廣東省廣州市白云區(qū)人和鎮(zhèn)第二中學(xué)(510470) 何鴻翔

在很多一線教師的多年初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,曾經(jīng)會到遇到過一些共同的問題.例如:明明老師精心設(shè)計教學(xué),講解數(shù)學(xué)中很多關(guān)鍵的概念、定理、規(guī)律,解題思路,學(xué)生現(xiàn)場也的確表現(xiàn)出為當(dāng)時明白理解,在針對性練習(xí)中也很順利完成,但是過后,其認(rèn)識就會模糊不清,甚而很快遺忘;有時上課老師怎么說學(xué)生就怎么做,老師不說,就不知道應(yīng)該怎樣學(xué)習(xí),自主學(xué)習(xí)能力差.對所學(xué)知識不反饋,不整理,不反思,知識點(diǎn)之間的關(guān)系凌亂,缺少對知識或解題過程的整體性認(rèn)識;很多學(xué)生能解決老師講過的,自己過去做過的熟悉的問題,面對新問題卻無從下手,缺乏運(yùn)用知識解決新問題的能力和創(chuàng)造性思維.究其原因,是多方面的,而且不同的學(xué)生原因也不相同,但是有些原因是共性的,例如初中數(shù)學(xué)知識面廣,涉及內(nèi)容多.許多學(xué)生感到數(shù)學(xué)知識零散繁雜,很難理清數(shù)學(xué)知識間的線索以及它們內(nèi)在的聯(lián)系.因此,他們只能將數(shù)學(xué)知識雜亂無章地堆放在頭腦中,不會應(yīng)用,在面對問題解決時選擇解題方法時,思維沖動相對單純,不能迅速調(diào)整已知和未知的溝通路線.針對這些情況,本課題組(廣州市教科研十二五規(guī)劃課題《初中數(shù)學(xué)反思性教學(xué)的研究》課題組),在研究反思性教學(xué)和變式教學(xué)的特征的基礎(chǔ)上,提出了“在反思和變式中構(gòu)建解題模型”的研究方向,經(jīng)過教學(xué)和研究實(shí)踐,取得很好的效果,

一、重視解題過程中的全程反思

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,老師的例題分析和講解,是學(xué)生在模仿中學(xué)習(xí)和練習(xí)的第一步,但是如果只是停留在簡單模仿階段,就必然導(dǎo)致機(jī)械學(xué)習(xí)的后果:不會變通.也許老師會在后期的大量練習(xí)中不斷糾正學(xué)生的錯誤中,使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)步入正軌.這又涉及到一個學(xué)習(xí)時間和成本的問題,因?yàn)閷W(xué)生不僅僅是學(xué)數(shù)學(xué)這一科.要想提高最初的學(xué)習(xí)效果,反思是很有效的方法之一.學(xué)生會不會反思,有沒有反思效果,關(guān)鍵是看老師是否創(chuàng)設(shè)反思教學(xué)的環(huán)節(jié),是否給學(xué)生提供反思空間,

案例1 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形AOBC在第一象限內(nèi),E是邊OB上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),作∠AEF=90°,使EF交矩形的外角平分線BF于點(diǎn)F,設(shè)C(m,n).

(1)若m=n時,如圖2,求證:EF=AE;

(2)若m≠n時,如圖,試問邊OB上是否還存在點(diǎn)E,使得EF=AE?若存在,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(3)若m=tn(t＞1)時,試探究點(diǎn)E在邊OB的何處時,使得EF=(t+ 1)AE成立?并求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖1

圖2

圖3

本題是幾何綜合題,屬于動點(diǎn)與全等三角形結(jié)合的組合題.在引導(dǎo)學(xué)生審這道題時,首先,引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計解題反思步驟,引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)在反思的基礎(chǔ)上整理解題策略:

1、解讀題目,你認(rèn)為讀題過程中,最難理解的是:___.

2、動點(diǎn)問題:動點(diǎn)E在邊OB上運(yùn)動時位置有許多,EF和AE變化趨勢是怎樣的,理由是什么?怎樣才能以靜制動?

3、解題策略:你認(rèn)為本題的解題策略是什么?

