臂梁一端固定，另一端受到集中力，如圖2所示，圖中端部虛線為拋物線延長(zhǎng)線。計(jì)算板簧的剛度等效為計(jì)算板簧在單位載荷下變形的倒數(shù)。由于板簧在小變形狀態(tài)下總體變形滿(mǎn)足變形線性疊加原理，因此本文研究的3片板簧的變形可簡(jiǎn)化為一變截面懸臂梁變形，如圖3所示。拋物線板簧屬于變截面板簧的一種，本文先以一般變截面板簧為研究對(duì)象，推導(dǎo)出撓度計(jì)算方法，然后再推廣到多片式拋物線變截面板簧。通過(guò)以上分析，根據(jù)材料力學(xué)理論，在建模過(guò)程中做如下假設(shè)：

1) 板簧簡(jiǎn)化為懸臂梁，一端固定約束，另一端受一集中力，方向垂直于主片簧面；

2) 主副簧在接觸處具有相同的撓度和曲率；

3) 計(jì)算中忽略簧片的厚度。

圖2 兩級(jí)變剛度拋物線板簧懸臂梁模型

圖3 單片拋物線板簧懸臂梁模型

2 兩級(jí)變剛度拋物線板簧復(fù)合剛度的理論推導(dǎo)及分析

根據(jù)以上理論，先對(duì)單片變截面鋼板彈簧模型進(jìn)行理論研究，然后對(duì)多片式板簧模型進(jìn)行推導(dǎo)分析，最后對(duì)前后不等長(zhǎng)板簧整體剛度進(jìn)行擴(kuò)展研究。

2.1 單片簧的剛度理論推導(dǎo)

2.1.1 懸臂梁端部受力剛度理論推導(dǎo)

本文將所研究的板簧簡(jiǎn)化為變截面懸臂梁。如圖4所示,圖中變形前如實(shí)線所示，在力F的作用下，變形后如虛線所示。將此懸臂梁分割成n段，x為分割點(diǎn)到右端距離，每個(gè)分割點(diǎn)水平距離之間關(guān)系為xo≤x1…≤xi≤xi+1…≤xn=l，θi為第i個(gè)分割點(diǎn)在轉(zhuǎn)矩Mi作用下對(duì)應(yīng)截面轉(zhuǎn)角，fi為第i個(gè)分割點(diǎn)在轉(zhuǎn)矩Mi作用下對(duì)應(yīng)梁端部變形，同理第i+1個(gè)分割點(diǎn)在轉(zhuǎn)矩Mi+1作用下對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角和端部撓度為(θi+1,fi+1)。為研究相鄰分割點(diǎn)之間轉(zhuǎn)角與撓度之間的聯(lián)系，對(duì)相鄰分割點(diǎn)進(jìn)行局部放大，如圖5所示。

圖4 懸臂梁端部受力變形

圖5 相鄰兩點(diǎn)位置參數(shù)水平位置、撓度、轉(zhuǎn)角關(guān)系

在圖5中：虛線為上述懸臂梁變形后撓度線；底部實(shí)線為變形前簡(jiǎn)化線；A、D為兩相鄰分割點(diǎn)。xi、θi、fi、xi+1、θi+1、fi+1的幾何關(guān)系如圖5所示。

xi+1=xi+Δxi+1，θi+1=θi+Δθi+1，

fi+1=fi+Δfi+1

由圖5幾何關(guān)系可以證明：

Δfi+1=xiΔθi+1

(1)

基于式(1)，可推導(dǎo)出此懸臂梁剛度為

(2)

具體推理過(guò)程如下：

(3)

代入式(1)得

(4)

當(dāng)n→∞時(shí)，

(5)

由于此懸臂梁一端固定，即fn=0，則

(6)

當(dāng)懸臂梁端部受到集中載荷力時(shí)，M(x)=-Fx，得

(7)

此懸臂梁剛度為

(8)

對(duì)于實(shí)際的板簧，由于考慮到簡(jiǎn)化因素的影響，因此可引入剛度修正系數(shù)ξ，

(9)

2.1.2 單片拋物線板簧剛度計(jì)算

圖6 單片拋物線板簧的懸臂梁端部受力模型

根據(jù)尺寸可得此板簧任意截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I:

(10)

將式(10)代入式(9)中，得單片拋物線板簧剛度計(jì)算公式：

(11)

此積分值與文獻(xiàn)[12]一致,說(shuō)明此積分式正確。

2.2 多片拋物線板簧剛度推導(dǎo)

2.2.1 多片拋物線板簧截面計(jì)算

在計(jì)算多片式拋物線板簧主副復(fù)合剛度時(shí),首先需表示出任意位置對(duì)應(yīng)的截面慣性矩。先以?xún)善綖槔?，兩片式拋物線板簧幾何參數(shù)如圖7所示。

圖7 兩片拋物線板簧的懸臂梁端部受力模型

(12)

步驟1 輸入主簧片數(shù)p、副簧片數(shù)q、主簧長(zhǎng)度l、主簧拋物線長(zhǎng)度l2、主簧端部厚度h1、主簧根部厚度h2、副簧拋物線長(zhǎng)度l3、副簧端部厚度h4、副簧根部厚度h5、板簧寬度b、材料彈性模量E。

步驟2 計(jì)算主副簧截面慣性矩，利用if(else)語(yǔ)句判斷截面點(diǎn)x位置，根據(jù)x位置分別計(jì)算得到此點(diǎn)截面主簧慣性矩Im、副簧慣性矩Ia。

