沈健

縱觀近幾年的高考試題，對函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法的考查，一直是高考的重點內(nèi)容之一.在高考試卷上，與函數(shù)相關的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題.函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學思想，高考中所占比重比較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多.在高中新課標數(shù)學中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在.

考情解讀

高考對函數(shù)與方程思想的考查，一般是通過函數(shù)與導數(shù)試題，三角函數(shù)試題、數(shù)列試題或解析幾何試題進行考查，重點是通過構造函數(shù)解決最大值或者最小值問題，通過方程思想求解一些待定系數(shù)等.函數(shù)與方程思想在高考中，無處不在，填空題與解答題中都會出現(xiàn)，是高考數(shù)學最最重要的思想方法之一.

要點梳理

函數(shù)思想

一般地，函數(shù)思想就是構造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等.在解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質(zhì)，是應用函數(shù)思想的關鍵，它廣泛地應用于方程、不等式、數(shù)列等問題.

方程思想

1.方程思想就是將所求的量（或與所求的量相關的量）設成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程（組），通過解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進行研究，使問題得到解決.

2.方程思想與函數(shù)思想密切相關：方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數(shù)y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，通過方程進行研究，方程f（x）=a有解，當且僅當a屬于函數(shù)f（x）的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關系十分重要.

函數(shù)與方程思想在解題中的應用

1.函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：

（1）借助有關初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；

（2）在研究問題中通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關性質(zhì)，達到化難為易、化繁為簡的目的.

2.方程思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在四個方面：

（1）解方程或解不等式；

（2）帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應用；

（3）需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關系等；

（4）構造方程或不等式求解問題.

熱點突破

一、函數(shù)與方程的思想在方程問題中的應用

例1 （1）已知函數(shù)f（x）滿足：①定義域為R；②x∈R，都有f（x+2）=f（x）；③當x∈[-1，1]時，f（x）=-|x|+1.則方程f（x）=12log2|x|在區(qū)間[-3，5]內(nèi)解的個數(shù)是 .

（2）設a>1，若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程logax+logay=c，這時，a的取值的集合為 .

解析：（1）畫出y1=f（x），y2=12log2|x|的圖象如圖所示，由圖象可得所求解的個數(shù)為5.

（2）由已知得y=acx，單調(diào)遞減，所以當x∈[a，2a]時，y∈[ac-12，ac-1]，

所以ac-12≥a

ac-1≤a2c≥2+loga2

c≤3.

因為有且只有一個常數(shù)c符合題意，所以2+loga2=3，解得a=2，

所以a的取值的集合為{2}.

點評：（1）方程有解問題一般有兩種解法：一是通過參變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題；二是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式（不熟悉時，需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù).（2）對于方程中的含參問題，往往可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，并利用函數(shù)的有關性質(zhì)加以解決.

二、函數(shù)與方程的思想在不等式恒成立中的應用

例2 （1）當x∈（1，2）時，不等式x2+mx+4<0恒成立，則m的取值范圍是 .

（2）設函數(shù)f（x）=x2-1，對任意x∈[23，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 .

解析：（1）當x∈（1，2）時，由x2+mx+4<0得m<-x2+4x.令f（x）=x2+4x=x+4x，則易知f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，∴x∈[1，2]時f（x）max=f（1）=5，則（-x2+4x）min>-5，∴m≤-5.

（2）依據(jù)題意得x2m2-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈[32，+∞）上恒定成立，即1m2-4m2≤-3x2-2x+1在x∈[32，+∞）上恒成立.當x=32時函數(shù)y=-3x2-2x+1取得最小值-53，∴1m2-4m2≤-53，即（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-32或m≥32.

點評：（1）在解決不等式問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題；（2）函數(shù)f（x）>0或f（x）<0恒成立，一般可轉(zhuǎn)化為f（x）min>0或f（x）max<0；已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù)，然后利用函數(shù)值域求解.

三、函數(shù)與方程的思想在三角函數(shù)中的應用

例3 （1）已知sin（α+β）=23，sin（α-β）=15，則tanαtanβ= .

（2）滿足條件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面積的最大值是 .

解析：（1）解法1：由已知得

sinαcosβ+cosαsinβ=23

sinαcosβ-cosαsinβ=15，

∴sinαcosβ=1330，cosαsinβ=730，

∴tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137.

