廣東省云浮市鄧發(fā)紀念中學(527300) 廖克鋒

高中數(shù)學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式,這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性,使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.教師根據(jù)不同的設置策略,把課堂教學中的某些數(shù)學問題以不同形式呈現(xiàn)、多角度考察,有助于培養(yǎng)學生勇于質疑和善于反思的習慣,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力,有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力[1].數(shù)學課堂中,如何體現(xiàn)和保障學生的主體地位,喚醒學生的主體意識,關鍵是處于主導地位的教師如何“導”,而教師在課堂中設置恰當?shù)奶骄繂栴}是“導”的一種重要手段.筆者結合自己的教學實踐,圍繞“高中數(shù)學課堂教學中如何設置探究問題”這個主題,結合數(shù)學實例,探討設置探究問題的幾種策略.

1 設置“由特殊到一般”的探究問題

1.1 數(shù)學概念教學中的“由特殊到一般”

現(xiàn)行教材中不少數(shù)學概念是一開始就用演繹的方法描述出來,即先給出形式定義,然后讓學生去理解消化,再去應用.而這種描述方式,有時讓學生去理解概念是有些困難的,這時授課教師可以通過設置一些具體的例子,讓學生根據(jù)具體例子去觀察、分析、歸納,探究出本質,形成概念.例如在講授概念“異面直線”時,可先引導學生觀察長方體的12條棱之間的位置關系、課室內一些線條的位置關系等,探究出那些是異面直線,能很好地幫助學生理解“異面直線”的概念.

1.2 數(shù)學公式中的“由特殊到一般”

1.3 數(shù)學解題中的“由特殊到一般”

解題是學生在學習數(shù)學的過程中必不可少的學習任務,而培養(yǎng)學生熟練掌握解題的通性通法是教師的重要教學任務.教師在課堂教學的過程中,若能根據(jù)學生的知識水平和接受能力,在恰當?shù)墓?jié)點設置恰當?shù)奶骄繂栴},能開拓學生的視野,逐步提高創(chuàng)造性思維的水平.

例2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,an≠0,an?an+1=anan+1,Sn是該數(shù)列的前n項和.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

分析(1)(過程略).

通過以上的探究活動,從而發(fā)現(xiàn)一般的放縮、分組求和的規(guī)律如下:

2 設置“由一般到特殊”的探究問題

根據(jù)演繹法的三段論原理,若一般情形下某個結論成立,則特殊情形下該結論肯定成立.利用該原理,在解決一些數(shù)學問題時,會起到事半功倍的效果.因此,教師在講授解題思想方法時,可以設置一些“由一般到特殊”探究問題,訓練學生的思維品質,提高學生的解題能力.

2.1 把目標變量取特殊值

例3 (2016年高考新課標全國卷I理科第8題)若a＞b＞1,0＜c＜1,則( )

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

分析一般性的數(shù)值特殊化,令得A3＜2,故A選項錯誤;B18＜12,故B選項錯誤;故D選項錯誤;所以正確選項為C.

例5 (2012年高考新課標全國卷理科第16題)數(shù)列{an}滿足an+1+(?1)nan=2n?1,n∈N?,則{an}的前60項和為___.

分析該數(shù)列沒有給出首項,說明結果與首項無關.因此可令首項a1=1為定值,比如令首項,再遞推出該數(shù)列的前10多項,觀察歸納出規(guī)律,從而找到解決問題的突破口.當然也可以通過多種不同的演繹推理得出結果(詳見文獻[3]),但在高考考場上,特值法是學生比較容易想到的.

2.2 把目標數(shù)學式子(如函數(shù),方程,不等式,數(shù)列等)取特定式子

例6 (2014高考新課標全國II卷理第15題):已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)單調遞減,f(2)=0.若f(x?1)＞0,則x的取值范圍是____.

分析根據(jù)題意,函數(shù)f(x)是不確定的抽象函數(shù),但答案是唯一的.故可構造特殊函數(shù)f(x)=?x2+4,則f(x?1)=?x2+2x+3,解不等式f(x?1)＞0得x∈(?1,3).

例7 已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),f′(x)是其導函數(shù),2f(x)+xf′(x)＞0,則下列不等式正確的是( )

分析構造函數(shù)g(x)=x2f(x),則g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))＞0,故函數(shù)g(x)=x2f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,即有g(2)＜g(e),即

2.3 把目標圖像化為特殊圖型

例8 教材[2]118復習參考題A組第2題的第5小題:設M是平行四邊形ABCD的對角線的交點,O為任意一點,則

分析設點O與點A重合,則選D.

