【摘 要】本文通過在生源較為薄弱的高中學(xué)校進(jìn)行課堂教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)出切實(shí)可行的教學(xué)方法，并以常見的教學(xué)案例為例詳細(xì)闡述，以更好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng) 教學(xué)案例 教學(xué)片段

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）02B-0071-04

正在修訂中的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析），要求教師逐步將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到實(shí)際的教學(xué)當(dāng)中。然而一些中考生源層次較低的高中學(xué)校，卻仍然在外圍徘徊與觀望。因此，如何才能在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求是一個值得探討的課題。筆者通過在中考錄取生源層次較低的普通高中學(xué)校的課堂教學(xué)實(shí)踐的教學(xué)案例，探討如何更好地在教學(xué)實(shí)踐中體現(xiàn)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初步認(rèn)識與深入理解

《教育部關(guān)于全國深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》（簡稱《意見》）頒布后，“核心素養(yǎng)”一詞很快就成了一個熱詞。筆者對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如此理解：首先，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是通過對數(shù)學(xué)知識的習(xí)得，學(xué)習(xí)方法的積累，在實(shí)際生產(chǎn)生活中從數(shù)學(xué)角度出發(fā)對問題進(jìn)行思考，用數(shù)學(xué)的思想對問題進(jìn)行分析，用數(shù)學(xué)的方法對問題進(jìn)行解決，做到叩問數(shù)學(xué)之真、感受數(shù)學(xué)之美、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣和高雅的品質(zhì)。其次，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者所具備適應(yīng)終生發(fā)展和社會發(fā)展的數(shù)學(xué)品格和關(guān)鍵能力，對數(shù)學(xué)的習(xí)得具有特定意義的一種綜合能力，這意味著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)必須回歸到數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中。

二、在教學(xué)實(shí)踐中利用案例培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)例舉

（一）體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，以“角的概念的推廣”的教學(xué)片段為例

〖案例 1〗“角的概念的推廣”的教學(xué)情境引入

創(chuàng)設(shè)問題情境時，在 PPT 上展示如圖 1 水車的圖片，將圖 1 中的水車圖像抽象為數(shù)學(xué)研究的對象（圖 2），進(jìn)而提出問題：在圖 2 的水車示意圖中，水車輪邊沿上的定點(diǎn) P 到水面的距離 y，可以看作是水車輪中心 O 與點(diǎn) P 的連線和過點(diǎn) O 的水平線方向的夾角 θ 的函數(shù) y=f（θ），其中自變量 θ 是角度。

由圖 1 的實(shí)物圖到圖 2 的示意圖是提升數(shù)學(xué)思維的一個抽象概括的過程，這樣的“升維”——圖形予以表征，將會讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生難于接受，所以我們還要想方設(shè)法實(shí)現(xiàn)一次“降維”——化抽象為具體，適時通過動畫（圖 3）的演示，讓學(xué)生感知與觸摸到數(shù)學(xué)符號的表述，即理解了定點(diǎn) P 到水面的距離 y 與夾角 θ 之間的函數(shù)關(guān)系，另外，動畫顯示讓學(xué)生親眼目睹了夾角 θ 的變化已超出原有角的范圍 0°～360°，因此就順理成章地要求將角進(jìn)行推廣。

在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)。通過上述的較為“本土”的課堂情境的引入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂上呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)。更為重要的是它讓學(xué)生能認(rèn)識到圖形與圖形、數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系。

（二）訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理，以“合情推理”的教學(xué)片段為例

〖案例 2〗“合情推理”的習(xí)題講解

〔例〕我國的《洛書》中記載著世界上古老的一個幻方：將 1，2，3，…，9 填入 3×3 個方格內(nèi)，使三行、三列、兩對角線的三個數(shù)之和都等于 15，如圖 4 所示（見下頁）。一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n 填入 n×n 個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形就叫作 n 階方陣，記 n 階幻方的對角線上數(shù)的和為 Nn，如圖 4 所示的幻方記為 N3=15，那么 N12 的值為（ ）

