王小峰

【摘要】本文主要結(jié)合教學(xué)實(shí)例介紹了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中經(jīng)常遇到的幾種數(shù)學(xué)思想和方法以及其對學(xué)生的學(xué)習(xí)所起到的重要影響.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；分類討論；函數(shù)與方程；數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)思想和方法是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，不論是教師的教學(xué)還是學(xué)生的學(xué)習(xí)只要和數(shù)學(xué)知識相關(guān)都會有所涉及，它是人們從長期的數(shù)學(xué)研究、教學(xué)以及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)出來的精髓，同時(shí)是我們教師所要實(shí)現(xiàn)的最高級教學(xué)目標(biāo).在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，大部分教師認(rèn)為只要讓學(xué)生們學(xué)會教材當(dāng)中的基礎(chǔ)知識，并且能夠在考試當(dāng)中正確解答問題，取得較為滿意的成績，就算是完成了教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)，然而，隨著社會的發(fā)展，人們接觸到了西方更多的教育方法和理念，在初、高中階段利用一定的教學(xué)手段向?qū)W生們普及數(shù)學(xué)思想和方法越來越受到有關(guān)部門和廣大教育工作者的關(guān)注.

一、數(shù)學(xué)思想和方法在高中教學(xué)中的重要意義

首先，數(shù)學(xué)思想和方法能夠進(jìn)一步幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和定義.在實(shí)際教學(xué)過程中，因?yàn)閿?shù)學(xué)內(nèi)容較為抽象的特性，所以一些概念或者結(jié)論的描述性語言大都非常拗口，這就使得那些邏輯能力較差的學(xué)生不能透徹地進(jìn)行理解.如，在學(xué)習(xí)“集合”這部分內(nèi)容時(shí)，有些學(xué)生不能理解“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.”筆者就應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想當(dāng)中的直觀化、簡單化原則，將這一結(jié)論轉(zhuǎn)化為最基本的問題.分別從空集、子集、真子集的概念入手，讓學(xué)生逐個理解，再運(yùn)用常用的集合表示方法，將描述性語言轉(zhuǎn)化成直觀的數(shù)學(xué)符號：A，A（A≠），這樣一來，相對于拗口的文字語言學(xué)生更容易接受和理解用符號直接表示出來的結(jié)論.

其次，數(shù)學(xué)思想和方法能夠有效幫助學(xué)生解決做題過程中遇到的各類問題.考試是檢測學(xué)生近期學(xué)習(xí)情況最有效、最快速的方法，通過這些測驗(yàn)我們教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中沒有掌握透徹的知識點(diǎn)，進(jìn)而做出有針對性的指導(dǎo).然而，在實(shí)際解題過程中，學(xué)生們只掌握書本上的基礎(chǔ)知識還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，他們還需要對于一些特殊的題目應(yīng)用對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想或者方法才能找到解題的思路，進(jìn)而得出問題的正確答案.從另一方面來說，當(dāng)學(xué)生沒有建立數(shù)學(xué)思想的意識時(shí)，他們的答題過程就會受到阻礙，正確率也一直難以提高，在處理一些數(shù)學(xué)難題時(shí)更是經(jīng)常找不到解題思路和方向，這就導(dǎo)致雖然學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中非常努力，但是他們的考試成績卻隨著數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的深入出現(xiàn)不升反降的反常情況.由此可見，教師有目的性地對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)能夠幫助他們建立題類、題型的概念，當(dāng)在考試過程中遇到相類似的問題時(shí)，他們就能夠快速、有效地進(jìn)行解決.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中常用的思想和方法

（一）分類討論的思想

在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)題干當(dāng)中的一些條件并不能得出確切的結(jié)果，還需要對“不確定量”可能存在的情況進(jìn)行分類，將一個問題劃分為兩個甚至更多的小問題來解決，通過對它們進(jìn)行逐個計(jì)算、討論，然后再根據(jù)題目的具體問題整合出最終的正確答案，這就是分類討論思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的具體應(yīng)用過程.

根據(jù)多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出分類討論思想在實(shí)際應(yīng)用時(shí)所遵循的一些規(guī)律，其主要體現(xiàn)在根據(jù)題干給定的已知條件確定具體的研究“對象”，也就是上文當(dāng)中提到的需要進(jìn)行討論的不確定量.例如，在教學(xué)過程中遇到的“分段函數(shù)”，剛開始由于思維定式的影響，總有一部分學(xué)生認(rèn)為函數(shù)只能用一個等式表達(dá)，不能理解為什么要進(jìn)行分段；還有很多學(xué)生不知道什么時(shí)候需要進(jìn)行分段討論，這就使得他們在解答相關(guān)題目時(shí)思路不清晰、明確，總是出現(xiàn)各種錯誤.出現(xiàn)此種情況主要是因?yàn)閷W(xué)生沒有建立分類討論的思想，對它的應(yīng)用情況并不熟悉，另外，學(xué)生對函數(shù)的概念理解得還不夠充分.因此，筆者專門抽出數(shù)學(xué)課堂的一部分時(shí)間針對“分段函數(shù)”的分類討論情況給學(xué)生們進(jìn)行了詳細(xì)的講解，筆者問：“你們仔細(xì)觀察曾經(jīng)遇到過的分段函數(shù)，我們都是根據(jù)什么進(jìn)行分類討論的呢？有什么共同的特點(diǎn)嗎？”學(xué)生答：“都是用定義域來劃分的.”筆者再問：“通過觀察函數(shù)的圖像，能否得出y值和x值的唯一對應(yīng)關(guān)系呢？如果我們只使用一個等式能表達(dá)出兩者之間的變化關(guān)系嗎？”學(xué)生進(jìn)行了短暫思考，回答：“x和y都是一一對應(yīng)的，只有按定義域分段，才能表示出各部分的變化規(guī)律.”經(jīng)過上述的引導(dǎo)過程，學(xué)生不但從根本上理解和掌握了“分段函數(shù)”的概念，而且對分類討論思想也有了清晰的認(rèn)識和了解.