解法2：令x=tanαtanβ，∵sin（α+β）sin（α-β）=103，

且sin（α+β）sin（α-β）=sin（α+β）cosαcosβsin（α-β）cosαcosβ=tanα+tanβtanα-tanβ

=tanαtanβ+1tanαtanβ-1=x+1x-1.

∵x+1x-1=103，解得x=137，即tanαtanβ=137.

（2）可設BC=x，則AC=2x，

根據(jù)面積公式得S△ABC=x1-cos2B，由余弦定理計算得cosB=4-x24x，

代入上式得

S△ABC=x1-（4-x24x）2=128-（x2-12）216，

由2x+x>2

x+2>2x，得22-2

故當x=23時，S△ABC最大值為22.

點評：（1）在三角函數(shù)的求值問題中，有時可將把這個需求的值看出方程的解，于是把三角函數(shù)求值問題，轉(zhuǎn)化為解方程問題.（2）解三角形的最值問題，最常見的方法，就是建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

四、函數(shù)與方程的思想在平面向量中的應用

例4 在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點.若AC·BE=1，則AB的長為 .

解析：解法1：因為AC=AB+AD，BE=BA+AD+DE

=-AB+AD+12AB=AD-12AB，

所以AC·BE=（AB+AD）·（AD-12AB）

=AD2+12AD·AB-12AB2

=1+12×1×|AB|cos60°-12|AB|2=1，

所以14|AB|-12|AB|2=0，解得|AB|=12.故AB的長為12.

解法2：如圖，以A為原點，AD所在直線為x軸建立直角坐標系，則A（0，0），D（1，0），設AB的長為a，則B（a2，32a），C（1+a2，32a），因為E是CD的中點，

所以E（1+a4，34a），所以AC=（1+a2，32a），BE=（1-a4，-34a），

AC·BE=（1+a2）（1-a4）-38a2=1，即2a2-a=0，

解得a=12或a=0（舍去）.故AB的長為12.

點評：向量與平面幾何綜合問題的解法：（1）坐標法，把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問題，從而使問題得到解決.（2）基向量法，適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程來進行求解.

五、函數(shù)與方程的思想在數(shù)列中的應用

例5 （1）數(shù)列{an}的通項公式an=n（n+4）（23）n的最大項為第 項.

（2）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.

是否存在等差數(shù)列{an}，使對任意n∈N*都有an·Sn=2n2（n+1）？若存在，請求出所有滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.

解析：（1）an≥an+1

an≥an-11-10≤n≤1+10

n≥1010≤n≤1+10，

由n∈N*得n=4，所以最大項為a4.

（2）假設存在滿足條件的數(shù)列{an}，設此數(shù)列的公差為d，則

[a1+（n-1）d][a1n+n（n-1）2d]=2n2（n+1），得

d22n2+（32a1d-d2）n+（a21-32a1d+12d2）=2n2+2n對n∈N*恒成立，

則d22=2

32a1d-d2=2

a21-32a1d+12d2=0，解得d=2

a1=2

或d=-2

a1=-2此時an=2n，或an=-2n.

故存在等差數(shù)列{an}，使對任意n∈N*都有an·Sn=2n2（n+1）.

其中an=2n，或an=-2n.

點評：（1）等差（比）數(shù)列中各有5個基本量，建立方程組可“知三求二”；（2）數(shù)列的本質(zhì)是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項公式即為相應的解析式，因此在解決數(shù)列問題時，應注意用函數(shù)的思想求解.（3）數(shù)列中的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為最值問題，利用函數(shù)的單調(diào)性或不等式求解.（4）求解數(shù)列中的若干未知量問題，常可通過待定系數(shù)或聯(lián)立方程組來解決，若出現(xiàn)多解時，注意要根據(jù)題目要求作適當?shù)娜∩?

六、函數(shù)與方程的思想在立體幾何中的應用

例6 某四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a，則該四面體體積的最大值為 .

解析：如圖所示，在四面體ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中點P，BC的中點E，連結BP，EP，CP，易證AD⊥平面BPC，

所以VABCD=13S△BPC·AD

=13×12×a×a2-x24-a24·x

=112a·（3a2-x2）x2

=112a·-（x2-3a22）2+9a44≤18a3，

當且僅當x2=32a2，即x=62a時取等號.

故答案：18a3.

點評：在立體幾何的有關計算問題中，往往可將變量間的關系轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)關系，從而將幾何問題代數(shù)化.本題中，四面體體積的大小取決于AD的大小，于是把AD看成自變量，將四面體體積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，進而通過求函數(shù)的最值求得四面體體積的最值，體現(xiàn)了函數(shù)思想在立體幾何中的應用.

