摘要：本節(jié)課研究的問題是：確定直線位置的兩個幾何要素（兩點、點與方向），通過建立直角坐標系，點可以用坐標來表示，如何用一個代數(shù)的量來刻畫直線的傾斜程度？本節(jié)課是平面解析幾何的入門課，教學順序先從代數(shù)的角度（斜率）刻畫直線的傾斜程度，用意是突出用代數(shù)方法研究幾何問題的思想.

關鍵詞：直線；傾斜程度；斜率；數(shù)形結合；平面解析幾何

2016年6月筆者與另一老師同課異構《直線的斜率》（第一課時），之前通過多次打磨，但真正上過后還是留有遺憾。2017年5月，當筆者有幸再次聽到此節(jié)課時，不禁感慨：一年春光去，且將櫻筍餞春歸，人生無可奈何之事實太多，就如李后主《相見歡》中所言：“林花謝了春紅，太匆匆。無奈朝來寒雨晚來風，自是人生長恨水長東?！惫P者感嘆時間過得太快，感嘆當時沒有及時整理“留有的遺憾”，所以筆者決定重溫此課，記錄幾點想法和反思。

本篇所用教材為《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（必修二）》（蘇教版），“2.1直線與方程”是解析幾何的開篇之作，而“2.1.1直線的斜率”又是這一章的第一節(jié)，內(nèi)容基礎，方法重要，為后續(xù)內(nèi)容的學習奠定基礎，起到啟下的作用。教材中用增量刻畫直線斜率，將微積分思想融入其中。正所謂章節(jié)起始課要能引導學生關注到整章知識框架，起到“一葉知秋”的效果。而作為解析幾何的起始課，應向?qū)W生交代解析幾何的相關背景，樹立解析幾何的基本觀點，了解解析幾何的基本方法，使學生能逐步邁入這一新的章節(jié)。

曾聽一特級教師說過：作為學習活動的組織者，我們應把關注焦點放在每位學生的認知活動與情感體驗上，要有效組織學生的學習活動，而不是把正確傳遞或展示知識作為自己的首要。所以教學設計要以學生發(fā)展為主，以指導學習，回答疑問為主。所以一節(jié)課應該呈現(xiàn)的模式是“學生主導課堂，問題驅(qū)動教學”。

一、 問題驅(qū)動教學

我們知道概念課教學要“慢”，而本節(jié)課的概念生成尤其要“慢”。

課堂再現(xiàn)：問題1：怎樣確定一條直線？

問題2：若直線過一個定點，要確定直線還要增加什么條件？

問題3：上圖中，過同一點A但方向不同的兩條直線AB，AC相對于水平線AX直觀上有何差異？（我們這節(jié)課要解決的核心問題就是如何用量去刻畫直線的傾斜程度？）

問題4：生活中有涉及傾斜程度的例子嗎？請你舉出一些。

問題5：根據(jù)上述的討論，你打算怎樣刻畫由A，B兩點確定的直線的傾斜程度呢？

思考1直線與x軸的相對位置只有這一種情況嗎？

預設：

思考2若交換A，B兩點的次序，會改變這個比值的大小嗎？為什么？

思考3如果改變A，B兩點的位置，會改變這個比值的大小嗎？為什么？

教師設置了五個問題以及三個思考，問題1-4通過讓學生對形和生活中實例的分析來明確確定直線位置的幾何要素還可以是一點和方向。問題5的設置引導學生觀察研究發(fā)現(xiàn)用一個比值來刻畫直線的傾斜程度。這里的y2-y1，x2-x1可以分別看成是從A點到B點縱坐標與橫坐標通過類比，知道可以用“坡度”來刻畫直線的傾斜程度。思考1-3通過讓學生對直線與x軸的相對位置關系的分類討論，感知y2-y1x2-x1可以刻畫與x軸不垂直的直線的傾斜程度。明確知道這一比值是個定值，從而建立直線斜率的概念。利用類比的方法得出直線的傾斜程度可以用一個代數(shù)式y(tǒng)2-y1x2-x1來刻畫。從而達成教學目標（教師從情境引入到概念得出一共花了35分鐘左右，這足夠體現(xiàn)概念生成的“慢”）。

二、 學生主導課堂及跟進措施

根據(jù)《直線的斜率》這節(jié)課上課流程以及學生上課的反應，課堂再現(xiàn)如下：

目標1：通過過一點作直線，探索確定直線位置關系的幾何要素；

該目標的意圖是實現(xiàn)課標中“探索確定直線位置的幾何要素”；為了達到該目標設計了問題2，學生能迅速找出“再需要一個點”這個條件，但在找表示傾斜程度這個條件時產(chǎn)生了困難，有部分學生想到“再找一個角”。從課堂反應來看達到預設目標，順利地過渡到下面的“探究數(shù)表示形”。

可以改善的地方：可以將問題改為“通過過一點作直線，如何區(qū)分這些直線”，這樣可能讓學生在解決這個問題時更有方向性。

目標2：通過類比刻畫點，初步感悟從數(shù)的角度刻畫幾何要素的數(shù)學思想；

該目標的意圖是實現(xiàn)課標中“經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程”；為了達到該目標設計了一個問題：點可以用坐標刻畫，那么“傾斜程度”用什么刻畫？你能用一個數(shù)來刻畫直線的傾斜程度嗎？。本階段提問了一個學生，該學生在老師的引導下，能立刻想到建立直角坐標系，嘗試用解析的思想解決該問題。從課堂反應來看達到預設目標，學生在這里會遇到思維受阻的情況，在老師的預料之中，從而為引入問題5做準備?？梢愿纳频牡胤剑嚎梢赃m當?shù)卦俳o學生一點時間。