在數(shù)學課堂教學的過程中,適當設置一些可用特殊化方法解決的問題,讓學生深入體驗和探究,體會特殊化思想的好處,提高學生思維的批判性品質,可進一步提高學生的數(shù)學思維能力.

3 設置多種形式的變式問題,引導學生逐步深入探究

美國認知心理學家赫伯·西蒙提出了一套西蒙數(shù)學教學理論,提倡“做中學,例中學”.西蒙數(shù)學教學法是倡導“組塊式問題教學”,常常通過設置問題的變式,用問題鏈的形式展現(xiàn)給學生,讓學生逐步深入探究,直到全面地熟練掌握相關知識.設置問題鏈可通過變結論、強化或弱化條件、變?yōu)槟婷}或否命題、類比等方式進行變式設置.

例9 根據(jù)西蒙數(shù)學教學法原理,設置以下問題鏈讓學生探究“連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間內的最值問題”:

①求函數(shù)f(x)=2x?1在區(qū)間[5,20]內的最值.

②求函數(shù)f(x)=kx?1,k∈R在區(qū)間[5,20]內的最值.

③求函數(shù)f(x)=4x2?48x?8在區(qū)間[5,20]內的最值.

④求函數(shù)f(x)=4x2?48x?8在區(qū)間[5,k],k＞5內的最值.

⑤求函數(shù)f(x)=4x2?kx?8在區(qū)間[5,20]內的最值.

⑥求函數(shù)f(x)=4x2?kx?8在區(qū)間[5,k],k＞5內的最值.

⑦求函數(shù)f(x)=4sin2x?ksinx?8的最值.

⑧求函數(shù)f(x)=3·4x?k·2x?8在區(qū)間[?2,2]內的最值.

⑨若函數(shù)f(x)的圖像如圖1所示,請說出“求該函數(shù)在區(qū)間[2,5]內最值”的思路(不用計算).

圖1

通過對以上9個子問題組成的問題鏈的探究,學生基本上都能熟練掌握“通過研究函數(shù)在區(qū)間內的單調性來求最值”的數(shù)學方法.并且,學生在探究過程中也體會到了數(shù)形結合、分類討論、等價轉化等數(shù)學思想,掌握了換元法的應用,學會了用動態(tài)分析的思維方式研究問題,提高了學生數(shù)學思維的靈活性.

4 設置“似是而非,形似質異”的探究問題

數(shù)學課堂教學過程中,注重培養(yǎng)學生思維的深刻性是很重要的.有些數(shù)學問題形式上很接近,而數(shù)學本質卻相距很遠.因此,課堂上可適時設置一些常見的易混淆的數(shù)學問題,讓學生去探究,提高學生的思辨能力.

例10 (1)若函數(shù)f(x)=x2?2ax?3的增區(qū)間是[1,+∞),求實數(shù)a的值.

(2)若函數(shù)f(x)=x2?2ax?3在區(qū)間[1,+∞)上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

(3)求函數(shù)f(x)=x3?3x在點處的切線方程.

(4)求函數(shù)f(x)=x3?3x過點的切線方程.

求實數(shù)a,b的取值范圍.以上(1)與(2)、(3)與(4)、(5)與(6)都是形式很接近,但解決問題的方法是有很大區(qū)別的.構造多個似是而非的數(shù)學問題放在一起讓學生去探究,更能考察學生的審題能力、對相關知識的掌握程度以及解決問題的能力,這也不失是為一種好的設置問題的策略.

5 設置“示錯解法”,引導學生探究正確解法,培養(yǎng)學生辨析能力

數(shù)學課堂教學過程中,針對某個數(shù)學問題,教師可以給出解題過程有誤(或有瑕疵的)解法,引導學生自行探究,并要求學生弄清哪里出錯、為什么錯、如何更正或自行給出另外正確解法.

例11 已知若α是第三象限角,則的值是___.

教師展示錯誤解法:

分析解答過程忽視了α所在象限的限制,導致符號的錯誤.根據(jù)α是第三象限角,可推導出為第二或第四象限角,故答案應為

例12 已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對所有n∈N?都有an=n2+λn恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍為是____.

