趙彬宏，王建鵬，王元元

(1.山西省自動研究所，太原 030012；2.太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

內(nèi)?？刂扑哂械膬?yōu)良特性使其成為一種便于實際應(yīng)用的先進控制策略，內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計的關(guān)鍵是建立過程的模型及其逆模型。由于非線性過程的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的辨識方法難以獲得其精確的模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強大的非線性映射能力，可以有效解決非線性系統(tǒng)建模的難題。因此，非線性過程神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)模控制方法得到了控制界的關(guān)注與發(fā)展[1-3]。在諸多類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Wavelet neural network, WNN)很好地結(jié)合了小波變換的時頻局部分析性質(zhì)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)任意非線性逼近能力。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性逼近能力和泛化能力均與網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，許多學(xué)者對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定進行了研究，并提出一些相關(guān)算法[4-6]，文獻[7]中為了得到較優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提出了一種關(guān)于結(jié)構(gòu)的自學(xué)習(xí)機制，通過隱含層神經(jīng)元的最大輸出值與設(shè)定閾值的關(guān)系來決定是否產(chǎn)生新的神經(jīng)元，根據(jù)神經(jīng)元對的作用強度來確定是否需要將其刪除。文獻[8]中提出了一種自構(gòu)建RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)能夠根據(jù)給定的判定條件自動增加神經(jīng)元節(jié)點，以滿足辨識精度的要求；為了防止網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過擬合，基于靈敏度方法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點進行修剪刪除。文獻[9]在文獻[8]的基礎(chǔ)上，將基于自構(gòu)建RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)?？刂撇呗詰?yīng)用于艦載火箭炮伺服系統(tǒng)設(shè)計中，仿真結(jié)果表明了該方法可有效克服非線性因素的影響。此外，文獻[10]針對變結(jié)構(gòu)模糊小腦模型進行了研究。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)變結(jié)構(gòu)的思想，在一定程度上克服了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)難以確定的難題，然而，將此類動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與內(nèi)?？刂平Y(jié)合的研究還處于起步階段，仍需要進一步探索。

本文利用自構(gòu)建小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立非線性過程的模型和逆模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)，使模型辨識網(wǎng)絡(luò)和內(nèi)?？刂破骶W(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)根據(jù)系統(tǒng)性能在線調(diào)整，采用可以自適應(yīng)調(diào)節(jié)步長的梯度下降法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，在保證逼近精度的同時提高了網(wǎng)絡(luò)的收斂速度。仿真結(jié)果表明，本文方法可使系統(tǒng)具有跟隨輸入快、無超調(diào)等良好的動態(tài)特性，且能在系統(tǒng)受到干擾或過程參數(shù)發(fā)生攝動時，保持良好的魯棒性。

1 自構(gòu)建小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1.1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)描述

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是用小波函數(shù)來取代Sigmoid函數(shù)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，且用小波函數(shù)的伸縮因子和平移參數(shù)分別代替神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值。

圖1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

Fig.1 Structure of the wavelet neural network

圖1為n個輸入、m個小波基和單輸出的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)共分為四層，分別為輸入層、小波層、乘積層以及輸出層。小波層節(jié)點的激勵函數(shù)φd,t(x)由墨西哥帽小波母函數(shù)Ф(x)變換得出，表達式分別如下：

φ(x)=(1-‖x‖2)exp(-‖x‖2/2)

(1)

(2)

式中,d為伸縮因子，t為平移參數(shù)。

若X=[x1,x2,…xn]Т為小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，那么小波層第j個小波基對第i個輸入的激勵可表示為：

(3)

乘積層第j個節(jié)點的輸入為：

(4)

網(wǎng)絡(luò)的輸出為：

(5)

1.2 小波基增加規(guī)則

相似性度量用來表示個體間的相似程度，其值越大說明個體間相似度越大、差異越小，與小波基中心距離較近的數(shù)據(jù)與對應(yīng)小波基有較高的相似度，且小波基對其激勵也較大，據(jù)此，可用Dj=|ψj|來表示輸入數(shù)據(jù)與小波基的相似度。把輸入樣本與小波基的相似度作為空間對象群的屬性，根據(jù)相似度的變化來實現(xiàn)增加小波基的操作。為了計算方便，把函數(shù)取值規(guī)范化到(0, 1]，可進行如下計算：Sj=exp[-Dj(xi)]，Sj為關(guān)于Dj的單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)相似度較大時Sj的取值較小，因此小波基的增加規(guī)則如下：