（二）函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程思想的使用非常廣泛，學(xué)生在處理一些現(xiàn)實(shí)類應(yīng)用題目或者需要表示一個事物隨另一事物的變化關(guān)系時(shí)，需要將這些信息進(jìn)行提煉、整合轉(zhuǎn)化為可計(jì)算且具有一定含義的函數(shù)或者方程，繼而再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題.

例如，在講解“函數(shù)”這部分知識時(shí)，為了讓學(xué)生們建立函數(shù)與方程的思想，認(rèn)識到兩者之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，筆者按下述教學(xué)過程對他們進(jìn)行了引導(dǎo).筆者先在黑板上隨意寫出了一個函數(shù)y=2x+1，然后，問學(xué)生：“當(dāng)y的值分別等于0，1時(shí)，我們怎樣計(jì)算x的值呢？”學(xué)生們感覺這個問題非常簡單，答：“將y值分別代入函數(shù)式中就能夠計(jì)算出x的值.”筆者說：“非常正確！但在這個過程中我們需要通過分別計(jì)算方程式2x+1=0以及2x+1=1才能夠得出結(jié)果，在這里我們應(yīng)用了數(shù)學(xué)當(dāng)中一個常見的思想進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，你們知道是什么嗎？”學(xué)生答：“函數(shù)與方程的思想，這里將求解普通函數(shù)自變量的過程轉(zhuǎn)化為方程的形式進(jìn)行計(jì)算.”筆者又問：“根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識你們能夠列舉出一些需要運(yùn)用函數(shù)與方程的思想來解決問題的例子嗎？”有學(xué)生答：“在解方程的時(shí)候，經(jīng)常會遇到含有未知參數(shù)的情況，這時(shí)我們可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系來幫助我們解決問題.”……

（三）數(shù)形結(jié)合的思想

學(xué)生在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果只用代數(shù)計(jì)算或者幾何關(guān)系并不能得出結(jié)果，還需要他們應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，在單純“數(shù)”或者“形”的問題上尋找兩者之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系.這樣一來，不但能夠?qū)┈?、?fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，進(jìn)而幫助學(xué)生提高答題效率，而且能夠讓他們深刻地認(rèn)識到“數(shù)”和“形”之間不可分割的密切聯(lián)系，有效鍛煉其自身的邏輯思維以及形象思維.

例如，函數(shù)與其圖像之間的關(guān)系就是數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用，在講解這部分內(nèi)容時(shí)，教師不能只讓學(xué)生掌握書本當(dāng)中的基礎(chǔ)知識，還要幫助他們建立“數(shù)”與“形”相互結(jié)合的思想.筆者告訴學(xué)生們：“函數(shù)是用‘?dāng)?shù)來表達(dá)各個變量之間的相互關(guān)系，而圖像同樣能夠用‘形直觀地進(jìn)行表示，在做一些題目時(shí)，如果我們不能單純地通過函數(shù)式的計(jì)算或者圖像中的位置關(guān)系得出答案，就需要考慮運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過建立兩者之間的聯(lián)系來幫助我們解決問題.”這時(shí)，有學(xué)生答：“在處理幾何問題時(shí)，我們先通過圖像能夠了解各幾何形狀間的位置關(guān)系，然后再利用題干當(dāng)中給出的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，這種同樣是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.”還有學(xué)生直接列舉了實(shí)例：“比如，函數(shù)y=ax+1，當(dāng)a值不確定時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性就不能確定，這時(shí)如果題干當(dāng)中給出這個函數(shù)的圖像，我們就能夠直接觀察出它在定義域內(nèi)的增、減情況，并且還能確定a值的正、負(fù).”

（四）或然與必然的思想

在講解“概率”這部分內(nèi)容時(shí)，需要讓學(xué)生建立或然與必然的思想，讓他們知道隨機(jī)事件的結(jié)果具有隨機(jī)性，沒有什么規(guī)律可遵循，但事件發(fā)展的頻率總是趨向于穩(wěn)定的，也就是必然和或然在概率事件中總是同時(shí)存在、相生相依的.這樣能夠幫助學(xué)生從深層次上理解“概率”和“期望”的概念，因?yàn)槭录慕Y(jié)果總是或然、隨機(jī)的，所以概率指的是某一事件相對于其他可能情況發(fā)生概率的大小，是用“必然”的方法去解決“或然”的問題；而期望表示的是隨機(jī)事件發(fā)展的頻率總是朝著一個平均、穩(wěn)定的數(shù)值無限接近，是從“或然”中尋找“必然”的關(guān)系.

三、總 結(jié)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中遇到的思想和方法還有很多，教師要在給學(xué)生們講解基礎(chǔ)知識的同時(shí)向他們普及當(dāng)中所暗含的思想，這樣做的好處一是能夠鍛煉學(xué)生的分析、概括能力，開闊他們的數(shù)學(xué)思維；二是能夠逐漸培養(yǎng)學(xué)生透過基本的現(xiàn)象去認(rèn)識、理解事物本質(zhì)的能力，改變他們以往對數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)知；三是能夠幫助學(xué)生建立科學(xué)、正確的數(shù)學(xué)觀.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]董曉萍.高中數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的有效應(yīng)用例談[J].新課程研究旬刊，2013（1）：136-137.