目標3：通過探究與活動，經(jīng)歷并體會類比坡度，經(jīng)歷用代數(shù)的方法刻畫直線傾斜程度的過程；

該目標的意圖是實現(xiàn)課標中“經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程”；為了達到該目標設計了問題5：“你打算如何刻畫直線的傾斜程度？”本階段學生提出找兩個點，然后表示這兩個點的坐標，再轉(zhuǎn)化成長度，求出該角的正切。學生在證明“在直線上任取兩點，

y2-y1x2-x1的值不變”有一點困難。從課堂反應來看達到預設目標，學生類比坡度表示斜率比較順暢?？梢愿纳频牡胤剑阂胄〗M討論的方式比較好，通過同學之間的互相協(xié)助“比”學生個體思考效果要好。

目標4：通過自主探究，深化對直線斜率的認識；

該目標的意圖是實現(xiàn)課標中“理解直線斜率的概念”；為了達到該目標設計了一個問題：你對直線的斜率有什么認識？

（1）斜率是什么？是一個數(shù)，是用數(shù)來刻畫直線的傾斜程度？

（2）是否所有直線都存在斜率？

（3）如果傾斜程度的角是鈍角，用比值來表示斜率，并不矛盾，是一個負值，傾斜程度是從左往右不斷下降？

本階段教師提問了好幾位同學，學生能發(fā)現(xiàn)x2≠x1，且當x2=x1時，直線是垂直于x軸的；當y2-y1x2-x1取正數(shù)和負數(shù)時表示的是不同形狀的直線。學生已經(jīng)初步感受到“數(shù)表示形，數(shù)的幾何背景”?？梢愿纳频牡胤剑航處熢谶@里應該加強板書，且規(guī)范板書，讓學生明白本節(jié)課的重點、難點。

目標5：通過計算和畫圖，掌握直線斜率的計算公式，體驗直線的斜率與傾斜程度之間的關系；

該目標的意圖是實現(xiàn)課標中“掌握過兩點的直線斜率的計算公式”；為了達到該目標設計了例1：根據(jù)圖像，你有什么發(fā)現(xiàn)？本階段教師安排了一個學生畫圖，另一個學生計算。一個有意思的現(xiàn)象：其中一個學生計算出錯后，看到另一個同學畫的圖，發(fā)現(xiàn)自己錯了，然后立刻改正了自己的錯誤。

從課堂反應來看達到預設目標，學生能結合數(shù)感受圖像的情況，初步建立了數(shù)和形之間的某種對應關系。學生之所以有這種想法，與教師前面的引導是分不開的，正是教師在前面要求學生思考問題5，認識到不同的數(shù)刻畫了不同的形。這是本節(jié)課中一大閃光點?？梢愿纳频牡胤剑嚎梢宰穯枌W生，你怎么想到改正自己的錯誤的，借學生之口，說出數(shù)形之間的聯(lián)系，可能會更深刻。

目標6：通過計算和畫圖，能由直線的斜率和直線上一點確定直線上的其他點，畫出直線；

該目標的意圖是實現(xiàn)課標中“掌握過兩點的直線斜率的計算公式”；為了達到該目標設計了例2。本階段由兩位學生上黑板畫圖，學生能迅速找到另一點畫出圖像。可以改善的地方：可追問學生為什么找這個點？找其他的點可以不可以？怎樣更迅速地找到這個點，以加深對斜率公式的理解。

在整個教學過程中，學生的主導地位發(fā)揮到極致，教師用問題做引導，學生自發(fā)參與課堂互動，啟發(fā)學生不斷思考，質(zhì)疑，由坡度類比刻畫直線的傾斜程度，再質(zhì)疑如何刻畫？從而引出直角坐標系，讓學生親身體會數(shù)形結合的必要性。最后引導學生去進行思考1，2，3，這是本節(jié)課學生參與度最高的一個環(huán)節(jié)，此處安排小組討論，每組代表發(fā)言，大膽放手讓學生們自己說，教師此時的作用是結論的規(guī)范化引導與歸納。正如一智者說過：數(shù)學概念課上，要花時間培養(yǎng)學生的基本能力，可以多問一些問題，存疑可以讓學生更愿意繼續(xù)學下去。

三、 課后反思

（1）在平面解析幾何中，教學要體現(xiàn)其“方法論”的特征，即用代數(shù)的方法研究幾何問題，例如直線的斜率是一個數(shù)，這個數(shù)的符號在圖形中，反映的是這條直線的從左往右的變化趨勢，數(shù)的大小也反映了直線的陡峭程度。

（2）本節(jié)課的教學流程應體現(xiàn)本章的分析問題的一般方法

教學流程為：

學生經(jīng)歷從形的角度和數(shù)的角度對位置關系進行研究，課本在強調(diào)運用解析幾何的方法研究它們一般思路的同時，也強調(diào)了兩種角度的結合，讓學生在這樣的過程中，不斷地體會分類討論和“數(shù)形結合”的思想方法。

參考文獻：

[1]周義倉.數(shù)學建模實驗[M].西安：西安交通大學出版社，1997.

[2]丁益明.引導學生進行反思整理的實踐與思考[J].中學數(shù)學研究，2016（8）.

作者簡介：李亞瓊，江蘇省南京市，南京藝術學院附屬中等藝術學校。