1.3 小波基修剪規(guī)則

如果y是系統(tǒng)的實際輸出，那么根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近理論可知，存在一個有著最優(yōu)結(jié)構(gòu)的理想網(wǎng)絡(luò)來逼近該輸出，設(shè)此網(wǎng)絡(luò)的輸出為：

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)流程圖Fig.2 Flowchart of the learning process

(6)

(7)

網(wǎng)絡(luò)的目標函數(shù)取為：

(8)

用泰勒級數(shù)展開上式可得：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中包含每個小波基對逼近理想輸出的作用程度，△E的值較大說明對應(yīng)的小波基較活躍，且相關(guān)參數(shù)頻繁的更新(修正)，相反，若△E的值較小則對應(yīng)小波基被認為是不重要的，即該小波基對網(wǎng)絡(luò)輸出的貢獻可被忽略。

αj(k+1)=αj(k)×exp{-β×δ[Eth-ΔEm]}

(13)

(14)

αj為第j個小波基對輸出的影響程度，其初始值為1.當(dāng)Eth-△E≥0時，說明第j個小波基對網(wǎng)絡(luò)沒起到有效激勵，αj減小，否則其值不變。經(jīng)過多次無效激勵后，若αj≤αth，則第j個小波基可被認為對網(wǎng)絡(luò)的輸出是無效的，可將其刪除，αth為預(yù)先設(shè)定的刪除閾值，β為預(yù)先設(shè)定的衰減率。圖2為自構(gòu)建小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)流程圖。

2 自構(gòu)建小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)模控制

若過程可逆，則設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)如圖3所示，其中，可由自構(gòu)建小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近過程模型NNM及其逆，即控制器NNC.

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)Fig.3 Internal model control system

圖中u，y，ym，v，em，yr，e分別為控制量、被控過程輸出、模型輸出、不可測干擾、模型誤差、參考輸入以及系統(tǒng)誤差。辨識被控過程的模型NNM和逆模型NNC是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)模控制設(shè)計的關(guān)鍵，模型的建立可以采取在線或者離線的方式，即分別在在系統(tǒng)運行時，或者利用預(yù)先采樣的系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)建立NNM和NNC，本文采用在線辨識的方式。在建模過程中，NNM的可調(diào)參數(shù)可根據(jù)模型誤差em進行訓(xùn)練，同時NNC的可調(diào)參數(shù)可根據(jù)NNM通道反傳的梯度信號和系統(tǒng)誤差e進行訓(xùn)練。

2.1 過程模型的建立

采用離散時間非線性系統(tǒng)表示非線性過程，即：

(15)

式中，f(*)為非線性函數(shù)，y(k)，u(k)和v(k)分別為過程的輸出、輸入和擾動，n，m分別為過程輸出和輸入的滯后時間。

利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立過程模型，就是利用其強大的非線性映射能力來逼近式(15)中的非線性函數(shù)f(*).此時，過程輸入和輸出的各次滯后可作為網(wǎng)絡(luò)輸入，網(wǎng)絡(luò)的輸出即可表示過程的輸出。建立過程模型如下：

輸入層：

(16)

小波層：

(17)

乘積層：

(18)

輸出層：

(19)

式中，xi(k)為輸入層的輸入，φd,t(xi(k))為第j個小波基對第i個輸入的響應(yīng)，ψj(k)為第j個小波基的輸出，ym(k)為模型的輸出，N為輸入層神經(jīng)元個數(shù)，M為小波基個數(shù)，wj為乘積層與輸出層之間的連接權(quán)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的目標函數(shù)如下：

(20)

用梯度下降法調(diào)整參數(shù)，算法如下：

(21)

(22)

(23)

η為網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)步長，選取合適的步長是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)率小，收斂速度慢；學(xué)習(xí)率過大，可能導(dǎo)致振蕩。本文采用變步長梯度下降法進行參數(shù)的修正，即在參數(shù)調(diào)整過程中，若誤差函數(shù)值向小的方向變化，表明誤差逐步減小，則學(xué)習(xí)步長應(yīng)當(dāng)增加；相反，若誤差函數(shù)值向大的方向變化，表明新誤差逐步增大，則學(xué)習(xí)步長應(yīng)當(dāng)減小。自適應(yīng)調(diào)節(jié)步長的公式如下：

(24)

式中，α、β的取值范圍為α≥1，β≤1，本文取α=1.05，β=0.85.

