王麗花

(包頭師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 包頭 014030)

0　引　言

在生產(chǎn)過(guò)程中， 大多數(shù)工作系統(tǒng)都會(huì)隨著時(shí)間的增加和產(chǎn)生的損耗而逐步退化， 然后發(fā)生故障或完全失效. 這樣的多狀態(tài)退化系統(tǒng)模型幾乎取代了二值狀態(tài)模型， 且已有大量的研究， 然而針對(duì)該類多狀態(tài)退化系統(tǒng)模型， 維修方式更具有研究意義， 比如故障前的不完全預(yù)防性維修、 故障后的更換策略、 泊松失效后的小修等. 可修的多狀態(tài)退化系統(tǒng)模型是系統(tǒng)可靠性理論中非常重要的一類模型， 在電力、 網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域廣為適用， 對(duì)于這類模型之前已有一些研究.

多狀態(tài)退化系統(tǒng)的可靠性研究， 一個(gè)主要方面就是采用不同的方法對(duì)系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行分析和系統(tǒng)故障模型的建立. 1989年， Wang 和Sivazlian[1]研究了具有m個(gè)部件、s個(gè)溫貯備和R個(gè)修理工的可修系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)， 得到了可靠度和首次故障前的平均時(shí)間的表達(dá)式. 武月琴等[2]對(duì)n中連續(xù)取k系統(tǒng)進(jìn)行了研究. Kai[3]也研究了如何將二值狀態(tài)系統(tǒng)故障樹推廣到多狀態(tài)系統(tǒng)的問(wèn)題， 并編程實(shí)現(xiàn)了多狀態(tài)故障樹的定量分析. Ushakov[4]提出了通用衍生函數(shù)法. Veeraraghavan和Trivedi[5]提出了一個(gè)容納一排斥(Inclusion-Exclusion)公式， 得到了狀態(tài)概率的表達(dá)式. Zang和Trivedi[6]給出了二態(tài)決策圖法， 將多狀態(tài)元件狀態(tài)用一個(gè)布爾變量來(lái)表示， 整個(gè)系統(tǒng)的行為用一系列的多狀態(tài)故障樹來(lái)表示. Levitin[7]利用通用生成函數(shù)方法計(jì)算了多狀態(tài)串-并聯(lián)系統(tǒng)可靠性， 從而為多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ). Zio等[8]利用Monte Carlo仿真方法評(píng)估了可重構(gòu)多狀態(tài)系統(tǒng)的可用度. Isaac W. Soro等[9]研究了具有小修和不完全預(yù)防性維修的多狀態(tài)退化系統(tǒng)， 但只給出了狀態(tài)概率的微分方程組， 以及一些性能指標(biāo)的簡(jiǎn)單結(jié)果. 文獻(xiàn)[10]中也對(duì)多狀態(tài)退化系統(tǒng)模型進(jìn)行了研究， 且采取了小修和一般型更換策略的維修模式， 得到了一些重要的可靠性指標(biāo). Huan Yu等[11]也對(duì)可修的多狀態(tài)退化系統(tǒng)作了更深的研究， 提出了一種新的計(jì)算可用度的方法. 隨著不同維修模式和不同研究方法的出現(xiàn)， 系統(tǒng)的可靠性理論逐步真正用于了指導(dǎo)實(shí)際問(wèn)題. 最新的研究里， 充分將多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性分析與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、 代數(shù)學(xué)、 電子學(xué)等聯(lián)系了起來(lái)， 且利用其中的知識(shí)對(duì)多狀態(tài)退化系統(tǒng)模型的可靠性分析作出了解答. Hu and Yue等[12]對(duì)一種可修的多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行了可用度的等價(jià)分析， 并得到了兩種等價(jià)因素. Peng Di等[13]對(duì)一種將通用生成函數(shù)與PH分布相結(jié)合的多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行了分析， 得到了可靠度指標(biāo)、 系統(tǒng)瞬時(shí)可用度和平均性能率指標(biāo)等. 2018年， 王濤等人[14]將多狀態(tài)系統(tǒng)的理論引入到陣列的可靠性分析中， 采用通用生成函數(shù)方法建立了陣列的可靠性分析模型. 米金華等[15]借助貝葉斯網(wǎng)絡(luò)對(duì)多狀態(tài)系統(tǒng)的圖形表達(dá)和推理優(yōu)勢(shì)， 采用模糊理論中區(qū)間值三角模糊數(shù)對(duì)部件概率進(jìn)行描述， 從而提出基于區(qū)間值模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析的方法.