A.869

B.870

C.871

D.875

〖思路分析〗解題關(guān)鍵在于對角線上的數(shù)字，根據(jù)題中的示范可知，幻方的對角線上的數(shù)呈現(xiàn)等差數(shù)列。再看對角上的兩個數(shù)字，如題中已知的 3 階幻方中左上角和右下角的數(shù)之和為 4+6=10=32+1，左下角和右上角的數(shù)之和為 8+2=10=32+1，由此可知 n 階幻方中對角上的兩個數(shù)字之和為 n2+1，從而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得到所求。

〖解析〗由題意可知，幻方的對角線上的數(shù)為一個等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知對角上的兩個數(shù)字之和為 n2+1。由等差數(shù)列的求和公式可得數(shù)列的和為 ，所以 。 B 選項(xiàng)正確。

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對本題感到無從下手，其主要原因首先在于沒有將題中所給表格數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。其次是沒有很好地用上由特殊推廣到一般的歸納推理來指導(dǎo)解題。經(jīng)過教師引導(dǎo)，學(xué)生便能快速地發(fā)現(xiàn)了問題的根源所在，將本題解決。在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識框架，從而形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流能力。

（三）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，以“用函數(shù)模型解決實(shí)際問題”的教學(xué)片段為例

一般地，數(shù)學(xué)建模的基本思路如下：

在現(xiàn)實(shí)生活中，函數(shù)模型是應(yīng)用最為廣泛的一種數(shù)學(xué)模型。對許多實(shí)際問題來說，一旦認(rèn)定是函數(shù)的關(guān)系，就可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)對問題進(jìn)行梳理和把握，從而使問題得到很好的解決。

〖案例 3〗“用函數(shù)模型解決實(shí)際問題”的習(xí)題講解

〔例〕電聲器材廠在生產(chǎn)揚(yáng)聲器的過程中，有一道重要的工序，使用“AB 膠”黏合揚(yáng)聲器中的磁鋼與夾板。長期以來，由于對“AB 膠”的用量沒有一個確定的標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)常出現(xiàn)用膠過多，膠水外溢現(xiàn)象；或用膠過少，產(chǎn)生脫膠現(xiàn)象，影響了產(chǎn)品質(zhì)量。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，已經(jīng)有一些恰當(dāng)用膠量的具體數(shù)據(jù)（見表 1）。

現(xiàn)在需要提出一個既科學(xué)又簡便的方法來確定磁鋼面積與用膠量的數(shù)學(xué)關(guān)系，請你試找出這個數(shù)學(xué)關(guān)系。

在自然科學(xué)和社會科學(xué)中，很多的規(guī)律、定律都是先通過實(shí)驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)，再通過數(shù)據(jù)分析得到的。在教學(xué)過程中，首先，教師和學(xué)生共同進(jìn)行思路分析，由實(shí)際情景抽象出問題：（1）該問題的兩個數(shù)量之間是否呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系？（2）若呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，如何體現(xiàn)出來？（3）既然是函數(shù)關(guān)系，屬于已學(xué)的哪種函數(shù)？其次，根據(jù)提出的問題作導(dǎo)向，逐一進(jìn)行解決：初步認(rèn)定用膠量與磁鋼面積呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系。既然表 1 中提供相當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，那么我們就可以將磁鋼面積視為自變量 x，用膠量為因變量 y，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)作圖。作圖發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)基本分布在一條直線附件，畫出這條直線，使圖上的點(diǎn)比較均勻分布在直線兩側(cè)，因此，我們有理由用一次函數(shù) y=kx+b 表示用膠量與磁鋼面積的關(guān)系。最后，代入點(diǎn)求解相關(guān)的系數(shù)，確定模型，再做必要的檢驗(yàn)。如果基本符合實(shí)際，那么就可以確定這個函數(shù)基本反映事物的規(guī)律。

