談有恒 張宏偉

[摘 要]通過對比三角形旋轉(zhuǎn)前后每條邊、每個點，以及整個圖形運動前后、運動過程中數(shù)與形的變和不變，使學生認識到旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，能運用所學的旋轉(zhuǎn)知識解決生活中的實際問題，發(fā)現(xiàn)并欣賞數(shù)學的旋轉(zhuǎn)之美。

[關鍵詞]度量；本質(zhì)；圖形；旋轉(zhuǎn)；全景式數(shù)學教育

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2018）15-0010-02

課前思考：

“圖形的旋轉(zhuǎn)”屬于“圖形與幾何”領域中“圖形的運動”的相關內(nèi)容，《數(shù)學課程標準》（2011版）對該內(nèi)容在義務教育階段的不同學段有不同的要求。同時，小學數(shù)學教材對“圖形的旋轉(zhuǎn)”的內(nèi)容具體編排如下：一是在二年級下冊安排學生初步感知生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；二是在五年級下冊安排學生從具體到抽象進一步認識圖形的旋轉(zhuǎn)，掌握在方格紙上畫出簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°的方法，能運用旋轉(zhuǎn)在方格紙上設計出簡單的圖案，懂得從旋轉(zhuǎn)的角度欣賞生活中的圖案，進一步增強學生的空間觀念。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，教材這樣編排，使兩個學段的教學目標呈螺旋上升態(tài)勢：第一個學段側(cè)重直觀感知生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；第二個學段對學習旋轉(zhuǎn)的要求略有提高，主要探索旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。

教學目標：

1.通過不同的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，認識旋轉(zhuǎn)的三要素，即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。

2.利用教具探索旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，理解旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，掌握在方格紙上畫出簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°的方法。

3.欣賞圖形的美，體驗數(shù)學的應用價值。

教學過程：

一、不同旋轉(zhuǎn)對象的對比

師：二年級時我們已經(jīng)學過旋轉(zhuǎn)的知識了，現(xiàn)在請你說一說在生活中看到的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。（生自由說后，師出示不同的動態(tài)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，如下圖）

【評析：教師選取生活中的典型例子，幫助學生建立正確的認知表象，使學生直觀感知什么是旋轉(zhuǎn)，為后續(xù)探究旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)打下了堅實的基礎?！?/p>

師：閉上眼睛想一想這些物體的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，并思考這些不同的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象背后有哪些共同的特點。（生先獨立思考再組內(nèi)進行交流，最后總結出小組意見）

【評析：教師這樣提問，促使學生去想象、去思考如何去物留形，進行第一級抽象，培養(yǎng)學生的空間想象力?！?/p>

生1：圖中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象都是按一定的方向旋轉(zhuǎn)的。

生2：都是繞著軸或點進行旋轉(zhuǎn)。

師：這點或軸叫作旋轉(zhuǎn)中心。

生3：有的旋轉(zhuǎn)了一周，有的旋轉(zhuǎn)了一部分。

師：也就是說，旋轉(zhuǎn)了一定的角度。

【評析：教師讓學生觀察足夠豐富的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，思考、總結出所有不同旋轉(zhuǎn)最顯性的本質(zhì)特征（三要素），這個“異”象中察其“同”的環(huán)節(jié)是研究旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象中不可忽視的第一步——非量化的、浪漫的、整體性的思考和分析?！?/p>

二、旋轉(zhuǎn)前后的對比

1.整體認識

師出示磁性教具（方格紙和三角形，如下圖），演示將方格紙上的三角形順時針旋轉(zhuǎn)90度。

師：這是旋轉(zhuǎn)嗎？為什么？（引導學生用剛剛學習的旋轉(zhuǎn)三要素進行判斷和描述）

【評析：學后即用，引導學生從生活化、個人表達上升到數(shù)學化的規(guī)范描述，這是培養(yǎng)學生數(shù)學表達能力的重要途徑?！?/p>

2.探索旋轉(zhuǎn)背后的本質(zhì)

（1）每人利用手中的學習單，通過觀察、測量等方法，比較旋轉(zhuǎn)前后整個三角形以及它的每條邊、每個點什么發(fā)生改變，什么保持不變，并把自己的發(fā)現(xiàn)簡要地記一記。（準備研究工具：量角器、直尺）

（2）小組交流討論。

（3）小組代表呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的模型，上臺反饋小組的發(fā)現(xiàn)。

