郭珂珂，張齊

（中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南長沙410083）

經(jīng)典的平面多項式微分系統(tǒng)

的中心問題是尋找P（x，y）和Q（x，y）的系數(shù)滿足的條件，使原點的鄰域由系統(tǒng)的周期解覆蓋。關(guān)于該問題的研究僅在P（x，y）和Q（x，y）為二次和三次齊次多項式的情況下分別由Dulac與Sibirskii解決。在P（x，y）和Q（x，y）的其它情形一直是懸而未決的公開問題。但其中不乏優(yōu)秀的成果[1-3]。與中心問題密切相關(guān)的是平面多項式微分系統(tǒng)的積分問題。

最近，文[4]把經(jīng)典的中心問題推廣到p：-q共振的情形：

尋找p：-q共振中心必要條件通常有兩種方法。第一種是形式級數(shù)法，即逐項確定假設(shè)的形式首次積分H（x，y）＝xqyp＋…的泰勒展開式的各項，使

此形式首次積分存在的必要條件是由形式級數(shù)定義的各階鞍點量gk為零。用此方法判斷原點是否為共振中心涉及到鞍點量gk的計算。另一種方法是規(guī)范形法，它需要計算由規(guī)范形定義的所謂的廣義奇點量[5-6]。

關(guān)于共振奇點廣義中心條件的研究有不少有趣的工作。當P（x，y）和Q（x，y）是特殊的實或復(fù)多項式且共振比p：-q是特定的值時，系統(tǒng)存在局部解析首次積分H（x，y）＝xqyp＋…（即存在p：-q共振中心）的條件已有不少的研究。二次多項式的情形有文[4-13]；三次的情形有文[14-20]；四次情形有文[21-22]；五次情形有文[23]。但是當共振比是一般的值時，即使是二次系統(tǒng)，共振中心問題仍然是一個公開問題。

值得一提的是，在文[5]中，肖和劉提出了一種比較容易的計算鞍點量的方法（在文[5]中稱為廣義奇點量）。他們考慮了以下一般的復(fù)自治微分系統(tǒng)

其中z，w，T是獨立的復(fù)變量，aαβ，bαβ是復(fù)常數(shù)，p，q∈Z＋，（p，q）＝1。作者通過系統(tǒng)（1）的規(guī)范形給出了廣義奇點量的定義，并運用形式級數(shù)，得到了一個計算鞍點量的線性遞歸公式。但是，文[5]有一個缺陷，作者直接將從形式級數(shù)得到的鞍點量作為從規(guī)范形定義的廣義奇點量，而沒有證明它們的等價性。因此本文的其中一個目的就是填補這個空缺。我們首先證明了廣義奇點量和鞍點量的等價性，換句話說，證明了形式級數(shù)法和規(guī)范形法的等價性。然后引入一種計算廣義共振奇點量的方法—積分因子法，并由此判定廣義中心。我們還得到了計算系統(tǒng)（1）原點的廣義奇點量的另一遞歸公式。

1 預(yù)備知識

引理1[5，7]對于系統(tǒng)（1），我們可以逐項確定以下形式級數(shù)

使系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)換成其規(guī)范形：

其中p0＝q0＝1.

設(shè)H＝uqvp，μk＝pk-qk，那么由規(guī)范形（3）可得

定義1[5-6]對于系統(tǒng)（1），我們稱 μk＝pkqk為 “原點的第k階廣義奇點量”。如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則原點稱為k階奇點；如果對所有k都有μk＝0，則原點稱為復(fù)共振中心。

注1有些作者也把廣義奇點量稱為鞍點量[7，11]。為了區(qū)別由形式級數(shù)法和規(guī)范形法得到的鞍點量，本文采用文[5]中方法把由規(guī)范形法得到的鞍點量稱為廣義奇點量。

定理1[5]對于系統(tǒng)（1），可以逐項確定以下形式級數(shù)

使得

其中cqp＝1，ckq，kp＝0，k＝2，3，…．當 α＋β＞p＋q，且qβ-pα≠0時有

2 主要結(jié)果

定理2對于系數(shù)為系統(tǒng)（1）的系數(shù)aαβ，bαβ的多項式的任意形式級數(shù)