（四）彰顯直觀想象，以“由三視圖還原成實(shí)物圖”的教學(xué)設(shè)計（片段）為例

〖案例 4〗“由三視圖還原成實(shí)物圖”的教學(xué)設(shè)計片段

北師大版數(shù)學(xué) 2 的 3.2 節(jié)內(nèi)容教學(xué)，重點(diǎn)是教會學(xué)生根據(jù)三視圖還原出對應(yīng)的實(shí)物圖（幾何體）。難點(diǎn)是由三視圖想象到的幾何體的組合或者切割情況。在課堂教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)物與幾何圖進(jìn)行直觀形象的聯(lián)系，通過類比、歸納、總結(jié)，進(jìn)而有效地突破這一難點(diǎn)。

實(shí)際教學(xué)中，授人以魚不如授人以漁。筆者重在數(shù)學(xué)方法的形成上，由簡單圖形的還原方法總結(jié)（如圖 5）遞進(jìn)到一些組合體或切割體。這一過程主要通過“學(xué)生動手操作—提出困惑—交流學(xué)習(xí)—師生歸納—學(xué)生體悟”五個環(huán)節(jié)進(jìn)行。

圖5

比如，將三視圖還原成實(shí)物圖，我們可以從以下幾個方面進(jìn)行考慮：

1.通過視圖分析幾何體是簡單幾何體還是經(jīng)過組合或者切割而成的幾何體；

2.明確視圖上各圖線的意義，圖線是輪廓線還是輪廓線的投影；

3.聯(lián)系三視圖分析該幾何體的各基本部分的形狀；

4.注意圖中所畫出的虛線和實(shí)線；

5.將還原出的實(shí)物圖和三視圖對照檢查。

學(xué)生不一定能全部歸納出以上要點(diǎn)，也不易理解這些要點(diǎn)，在講解時，要結(jié)合課本實(shí)例進(jìn)行分析。

課本例 1 是三視圖和實(shí)物圖配對練習(xí)，淺顯易懂。要引導(dǎo)學(xué)生注意比較物體及其三視圖之間的聯(lián)系，為例 2 做鋪墊，循序漸進(jìn)地開展學(xué)習(xí)。在例 2 的兩個例子中，教師要啟發(fā)、指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)還原的要點(diǎn)想象實(shí)物圖，并繪制實(shí)物圖，以提高學(xué)生的作圖能力。在例題中通過動畫展示幾何體原型，直觀形象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。兩個例題層層遞進(jìn)，加深了對三視圖的整體理解，培養(yǎng)學(xué)生對三視圖和幾何體的轉(zhuǎn)化能力。講解例題主要以教師就畫法規(guī)則和還原要點(diǎn)來引導(dǎo)、提問，使學(xué)生積極思考、相互討論、完成任務(wù)。

（五）突出數(shù)學(xué)運(yùn)算，以“遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求解”的教學(xué)片段為例

〖案例 5〗“遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求解”的習(xí)題講解

〔例〕（2012，大綱版全國卷，6）已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則 Sn=（ ）

A.2n-1 B. C. D.

〖教學(xué)實(shí)錄〗

師：首先，請同學(xué)們讀題，然后回答以下幾個問題：

（1）該題考查什么知識和要準(zhǔn)備什么“工具”？

（2）已知條件是什么？

（3）怎樣考？

生：考查數(shù)列知識，需要準(zhǔn)備數(shù)列通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式；已知首項(xiàng)和遞推式子求數(shù)列的和。

師：同學(xué)們回答得很好，能抓住題中關(guān)鍵信息，在這，老師有個疑問，就是所求的 Sn，同學(xué)們都把它看成是求和，能否可以看作數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)？既然題中所求為 Sn，我們不妨將遞推式子轉(zhuǎn)化為只有 Sn 的式子。