思路1設函數(shù)f(x)=x2+λx,易得f(x)在區(qū)間上單調遞增,已知{an}是遞增數(shù)列,所以即實數(shù)λ的取值范圍為是λ≥?2.

思路2已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則an＜an+1,n∈N?恒成立,即2n+1+λ＞0恒成立,故λ＞?3.

分析為何出現(xiàn)了不同的結果呢?引導學生分析出產(chǎn)生錯誤的原因.(思路1把函數(shù)的單調性與數(shù)列的單調性混淆了,而導致出錯.)

6 拓展與引申,追根溯源,直窺本質

有些數(shù)學問題隱含著豐富的數(shù)學內涵知識,表題的背后往往還有很大的拓展與引申空間留給學生去觀察去發(fā)現(xiàn)、去挖掘探究.這就需要教師通過合理的引導,讓學生學會透過表題探究本質,從而達到“培養(yǎng)學生追根溯源的鉆研精神,鍛煉學生的發(fā)散思維”的目的.

例13 教材[4]第73頁習題2.4 A組第6題:如圖2,直線y=x?2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,求證:OA⊥OB.(等價命題:已知直線y=x?2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,求證:以線段AB為直徑的圓經(jīng)過原點)

圖2

探究一易知直線y=x?2與x軸交于點C(2,0),根據(jù)圖像的特征,是否存在其它直線也過點C(2,0),且與直線y=x?2一樣有類似的性質?若有,求出該直線方程;若無,請說明理由.(說明:根據(jù)圖像的對稱性,學生容易發(fā)現(xiàn)“與已知直線y=x?2關于x軸對稱的直線也符合要求,基礎好的學生甚至能探究出“經(jīng)過點C(2,0)且斜率不為0的直線”都符合要求);探究一得到正確的結論1:經(jīng)過點C(2,0)且斜率不為0的直線與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,則OA⊥OB.

探究二結論1具有一般性嗎?即是否存在經(jīng)過某個定點且斜率不為0的直線與拋物線y2=2px(p＞0)相交于A,B兩點,使得OA⊥OB?(根據(jù)圖像的對稱性,若存在滿足條件的點,必然在拋物線的對稱軸上);探究二得到正確的結論2:經(jīng)過定點(2p,0)且斜率不為0的直線與拋物線y2=2px(p＞0)相交于A,B兩點,則OA⊥OB.

探究三結論2的逆命題成立嗎?探究三得到正確的結論3:設A,B是拋物線y2=2px(p＞0)上兩點,且OA⊥OB,則直線AB經(jīng)過定點(2p,0).

探究四設點M(x0,y0)是拋物線y2=2px(p＞0)上的一個定點,A,B是拋物線上兩個動點,且MA⊥MB,則直線AB經(jīng)過是否經(jīng)過某個定點?若是,求出該定點坐標;若不是,請說明理由.探究四得到正確的結論4:設點M(x0,y0)是拋物線y2=2px(p＞0)上的一個定點,A,B是拋物線上兩個動點,且MA⊥MB,則直線AB經(jīng)過定點M(x0+2p,?y0)(以拋物線上定點M(x0,y0)為直角頂點的拋物線內接直角三角形的斜邊必過定點).

通過以上四次探究活動,讓學生體驗了整個知識的產(chǎn)生過程,也收獲了成功的喜悅.教師把教材的習題進行合理和必要的拓展引申,不單是拓展了學生的知識面,更重要的是培養(yǎng)了學生的分析問題、解決問題的能力,讓學生懂得了透過現(xiàn)象尋本質,培養(yǎng)了學生鍥而不舍追求真理的學習態(tài)度和求知精神.

總而言之,高中數(shù)學教學中,教師的講授仍然是重要的教學方式之一,但要注意的是必須關注學生的主體參與,師生互動.高中數(shù)學課程在教育理念、學科內容、課程資源的開發(fā)利用等方面都對教師提出了挑戰(zhàn).在教學中,教師應根據(jù)高中數(shù)學課程的理念和目標,學生的認知特征和數(shù)學的特點,積極探索適合高中學生數(shù)學學習的教學方式.在探究式高中數(shù)學課堂教學中,根據(jù)學生的思維特點,采用符合學科特點的設置策略,構造出符合學生認知水平的探究問題,讓學生積極參與到課堂教學活動中來,教育教學效果就會水到渠成.