肖興志 張宏偉

[摘 要]依據(jù)全景式數(shù)學(xué)教育的重建主張，在“三角形的面積”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生探索、理解多種不同的三角形面積計(jì)算方法，拓展學(xué)生的思維空間，幫助學(xué)生形成多角度思考和解決問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，并嘗試讓學(xué)生通過(guò)三角形面積的探究了解解決問(wèn)題的一般過(guò)程和方法。

[關(guān)鍵詞]三角形；面積；全景式數(shù)學(xué)教育

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2018）15-008-02

教學(xué)目標(biāo)：

1.完整經(jīng)歷三角形面積的探索過(guò)程，理解三角形面積的計(jì)算方法，會(huì)正確計(jì)算三角形的面積，并能解答生活中相應(yīng)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2.通過(guò)研究三角形的面積，感悟“對(duì)未知進(jìn)行分析→聯(lián)想相關(guān)的已知→建立聯(lián)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化→問(wèn)題解決”的一般研究策略和方法。

3.了解相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史、文化，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想方法。

教學(xué)準(zhǔn)備：

PPT課件，平行四邊形和長(zhǎng)方形學(xué)具，釘子板。

教學(xué)過(guò)程：

一、分析問(wèn)題，明確方向

師：今天，我們一起來(lái)研究“三角形的面積”。（板書：三角形的面積）看到這個(gè)課題，你認(rèn)為我們要研究和解決哪些問(wèn)題？

生1：三角形的面積怎么計(jì)算？

生2：怎么探究三角形的面積計(jì)算方法？

師：分類研究是一種很好、很重要的方法。那么，對(duì)三角形的面積，我們應(yīng)怎樣分類來(lái)研究呢？

生3：分成三類來(lái)研究，因?yàn)槿切斡锈g角三角形、銳角三角形、直角三角形，這樣每一類三角形都進(jìn)行了研究。

【評(píng)析： 這個(gè)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生自己提出研究的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類研究，使學(xué)生明確了學(xué)習(xí)目標(biāo)，充分貫徹和落實(shí)了全景式數(shù)學(xué)教育“教會(huì)學(xué)生怎么學(xué)，比學(xué)生更重要”的基本主張?！?/p>

二、建立連接，感悟方法

1.聯(lián)系舊知

師：研究三角形的面積，你認(rèn)為以前學(xué)習(xí)過(guò)的、和它密切相關(guān)的知識(shí)和方法有哪些？

（生先獨(dú)立討論，再小組交流）

師板書如下：

生4：學(xué)過(guò)的知識(shí)有長(zhǎng)方形的面積、正方形的面積、平行四邊形的面積……學(xué)過(guò)的方法有把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

生5：還有割、補(bǔ)、數(shù)格子等方法。

【評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題后對(duì)密切相關(guān)的學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法進(jìn)行回憶、檢索、梳理，這是解決問(wèn)題必須經(jīng)歷的步驟之一，即把學(xué)習(xí)的重心聚焦到“怎么學(xué)”“如何思考”上。】

2.建立連接、需求轉(zhuǎn)化和突破的路徑

師：你覺得哪個(gè)三角形和學(xué)過(guò)的哪個(gè)圖形的面積計(jì)算密切相關(guān)？用什么方法實(shí)現(xiàn)它們之間的轉(zhuǎn)化和連接，從而推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式？（生先獨(dú)立討論，再小組交流）

生6：我們組認(rèn)為直角三角形和長(zhǎng)方形的關(guān)系密切，因?yàn)閷㈤L(zhǎng)方形從對(duì)角剪開，可以得到兩個(gè)一樣的直角三角形。

[師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作、觀察和對(duì)比等活動(dòng)，使學(xué)生明白長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是直角三角形的底與高，并想辦法證明這兩個(gè)直角三角形是完全一樣的，從而推導(dǎo)出直角三角形的面積=底×高÷2。然后師讓學(xué)生回顧剛才的推導(dǎo)過(guò)程，使學(xué)生明確：底×高→剪開之前的長(zhǎng)方形面積→底×高÷2→剪開之后的直角三角形面積。]

生7：我們組認(rèn)為銳角三角形、鈍角三角形和平行四邊形的關(guān)系密切，因?yàn)榘哑叫兴倪呅螐囊粚?duì)大的對(duì)角剪開得到兩個(gè)銳角三角形，從一對(duì)小的對(duì)角剪開得到兩個(gè)鈍角三角形，而且銳角三角形、鈍角三角形的面積都是平行四邊形面積的一半。

