潘志遠(yuǎn)

摘 要 眾所周知，解析幾何是高考中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，對(duì)解析幾何知識(shí)掌握的好壞與否，一定程度上關(guān)乎最終成績(jī)的好壞。然而，運(yùn)算復(fù)雜早已成為解析幾何的代名詞，對(duì)于考試緊迫的時(shí)間，尤其對(duì)運(yùn)算能力不強(qiáng)的學(xué)生，能用更短的時(shí)間和更小的計(jì)算量來解出題目會(huì)更有信心完成后面的題。而二次曲線是高中人教版必修2中直線與方程中的一個(gè)非主干知識(shí)點(diǎn)，不屬于超綱的內(nèi)容卻在一類題中發(fā)揮著不可小覷的作用。在此，筆者介紹圓錐曲線中二次曲線系的應(yīng)用以解決部分偏難題目。

關(guān)鍵詞 二次曲線系 雙直線方程 漸近線聯(lián)立 帕斯卡定理 圓錐曲線

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

背景知識(shí)：高中二次曲線包括圓、橢圓、拋物線、雙曲線、兩條相交直線（退化的雙曲線）等，其方程為：

對(duì)于某些二次曲線的問題，可用二次曲線系方程代定系數(shù)，然后通過所求的二次曲線的特定系數(shù)要求解出之。

對(duì)于二次曲線的一般方程，由圓系方程進(jìn)一步可知：

結(jié)論：過兩個(gè)二次曲線，的交點(diǎn)的二次曲線系可設(shè)為

例1：（2012浙江）如圖，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是虛軸的端點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，若，則的離心率為。

標(biāo)準(zhǔn)解答：線段的垂直平分線為，，

兩條漸近線分別聯(lián)立得到：

由

的中點(diǎn)

令，

則

又 即

以上敘述將函數(shù)與兩漸近線分別聯(lián)立的方法過程繁瑣，而且求中點(diǎn)時(shí)分母需通分，麻煩易錯(cuò)。

以下運(yùn)用雙直線系的方法求解：

構(gòu)造曲線系（上所有點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足）

聯(lián)立得到

，過

即

通過對(duì)比可知利用曲線系的知識(shí)解題，不僅思路簡(jiǎn)單，連計(jì)算都簡(jiǎn)單許多。在簡(jiǎn)化題目的同時(shí)也體現(xiàn)了更高層次的數(shù)學(xué)思想。

例2：（2016湖北高考）已知橢圓的方程，設(shè)動(dòng)直線與定直線 ，分別交與兩點(diǎn)，若與有且僅有一個(gè)公交點(diǎn)，試探究面積是否存在最小值？若存在，求出該值。若不存在，說明理由。

解：

（上所有點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足）

聯(lián)立得到：

，

由弦長(zhǎng)公式：

∵直線與橢圓相切

∴聯(lián)立得到

例2為高考原題，參考答案對(duì)此題采取分別聯(lián)立的方法，過程相當(dāng)繁瑣，再與距離長(zhǎng)度等結(jié)合就會(huì)形成很長(zhǎng)的等式，容易出錯(cuò)，用曲線系的方法明顯易于解決。

上述兩題，雖然計(jì)算復(fù)雜但還沒有到無法解出的程度。但是以下的問題，涉及兩種二次曲線的線性組合，不用曲線系的方法就幾乎無法解出。

例3：（2016武漢二調(diào)）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過的圓與橢圓交于另外兩點(diǎn)，則直線的斜率為（答案：-3）

解：設(shè)

可以設(shè) 又可令

則

由于軌跡是圓，則項(xiàng)系數(shù)為0，即，

∴

分析：以上題目如果使用將四點(diǎn)求出再用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)求解，難度可想而知，但用曲線系與圓相結(jié)合的方法問題就可迎刃而解。

例4：（2011全國(guó)高考節(jié)選）已知過橢圓 與橢圓相交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，試證在同一圓上，并求圓的方程。

解：將聯(lián)立得到：，

橢圓方程

共同得到

（為過四點(diǎn)的二次曲線）

由于此方程為圓，故

由以上可知用曲線系的性質(zhì)不僅能使問題迎刃而解，甚至可以解出一些用常規(guī)方法無法解出的問題。

歸納：曲線系分為同樣類型函數(shù)的曲線系和不同類函數(shù)組成的曲線系，但加以利用都可以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算、清晰思維的作用，因此學(xué)會(huì)此類方法對(duì)我們是十分有益和重要的。