生4：位置（指方向）變了。

生5：大小、形狀沒變。

生6：圖形每條邊的長度保持不變。

生7：圖中各個點之間的位置關系保持不變。

生8：圖中每條邊、每個點旋轉(zhuǎn)的方向和角度都是一樣的……

（師適時表揚學生能分別從數(shù)量和空間的角度“看”旋轉(zhuǎn)，而且學生在這里還出現(xiàn)了“旋轉(zhuǎn)90度”的說法）

【評析：這個環(huán)節(jié)的主要目的是通過旋轉(zhuǎn)前后，比較整體與部分間的形狀、相對位置、大小的變和不變，進一步深化學生對旋轉(zhuǎn)本質(zhì)的認識?！?/p>

3.深度理解，學為所用

師：畫兩條線段，研究步驟如下。

（1）討論線段OA、OB的旋轉(zhuǎn)度數(shù)，觀察起點線（參照線）。旋轉(zhuǎn)后，A點在哪個格上？為什么？

（生匯報線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中的變化，明確旋轉(zhuǎn)中心O在線段OA上，然后在方格紙上用黑色記號筆畫出旋轉(zhuǎn)角的兩條邊，并利用三角板的直角驗證旋轉(zhuǎn)的角度、距離）

（2）猜測：線段AB是不是也向著這個方向旋轉(zhuǎn)了90度？為什么？

生9：因為A、B兩個點都順時針旋轉(zhuǎn)了90度，所以線段AB也順時針旋轉(zhuǎn)了90度。

生10：在線段AB上任意取一點C，找到旋轉(zhuǎn)后的位置，這說明線段AB順時針旋轉(zhuǎn)了90度。（生上臺操作，過程如下圖所示）

師：觀察從C點到中心點的距離和AB兩點間的距離，發(fā)現(xiàn)了什么？（生討論交流）

師：每個點距中心點的距離（長度）始終保持不變，每個點和其他點的距離（相對位置）不變。

師：線段AB上的每一個點以及圖形上的每個點是怎么旋轉(zhuǎn)的？（生討論交流）

師（總結）：按照相同的方向、相同的距離旋轉(zhuǎn)，且任意兩點間的距離保持不變，才能保證旋轉(zhuǎn)前后整個圖形的形狀和大小不變。

【評析：這個環(huán)節(jié)，教師借助自制教具在方格紙上旋轉(zhuǎn)的直觀方式，選擇最容易觀察、度量、分析的邊的旋轉(zhuǎn)作為突破口，創(chuàng)造性地引進參照物這個標準——第四要素，讓學生進一步感悟旋轉(zhuǎn)前后數(shù)、形和位置的變與不變，使學生深刻理解了旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。此外，這一環(huán)節(jié)還為學生畫旋轉(zhuǎn)后的圖形打下基礎，使每個學生學會的不再是生硬的、機械式的操作，而是基于理解知識本質(zhì)前提下的思維方式?！?/p>

三、畫旋轉(zhuǎn)

師：（出示下圖）畫出方格紙上三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90度后的樣子。

（交流展示作品，并讓學生說說畫的過程及需要注意的問題）

【評析：通過畫旋轉(zhuǎn)的過程，深化學生對圖形旋轉(zhuǎn)前后數(shù)量與空間形式關系的理解，使學生進一步明晰旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)?！?/p>

四、實用與形式之美

1.觀察演示

師：生活中人們利用圖形的旋轉(zhuǎn)、平移和對稱，創(chuàng)造出了許多美麗的圖案。（PPT動態(tài)演示經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，如下圖）

2.利用旋轉(zhuǎn)解決生活中的實際問題（略）

【評析：這里，教師引導學生先運用數(shù)學眼光看待現(xiàn)實世界，再運用所學的旋轉(zhuǎn)知識解決生活中的實際問題，使學生從中發(fā)現(xiàn)并欣賞旋轉(zhuǎn)之美，進一步體會到數(shù)學的價值和美麗?！?/p>

五、學習總結

師：我們研究旋轉(zhuǎn)經(jīng)歷了幾個主要過程？現(xiàn)在你對旋轉(zhuǎn)有了哪些和原來不一樣的認識？

……

總評：

本節(jié)課，教師依據(jù)全景式數(shù)學教育主張，準確定位學生研究旋轉(zhuǎn)的路徑和內(nèi)容，即從度量的角度研究旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象中的位置關系和變化規(guī)律，著力引導學生對旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)進行精確化認識，使學生體會到旋轉(zhuǎn)中的變與不變。同時，教師根據(jù)“以學為中心”的理念，對教學內(nèi)容和教學流程進行創(chuàng)新設計，力圖教給學生研究圖形運動的一般性、結構性的方法，使學生真正掌握所學知識，獲得不同的發(fā)展。

（責編 杜 華）