本文采用代數(shù)中矩陣部分的Crammer法則及Laplace反演得到系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率， 從而得到可靠度重要指標(biāo).

1　模型描述

起初系統(tǒng)是新的， 處于正常工作狀態(tài)， 然后系統(tǒng)逐漸退化， 當(dāng)退化到完全失效時(shí)， 受到不完全預(yù)防性維修， 使系統(tǒng)恢復(fù)到工作時(shí)任一狀態(tài)； 在退化過(guò)程中， 系統(tǒng)有可能隨時(shí)泊松失效， 然后得到小修， 使系統(tǒng)恢復(fù)到先前的退化狀態(tài). 圖 1 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖.

圖 1　系統(tǒng)狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移圖Fig.1　System state transition diagram

系統(tǒng)一共有2d+1個(gè)狀態(tài)， 狀態(tài)歸為四類： 全新?tīng)顟B(tài)(狀態(tài)1)； 退化狀態(tài)(狀態(tài)(2j-1)j=2,3,…,d)； 泊松失效狀態(tài)(狀態(tài)(2j)j=1,2,…,d)； 完全失效狀態(tài)(狀態(tài)(2d+1)).

四種參數(shù)表示的意義分別為：

λj： 從狀態(tài)(2j-1)到狀態(tài)(2j)的失效率或者轉(zhuǎn)移率；j=1,2,…,d;

μj： 從狀態(tài)(2j)到狀態(tài)(2j-1)的小修修復(fù)率或者轉(zhuǎn)移率；j=1,2,…,d;

αj： 從狀態(tài)(2j-1)到狀態(tài)(2j+1)的退化率或者轉(zhuǎn)移率；j=1,2,…,d;

βj： 從狀態(tài)(2d+1)到狀態(tài)(2j-1)的轉(zhuǎn)移率.j=1,2,…,d-1.

注： 為了求系統(tǒng)的可靠度R(t)， 令系統(tǒng)的所有失效狀態(tài)為馬爾可夫過(guò)程的吸收狀態(tài)， 即系統(tǒng)一旦進(jìn)入泊松失效狀態(tài)2j(j=1,2,…,d)和完全失效狀態(tài)2d+1， 就永久留在該狀態(tài).

定理1系統(tǒng)可靠度的Laplace變換式為

(1)

證明線性微分方程組如下

(2)

j=2,3,…,d.

（3s)

初始條件：P1(0)=1，P2j-1(0)=0;j=2,3,…,d.

對(duì)上述方程組作Laplace變換得

(4)

j=2,3,…,d.

（5)

方程組的Laplace式可寫成如下矩陣形式

AP=B,

其中，

B=(1,0,0,…,0,0,0)T.

解析過(guò)程： 根據(jù)Cramer法則[16]， 得到

(6)

（7)

（8)

（9)

…

（10)

（11)

式中： |A2j-1|為矩陣A中的第j列換為B中元素后得到的矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式. 所以由式(6)～式(11)可得

(12)

（13)

（14)

…

（15)

（16)

根據(jù)Laplace反演法， 將式(12)～式(16)反演可得

P1(t)=e-(α1+λ1)t,

P5(t)=

…

所以， 系統(tǒng)可靠度

得到定理所示形式.

2　結(jié)　語(yǔ)

本文研究了具有實(shí)際意義的多狀態(tài)退化系統(tǒng)， 并且為減少失效率與退化率而采用不完全預(yù)防性維修和小修的情況下計(jì)算了其可靠度. 另外， 還可以作出進(jìn)一步的推廣或者研究， 假定多狀態(tài)退化系統(tǒng)為廣義幾何過(guò)程模型， 修理設(shè)備數(shù)不確定、 維修具有周期性等， 那么使得多狀態(tài)退化系統(tǒng)的研究更加廣泛和接近實(shí)際.