步驟3 計(jì)算整個(gè)截面慣性矩，根據(jù)主副簧片數(shù)得整體慣性矩I=pIm+qIa。

2.2.2 多片簧剛度數(shù)值計(jì)算

綜上，通過(guò)以上方法可以計(jì)算任意片數(shù)主副簧變剛度拋物線板簧剛度。對(duì)于一般的板簧，前后板簧的尺寸可能不同，接下來(lái)計(jì)算前后板簧尺寸不同時(shí)的板簧剛度。

2.3 多片板簧整體復(fù)合剛度理論推導(dǎo)

針對(duì)本文所研究的前后板簧長(zhǎng)度不相等的情況，需要分別計(jì)算前半段和后半段板簧的復(fù)合剛度，再以此計(jì)算整副鋼板彈簧的總剛度。假設(shè)Kf和Kr分別代表前后半段板簧的復(fù)合剛度，通常由式(13)計(jì)算整副鋼板彈簧的總剛度。

(13)

最后要說(shuō)明的是，該計(jì)算方法并不限于本文研究的3片式非對(duì)稱(chēng)板簧，同樣可以擴(kuò)展應(yīng)用于多片式非對(duì)稱(chēng)拋物線變剛度板簧的總成剛度計(jì)算。

3 試驗(yàn)及仿真驗(yàn)證

本文針對(duì)所研究車(chē)輛的懸架彈簧力學(xué)特性，試制1件三片式拋物線鋼板彈簧，其中兩片主簧參數(shù)相同，前后簧片截面參數(shù)相同，此板簧的具體參數(shù)如表1所示。

表1 板簧尺寸參數(shù)

為驗(yàn)證所提剛度計(jì)算方法，對(duì)上述板簧進(jìn)行有限元分析和臺(tái)架實(shí)驗(yàn)得到此板簧剛度。

1) 板簧有限元模型的建立

在CATIA軟件中建立拋物線板簧三維模型，并進(jìn)行裝配，將建立好的三維模型導(dǎo)入到有限元計(jì)算軟件ABAQUS中，對(duì)板簧三維模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，忽略主簧卷耳間及主副簧端部的橡膠材料以及板簧中間部位的連接螺栓。板簧受力簡(jiǎn)化后如圖8所示。在板簧與板簧建立接觸，在每個(gè)板簧中間部位建立綁定約束，以此模擬板簧中間部位的固定螺栓。對(duì)第1根主簧的上表面以及副簧下表面的中間部位單元進(jìn)行固定約束，在板簧的卷耳處施加6 000 N垂直向下的力，模擬板簧在靜載荷狀態(tài)下的受力狀態(tài)。在ABAQUS/Standard中建立有限元模型并求解。

圖8 板簧受力加載示意圖

最后得到板簧從水平位置到靜力平衡處的位移(圖9、10)。由于前后板簧的長(zhǎng)度不同，因此在相同載荷下，對(duì)應(yīng)的達(dá)到靜平衡狀態(tài)下的位移也不同。板簧前端卷耳中心對(duì)應(yīng)撓度為δf=64.72 mm，對(duì)應(yīng)的前端剛度為Kf=85.19 N/mm，板簧后端卷耳中心對(duì)應(yīng)撓度為δf=70.43 mm，對(duì)應(yīng)的前端剛度為Kf=92.71 N/mm。由公式得到總剛度為K=177.8 N/mm。

圖9 板簧前端靜態(tài)位移

圖10 板簧后端靜態(tài)位移

2) 臺(tái)架實(shí)驗(yàn)

利用板簧剛度測(cè)試臺(tái)架對(duì)板簧剛度進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試板簧的臺(tái)架搭建如圖11所示。

圖11 3片式變剛度拋物線板簧的力學(xué)特性測(cè)試臺(tái)架

表2為實(shí)驗(yàn)測(cè)量、有限元仿真、本文理論方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果不難看出：采用所給數(shù)值積分計(jì)算的板簧剛度與實(shí)際板簧剛度誤差很小，基本上在5%以?xún)?nèi)，完全能滿(mǎn)足工程應(yīng)用需要。同時(shí)數(shù)值仿真得到的剛度值與數(shù)值計(jì)算值很接近，說(shuō)明本數(shù)值計(jì)算方法可以完全取代有限元仿真。對(duì)比計(jì)算值可以看出：由于板簧在計(jì)算時(shí)忽略了橡膠材料的影響，中部的螺栓連接以綁定約束代替，使得板簧的計(jì)算剛度比實(shí)驗(yàn)值低，因此可以引入剛度修正系數(shù)ξ=Kex/Kma=1.04，使得計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值接近。因此，利用此計(jì)算方法得到板簧的實(shí)際剛度值為Kpa=ξKma。

表2 試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的拋物線形主副簧多片式剛度計(jì)算方法，通過(guò)臺(tái)架試驗(yàn)和有限元法驗(yàn)證了計(jì)算方法的正確性。同時(shí)，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算剛度結(jié)果，引入剛度修正系數(shù)ξ=1.04。本文所提出的板簧剛度計(jì)算方法不僅適用于拋物線板簧，對(duì)板簧的截面慣性矩計(jì)算函數(shù)進(jìn)行修改后也可以適用于其他的變截面板簧剛度計(jì)算。

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