七、函數(shù)與方程的思想在解析幾何中的應用

例7 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1和F2，由4個點M（-a，b）、N（a，b）、F2和F1組成了一個高為3，面積為33的等腰梯形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點F1的直線和橢圓交于兩點A、B，求△F2AB面積的最大值.

解析：（1）由條件，得b=3，且2a+2c2·3=33，所以a+c=3，

又a2-c2=3，故可解得a=2，c=1.所以橢圓的方程x24+y23=1.

（2）顯然，直線的斜率不能為0，設直線方程為x=my-1，直線與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯(lián)立方程x24+y23=1

x=my-1，消去x得，（3m2+4）y2-6my-9=0，

因為直線過橢圓內(nèi)的點，無論m為何值，直線和橢圓總相交.

∴y1+y2=6m3m2+4，y1·y2=-93m2+4，

S△F2AB=12|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|

=（y1+y2）2-4y1y2=12m2+1（3m2+4）2

=4m2+1（m2+1+13）2

=41m2+1+23+19（m2+1），

令t=m2+1≥1，設y=t+19t，當令t∈（0，13）時，函數(shù)單調(diào)遞減，當t∈（13，+∞）時函數(shù)單調(diào)遞增.所以當t=m2+1=1，即m=0時，ymin=109.

故m=0時，ymin=109.此時S△F2AB取得最大值為3.

點評：函數(shù)法是研究數(shù)學問題的一種最重要的方法，用這種方法求解圓錐曲線的最值問題時，除了重視建立函數(shù)關系式這個關鍵點外，還要密切注意所建立的函數(shù)式中的變量是否有限制范圍，并用適當?shù)拇鷶?shù)方法（如配方、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等）加以解決.

八、函數(shù)與方程的思想在函數(shù)綜合性問題中的應用

例8 已知函數(shù)h（x）=（x-a）ex+a.

（1）若x∈[-1，1]，求函數(shù)h（x）的最小值；

（2）當a=3時，若對x1∈[-1，1]，x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae+e+152成立，求b的范圍.

解析：（1）h′（x）=（x-a+1）ex，令h′（x）=0得x=a-1.

當a-1≤-1即a≤0時，在[-1，1]上h′（x）≥0，h（x）遞增，h（x）的最小值為h（-1）=a-1+ae.

當-1

當a-1≥1即a≥2時，在[-1，1]上h′（x）≤0，h（x）遞減，h（x）的最小值為h（1）=（1-a）e+a.

綜上所述，當a≤0時h（x）的最小值為a-1+ae，當a≥2時h（x）的最小值為（1-a）e+a，當0

（2）令f（x）=x2-2bx-ae+e+152，

由題可知“對x1∈[-1，1]，x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae+e+152成立”等價于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[-1，1]上的最小值”.即h（x）min≥f（x）min.

由（1）可知，當a=3時，h（x）min=h（1）=（1-a）e+a=-2e+3.

當a=3時，f（x）=x2-2bx-2e+152=（x-b）2-b2-2e+152，x∈[1，2]，

①當b≤1時，f（x）min=f（1）=-2b-2e+172，由-2e+3≥-2b-2e+172得b≥114，與b≤1矛盾，舍去.

②當1

③當b≥2時，f（x）min=f（2）=-4b-2e+232，由-2e+3≥-4b-2e+232得b≥178.

綜上，b的取值范圍是[178，+∞）.

點評：函數(shù)綜合性問題在高考中，一般處于壓軸題的地位，難度較大，這類問題與函數(shù)與方程思想是密切相關的，如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決；方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決.尤其是對于一類不等式恒成立問題和函數(shù)零點問題，往往可利用導數(shù)將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，進而利用函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)的圖象特征，將其解決.

方法歸納

1.函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關系和規(guī)律.函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非數(shù)學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立函數(shù)關系.

2.在解決某些數(shù)學問題時，先設定一些未知數(shù)，然后把它們當做已知數(shù)，根據(jù)題設本身各量間的制約，列出等式，所設未知數(shù)溝通了變量之間的關系，這就是方程的思想.

3.函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個函數(shù)若有解析表達式，那么這個表達式就可看成是一個方程.一個二元方程，兩個變量存在著對應關系，如果這個對應關系是函數(shù)，那么這個方程可以看成是一個函數(shù)，因此，許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多有關函數(shù)的問題則可以用方程的方法解決.