2.2 過程逆模型的建立

根據(jù)逆模型的定義，并對yr(k+1)進行線性化預(yù)測，則被控過程逆模型的表達式如下：

(25)

此外，還需將em(k)=y(k)-ym(k)反饋到控制器的輸入端，所以，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)?？刂破鞯妮斎胼敵鲫P(guān)系可表示為：

(26)

采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)式(26)所表示的非線性函數(shù)φ(*).

輸入層：

(27)

隱含層：

(28)

乘積層：

(29)

輸出層：

(30)

逆模型網(wǎng)絡(luò)的目標函數(shù)為：

(31)

參數(shù)學(xué)習(xí)算法如下：

(32)

(33)

(34)

(35)

3 仿真及結(jié)果分析

為驗證本文所提方法的有效性，針對非線性過程進行仿真研究與分析，并與常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進行對比。非線性被控過程如式(36)所示。

(36)

式中，a=1.2，b=1.5.

根據(jù)經(jīng)驗公式選取小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中小波基的個數(shù)r：

(37)

式中，p，q分別為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出的個數(shù)，考慮到網(wǎng)絡(luò)的自構(gòu)建特性，可取l=0.同時，在基于常規(guī)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法中，通過試湊選擇l=5.

系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號，控制過程中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點變化如圖4所示，可見網(wǎng)絡(luò)在逼近NNM和NNC的過程中，實現(xiàn)了自構(gòu)建功能。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖5所示，其中在采樣點k=50時系統(tǒng)加入幅值為0.1的輸入階躍擾動，仿真結(jié)果表明所提設(shè)計方法具有更好的動態(tài)跟隨和干擾抑制性能。

另外，相同訓(xùn)練次數(shù)兩種方法的跟蹤誤差如表1所示，對比可見本文方法的跟蹤誤差遠小于傳統(tǒng)方法，表明具有更快的收斂速度。

表1 兩種方法的跟蹤誤差

Tab.1 Tracking errors of two methods

訓(xùn)練次數(shù)跟蹤誤差常規(guī)方法本文方法5-1.5焊10-19.0焊10-210-4.3 焊10-22.3焊10-415-1.9焊10-21.3焊10-420-6.2焊10-36.1焊10-5

為了驗證控制系統(tǒng)的魯棒性，在采樣點k=50時令過程參數(shù)發(fā)生攝動，即a=1.0，b=1.3，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)如圖6所示，可見本文方法具有優(yōu)于常規(guī)方法的魯棒性。

圖4 訓(xùn)練過程中小波基的個數(shù)

Fig.4 The number of wavelet bases in the training process

圖5 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

Fig.5 Step response of the system

圖6 過程參數(shù)攝動時系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

Fig.6 Step response of the system with process parameter perturbation

表2 控制系統(tǒng)的性能指標

Tab.2 Performance indicators of control system

方法標稱情況模型失配σ%IAEkσ%IAEk常規(guī)14.603.402014.603.6624本文02.87703.015

為了以準確的量化指標驗證所提方法的優(yōu)越性，選擇超調(diào)量(σ%)、偏差絕對值積分(IAE)以及受擾后恢復(fù)穩(wěn)態(tài)的訓(xùn)練次數(shù)k作為閉環(huán)系統(tǒng)性能指標，指標參數(shù)越小意味著系統(tǒng)性能越好。在標稱和失配情況下，兩種方法的性能指標如表2所示，表明本文方法可使系統(tǒng)具有更好的控制性能。

4 結(jié)論

本文提出了一種自構(gòu)建小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計方法，實現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)，并將該算法與內(nèi)?？刂葡嘟Y(jié)合，針對非線性過程設(shè)計了內(nèi)模控制系統(tǒng)。在控制過程中，如果網(wǎng)絡(luò)的逼近性能欠佳則增加新小波基以提高其學(xué)習(xí)能力，如果網(wǎng)絡(luò)中存在不必要的小波基則刪除該小波基以減輕計算負擔(dān)，參數(shù)學(xué)習(xí)采用可以自適應(yīng)調(diào)節(jié)步長的梯度下降法。仿真結(jié)果表明，本文方法可使控制系統(tǒng)具有更好的動態(tài)性能和克服參數(shù)攝動的魯棒性。

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