師：如何將 an 和 Sn 互化呢？請同學(xué)們自己動手運(yùn)算，并將自己的發(fā)現(xiàn)和心得與同學(xué)分享。

生：利用 an=Sn-Sn-1（n2）。

截取一個學(xué)生的解題過程進(jìn)行展示如下：

〖學(xué)生解題感言〗不能思維定式地把 Sn 看著數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，在運(yùn)算過程中，必要時將遞推式子中的 an 和 Sn 進(jìn)行轉(zhuǎn)換，理清運(yùn)算的對象。如是求 Sn 的話，那么就用 Sn 來表示 an ，利用化歸思想把 Sn 看成數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)來求解，得到結(jié)果。

當(dāng)學(xué)生展示完畢后，再給出一題變式訓(xùn)練，加強(qiáng)鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法。

〖變式訓(xùn)練〗（2015，全國卷 16）設(shè) Sn 是數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和，且 a1=1，an+1=SnSn-1，則 Sn= 。

（六）落實(shí)數(shù)據(jù)分析，以“數(shù)據(jù)的數(shù)字特征”的教學(xué)片段為例

〖案例 6〗“數(shù)據(jù)的數(shù)字特征”的習(xí)題講解

〔例〕甲、乙兩臺機(jī)床同時生產(chǎn)直徑是 30 mm 的零件。為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從兩臺機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取 10 件進(jìn)行測量，結(jié)果如表 2 所示。

表2 甲、乙兩臺機(jī)床抽樣質(zhì)檢表

甲機(jī)床生產(chǎn)的零件直徑/mm 30.0 29.8 30.1 30.2 29.9 30.0 30.2 29.8 30.2 29.8

乙機(jī)床生產(chǎn)的零件直徑/mm 30.0 30.0 29.9 30.0 29.9 30.1 30.1 30.1 30.0 29.9

分別計算從甲、乙兩臺機(jī)床抽取的 10 件產(chǎn)品的直徑的標(biāo)準(zhǔn)差。

〖教學(xué)思路〗第一步，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)著手，復(fù)習(xí)已學(xué)過的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等一些統(tǒng)計量，明確這些統(tǒng)計量是反映數(shù)據(jù)的集中趨勢或離散程度。第二步，進(jìn)一步對案例中提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體分析。第三步，得出相關(guān)的結(jié)論。

在本案例中，通過計算得到，甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)的各 10 件產(chǎn)品的直徑的平均數(shù)為：（mm）

標(biāo)準(zhǔn)差：

S甲=

=0.161（mm）

S乙=

=0.077（mm）

通過計算得到的結(jié)論：甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)的這 10 件產(chǎn)品的直徑的平均數(shù)相同；甲的標(biāo)準(zhǔn)差 0.161，乙的標(biāo)準(zhǔn)差 0.077，即 S甲>S乙，說明乙機(jī)床生產(chǎn)的零件要更好些，也就是說乙機(jī)床的生產(chǎn)過程更加穩(wěn)定一些。

如今的大數(shù)據(jù)時代，很多情形下需要我們學(xué)會對數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理，從中提取相關(guān)信息，然后進(jìn)行相應(yīng)分析得出結(jié)論。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行數(shù)據(jù)分析教學(xué)是非常必要的。

三、在教學(xué)實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一些感悟

在生源基礎(chǔ)較低層次的學(xué)校，一節(jié)課的高效與否，往往取決于課堂的設(shè)計與教學(xué)前期的思考。要使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在教學(xué)實(shí)踐中得到一一落實(shí)，教師有時還得采用非常手段，才能使這些基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生更好地理解基礎(chǔ)知識、掌握基本技能、親身感觸到數(shù)學(xué)的靈魂。這樣的教學(xué)給課堂帶來活力，更為重要的是讓學(xué)生學(xué)習(xí)到了終身享用的本領(lǐng)。在以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為核心的思想指導(dǎo)下，教學(xué)設(shè)計應(yīng)該更注重學(xué)生的思維能力及動手能力的培養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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【作者簡介】林自強(qiáng)（1985— ），男，南寧人，中學(xué)一級教師，來賓市第三批學(xué)科帶頭人，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 盧建龍）