以及任意預(yù)先給定的ckq，kp（k＝1，2，…），可以逐項確定唯一的形式級數(shù)

使其系數(shù)也是aαβ，bαβ的多項式，且

此外，如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則λ1

反之亦然。

證明定理的前半部分和式（11）通過直接計算很容易證明，在此從略。現(xiàn)證明另一半和式（12）。運用形式級數(shù)（2），F(xiàn)（z，w）和Gm（z，w）可以寫成

其中的子序列，因而是Gm中含有某些特殊項的部分。因為H＝uqvp，我們也可以簡化式（14）為

其中g(shù)m（H）是H的冪級數(shù)，且gm（0）＝1。此外，由規(guī)范形（3）和等式（13）可得

另一方面，由形式級數(shù)（2）和式（11），又可得

因此，

綜合式（18）與式（20）得

由式（21）可知：如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則有 λ1＝λ2＝…＝λk-1＝0，λk≠0，且式（12）成立。

定理2從理論上證實了：除了可能相差一個常數(shù)因子外，由定理1通過形式級數(shù)法得到的鞍點量恰是系統(tǒng)（1）原點的廣義奇點量。

推論1系統(tǒng)（1）在原點可積，從而存在一個解析的首次積分，當且僅當原點是廣義中心。

定理3對于系統(tǒng)（1），我們可以逐項確定以下形式級數(shù)

其中系數(shù)是系統(tǒng)（1）的系數(shù)aαβ，bαβ的多項式，（k＝1，2，…）可任取，且

此外，如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則有

反之亦然。

證明我們將在下一個定理中詳細證明J（z，w）的存在。首先證明式（24）成立。

令

由式（23）和式（25）可得

因而再有式（25）-（26）可知，存在一個形式冪級數(shù)F＝zqwp＋…，使得

由式（27），做形式計算可得

其中

由定理2，式（28）-（29）易得如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則，且式（24）成立。

定理4對系統(tǒng)（1），可以逐項確定形式級數(shù)（22），使等式（23）-（24）成立。此外，若pα＝qβ，可任?。蝗魀α≠qβ，且＝1，則當m≥1時有

其中當k＜0或j＜0時，akj＝bkj＝ckj＝0．

證明將Z，W表示為

則有

如果pα≠qβ，則易由式（33）得到式（30）；如果pα＝qβ，則存在一個正整數(shù)m≥1，其中α＝qm，β＝pm，此時等式（23）-（30）也成立。

注2定理2-4不僅揭示了鞍點量與廣義奇點量之間的關(guān)系，而且揭示了計算廣義奇點量的首次積分法，積分因子法和規(guī)范形法3種計算方法的等價性。系統(tǒng)（1）原點的廣義奇點量除了常數(shù)因子之外是唯一確定的。因此，不失一般性，我們可以用 λk和代替 μk。

推論2系統(tǒng)（1）的原點是廣義中心當且僅當它有解析的積分因子。

3 應(yīng)用舉例

考慮如下以原點為共振奇點的復(fù)多項式系統(tǒng)

使用公式（30）-（31）計算系統(tǒng)（34）原點的廣義奇點量，可得

命題1系統(tǒng)（34）原點的前2個廣義奇點量是

其中

定理5原點的前兩個廣義奇點量均為零當且僅當下列條件之一成立

證明只要將六個條件中的任一個代入前2個廣義奇點量，就可證明充分性?，F(xiàn)證必要性。對于這六個條件，前4個是從μ1，μ2表達中顯而易見的。所以我們只需證明后2個。如果μ1＝μ2＝0，除前4個條件外，必有H1＝H2＝0。令S＝[H1，H2，a11]，則有

如果H1＝H2＝0必有S＝0。由H1＝H2＝0和S＝0我們進一步可得式（5）和式（6）以及包含在式（4）中的其他特殊結(jié)果。

從文[6]中的定理3.2和定理4.1可得

命題2系統(tǒng)（34）的原點是一個廣義中心（即，系統(tǒng)（34）在原點可積）當且僅當定理5中的六個條件之一成立。

注3在命題2中得到的廣義中心條件與文[9]中的定理4.1的條件一致，這證實了本文中建立的理論和公式的正確性。

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