張多法

三角函數(shù)是反映具有周期變化規(guī)律問題的一類實際問題的數(shù)學(xué)模型，而自然界中具有周期變化規(guī)律的事情是非常廣泛的，如行駛中的汽車，其輪胎上的某個點離地面的高度隨時間的變化、日月星辰的變化、大海潮汐的變化等具有周期變化規(guī)律的問題都可以考慮建立三角函數(shù)模型來解決問題.新課程標(biāo)準(zhǔn)對高考水平數(shù)學(xué)建模的要求是：

能夠在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問題、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，知道數(shù)學(xué)問題的價值與作用.能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模式表達所要解決的數(shù)學(xué)問題；理解模式中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型；能夠根據(jù)問題的實際意義檢驗結(jié)果，完善模型，解決問題.

能夠在類似的情境中，經(jīng)歷建模的過程，理解建模的意義.能夠運用數(shù)學(xué)語言，表述數(shù)學(xué)建模過程中的問題以及解決問題的過程和結(jié)果，形成研究報告，展示研究成果.在交流的過程中，能夠用模型的思想說明問題.下面舉例探究三角函數(shù)模型的應(yīng)用，培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

熱點一 抽象實際情境 數(shù)學(xué)視角表達

例1 如圖，一滑雪運動員自h=50m高處A點滑至O點，由于運動員的技巧（不計阻力），在O點保持速率v0不變，并以傾角θ起跳，落至B點，令OB=L，試問，當(dāng)α=30°時，L的最大值為多少？當(dāng)L取最大值時，θ為多大？

分析：本題是一道綜合性題目，主要考查考生運用數(shù)學(xué)知識來解決物理問題的能力.首先運用物理學(xué)知識得出目標(biāo)函數(shù)，其次運用三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決實際問題.

解：由已知條件列出從O點飛出后的運動方程：s=Lcosα=v0tcosθ

-h=-Lsinα=v0tsinθ-12gt2.

由①②，整理得v0cosθ=Lcosαt，v0sinθ=-Lsinαt+12gt.

∴v20+gLsinα=14g2t2+L2t2≥214g2t2·L2t2=gL.

運動員從A點滑至O點，機械守恒有

mgh=12mv20，∴v20=2gh.

∴L≤v20g（1-sinα）=2ghg（1-sinα）=200（m），

即Lmax=200（m）.

又14g2t2=s2+h2t2=L2t2，

∴t=2Lg，s=Lcosα=v0tcosθ=2gh·2Lg·cosθ，

得cosθ=cosα.∴θ=α=30°.

∴L最大值為200米，當(dāng)L最大時，起跳傾角為30°.

點評：（1）常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性.

（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題.

熱點二 理解問題實質(zhì) 構(gòu)建合適模型

1.合理構(gòu)建三角函數(shù)模型

例2 為迎接旅游旺季的到來，少林寺單獨設(shè)置了一個專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的一些食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，就想適時調(diào)整投入，為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：

①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；

②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；

③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.

（1）試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系；

（2）請問哪幾個月份要準(zhǔn)備400份以上的食物？

分析：（1）根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12；根據(jù)②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）-f（2）=400；根據(jù)③可知，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，且f（2）=100，由此可得函數(shù)解析式；（2）由條件知，200sin（π6x-5π6）+300≥400，結(jié)合x∈N*，求哪幾個月份要準(zhǔn)備400份以上的食物.

解：（1）設(shè)該函數(shù)為f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0，0<|φ|<π），根據(jù)條件①，可知這個函數(shù)的周期是12；由②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）-f（2）=400，故該函數(shù)的振幅為200；由③可知，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，且f（2）=100，

所以f（8）=500.

根據(jù)上述分析可得，2πω=12，

故ω=π6，且-A+B=100，

A+B=500，解得A=200，

B=300.

根據(jù)分析可知，當(dāng)x=2時，f（x）最小，

當(dāng)x=8時，f（x）最大，

故sin（2×π6+φ）=-1，且sin（8×π6+φ）=1.

又因為0<|φ|<π，故φ=-5π6.

所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系式為f（x）=200sin（π6x-5π6）+300.

（2）由條件可知，200sin（π6x-5π6）+300≥400，

化簡，得sin（π6x-5π6）≥122kπ+π6≤π6x-5π6≤2kπ+5π6，k∈Z，

解得12k+6≤x≤12k+10，k∈Z.

因為x∈N*，且1≤x≤12，

故x=6，7，8，9，10.

即只有6，7，8，9，10五個月份要準(zhǔn)備400份以上的食物.

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數(shù)模型的問題.解題的技巧是從問題中發(fā)現(xiàn)周期變化的規(guī)律，并將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律抽象為恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型.本題中沒有明確函數(shù)的類型，則可通過畫散點圖來擬合曲線.此類問題的一般解法是先由題目中數(shù)據(jù)分析求出待定系數(shù)，再轉(zhuǎn)化為三角不等式對實際問題進行預(yù)測判斷.由于實際問題的背景往往比較復(fù)雜，所以要注意認真審題從中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系.

2.比較幾個三角函數(shù)模型的數(shù)據(jù)擬合效果

例3 某“帆板”集訓(xùn)隊在一海濱區(qū)域進行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y（米）隨著時間t（0≤t≤24，單位：時）而周期性變化，每天各時刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：

（1）試畫出散點圖；

（2）觀察散點圖，從y=at+b，y=Asin（ωt+φ）+b，y=Acos（ωt+φ）中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；

（3）如果確定在白天7時～19時當(dāng)浪高不低于0.8米時才進行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間.

分析：（1）根據(jù)圖表，直接畫出散點圖；（2）觀察散點圖，y=Asin（ωt+φ）+b的函數(shù)模型，求出A，T，求出b，推出ω，利用t=0函數(shù)值為1，求出φ，即可求出擬合模型的解析式；（3）通過函數(shù)值大于等于08，解出時間t的范圍，即可推知安排白天內(nèi)進行訓(xùn)練的具體時間段.

解析：（1）如圖.

（2）由（1）知選擇y=Asin（ωt+φ）+b較合適.

由圖知，A=0.4，b=1，T=12，

所以ω=2πT=π6，把t=0，y=1代入

y=0.4sin（π6t+φ）+1，得φ=0，

所以所求的解析式為：y=0.4sinπ6t+1（0≤t≤24）.

（3）由y=0.4sinπ6t+1≥0.8，得sinπ6t≥-12，

則-π6+2kπ≤πt6≤7π6+2kπ（k∈Z），即12k-1≤t≤12k+7，

所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.

即應(yīng)安排在11時到19時訓(xùn)練較恰當(dāng).

點評：在處理曲線擬合和預(yù)測的問題時，通常需要以下幾個步驟：

（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)給出散點圖.

（2）通過考查散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.

（3）根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.

（4）利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).