[師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作、觀察和對(duì)比等活動(dòng)，想辦法證明從平行四邊形剪出來(lái)的兩個(gè)三角形是完全一樣的銳角（鈍角）三角形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到平行四邊形的底和高分別是銳角三角形與鈍角三角形的底和高，從而推導(dǎo)出銳角三角形的面積、鈍角三角形的面積=底×高÷2。同時(shí)，師讓學(xué)生回顧推導(dǎo)過(guò)程，使學(xué)生明確：底×高→剪開之前的平行四邊形面積→底×高÷2→剪開之后的銳角（鈍角）三角形面積。]

師生（總結(jié)）：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的面積=底×高÷2，所以三角形的面積=底×高÷2，用字母表示為S=ah÷2。

（師用課件演示回顧學(xué)生經(jīng)歷的三種三角形和學(xué)過(guò)圖形之間的連接、轉(zhuǎn)換，并梳理出“怎么學(xué)”的完整過(guò)程，如下圖）

【評(píng)析：本環(huán)節(jié)，教師并沒有按照教材編排的思路（把兩個(gè)相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形）進(jìn)行教學(xué)，而是循著學(xué)生的思路（把平行四邊形、長(zhǎng)方形分成兩個(gè)一樣的三角形）順勢(shì)而為。通過(guò)對(duì)三種三角形的研究，不僅讓學(xué)生透徹理解、扎實(shí)掌握了三角形的面積計(jì)算方法，明晰“對(duì)未知進(jìn)行分析→聯(lián)想相關(guān)的已知→建立聯(lián)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化→問(wèn)題解決”的一般研究過(guò)程和方法，而且讓學(xué)習(xí)方法的教學(xué)真正“落地生根”，有效達(dá)成“四基”目標(biāo)?！?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2018/07/03/qkimagesxiglxigl201805xigl20180503-3-l.jpg"/>

三、推導(dǎo)對(duì)比，尋找異同

【評(píng)析：通過(guò)對(duì)比、分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的“割”與書上的“拼”都是用聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的思想方法解決問(wèn)題，進(jìn)一步突出和強(qiáng)化了過(guò)程與方法的教學(xué)?！?/p>

四、介紹算法，拓展視野

1.欣賞算法

師：中國(guó)古代名著《九章算術(shù)》里還有一種新的方法，我們一起來(lái)欣賞一下。（課件出示下圖）

2.讓學(xué)生嘗試解釋“半廣以乘正從”的含義

3.師生探究

師生一起按照課件動(dòng)態(tài)演示的過(guò)程（如下圖），先依次找到底的中點(diǎn)，指出“半廣”，然后過(guò)中點(diǎn)作左側(cè)邊的平行線，并沿著平行線剪下一個(gè)小的三角形旋轉(zhuǎn)到上方，轉(zhuǎn)化成一個(gè)以“半廣”為底、以三角形的高為高的平行四邊形。

4.溝通聯(lián)系

[師引導(dǎo)學(xué)生溝通“半廣以乘正從”和“底×高÷2”之間的聯(lián)系。]

【評(píng)析：通過(guò)對(duì)《九章算術(shù)》中三角形面積算法的欣賞、理解，拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，豐富了知識(shí)的背景，鞏固了學(xué)生習(xí)得的算法?！?/p>

五、練習(xí)鞏固，深化理解

習(xí)題：在釘子板上圍出一個(gè)面積是6個(gè)方格的三角形，并說(shuō)出自己的想法。（生操作后交流自己的想法）

【評(píng)析：這是一道開放性習(xí)題，多維度地鞏固學(xué)生計(jì)算三角形面積的方法。同時(shí)，可以讓學(xué)生通過(guò)數(shù)方格的方法數(shù)出三角形的面積，進(jìn)一步驗(yàn)證上述三種三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)策略?！?/p>

六、討論交流，全課總結(jié)（略）

七、課外延伸，內(nèi)化升華

師：三角形的面積除了用“底×高÷2”的方法計(jì)算外，還有很多種方法，如初中可以用三條邊的邊長(zhǎng)直接求出它的面積等。感興趣的同學(xué)可以上網(wǎng)查一查，看還有哪些方法可以計(jì)算三角形的面積，并和同樣喜歡研究的同學(xué)交流一下。

……

【評(píng)析：通過(guò)向課外延伸，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有不同的研究和發(fā)展，并給學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)埋下了一顆希望的種子?！?/p>

（責(zé)編 杜 華）