面對這三個反思問題,在經(jīng)過學(xué)生獨(dú)立思考,小組合作交流的過程后,把一些共性的、關(guān)鍵性的解題策略進(jìn)行歸納:

1、在本題解讀過程中,最難理解的是怎樣利用m=tn把EF=(t+ 1)AE轉(zhuǎn)化,

2、動點(diǎn)問題:動點(diǎn)E在邊OB上運(yùn)動時位置有許多,不同條件下,m=n,m≠n,m=tn,分情況分析EF和AE的長度變化趨勢是怎樣的.

3、解題策略:

(1)題的解題策略:求證兩條線段相等,一般的策略是通過證明三角形全等,來證明兩條線段相等,由∠AEF= 90°得 ∠EAO= ∠FEB,在OA上取點(diǎn)G,使AG=BE,構(gòu)造并證明△AGE△EBF.

(2)題的解題策略:一般猜想兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系,可以先在運(yùn)動過程中找不變的數(shù)量關(guān)系,例如“∠EAO= ∠FEB”,“∠AOB= ∠AEF= ∠EBC=90°”是不變的關(guān)系,再反思(1)題的思路看是否能證明Rt△AGERt△EBF,而m≠n才是本題的關(guān)鍵,當(dāng)m和n的值相差較大時,通過畫圖可以直接看出EF≠AE,所以怎樣說明理由是本小題難點(diǎn),因?yàn)椴淮嬖?可以聯(lián)想到反證法,假設(shè)存在點(diǎn)E,使EF=AE.設(shè)E(a,0).作FH⊥x軸于H,如圖. 由(1)知∠EAO= ∠FEH,于是Rt△AOERt△EHF.證明m=n,這與已知m≠n相矛盾.

(3)本小題關(guān)鍵是怎樣理解和轉(zhuǎn)化EF=(t+ 1)AE,可以設(shè)E(a,0),FH=h,則EH=OH?OE=h+m?a. 由 ∠AEF= 90°,∠EAO= ∠FEH,得△AOE∽△EHF, 所以EF=(t+ 1)AE等價于FH=(t+ 1)OE,即h=(t+ 1)a,再利用三角形相似的性質(zhì)和m=tn進(jìn)一步解得

其次對題目所包含的相關(guān)信息進(jìn)行進(jìn)一步反思,逐字逐句將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息.先要求學(xué)生將每一句的關(guān)鍵詞找出來,例如矩形就隱含了已知條件:“∠AOB= ∠EBC= ∠CBX=90°”;“不包括端點(diǎn)的”,是動點(diǎn)的限制條件,但是在理解動點(diǎn)運(yùn)動時EF和AE的長度變化趨勢,一定要考慮端點(diǎn),端點(diǎn)往往也是輔助理解動點(diǎn)問題的關(guān)鍵點(diǎn);“m≠n”的意思就是“m＜n或m＞n”;“矩形+∠AEF=90°”實(shí)際上就隱含了類似一線三等角的全等解題模型.第(2)小題的解題線索實(shí)際上可以通過反思第(1)的解題思路獲得靈感,因?yàn)椤啊螮AO=∠FEB”和“∠AOB=∠AEF=∠EBC=90°”是不變的等量關(guān)系;第(3)小題的解題線索實(shí)際上可以通過反思第(1)(2))的解題思路獲得靈感,既然當(dāng)m≠n時對應(yīng)的全等關(guān)系已經(jīng)不成立,那就考慮相似是否成立,把問題放到相似的背景中去思考.類似本題這樣的綜合題,每個小題都有內(nèi)在的邏輯關(guān)系,但是學(xué)生在做題時,往往做到后面就忘記前面,沒有前后反思的習(xí)慣.

所以在引導(dǎo)學(xué)生主動反思時,要解題過程的全程反思,按照反思設(shè)計問題歸納解題思路,在小組合作交流,老師指導(dǎo)的基礎(chǔ)上,歸納交流解題思路,個人反思化歸為自己的解題心得.這樣可以引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)解題的數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)學(xué)生理解和領(lǐng)悟解題的思維反思習(xí)慣,突出在面對解題突破口和岔路口時,從容面對,提高學(xué)生反思技術(shù),培養(yǎng)反思習(xí)慣.

二、在反思的基礎(chǔ)上變式

在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段,對于各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系,是通過題組的形式,在強(qiáng)化訓(xùn)練的基礎(chǔ)上,融會貫通,構(gòu)建初中數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò),選題是關(guān)鍵.選題的一個標(biāo)準(zhǔn)就是根據(jù)各個習(xí)題之間的內(nèi)在聯(lián)系組構(gòu)成題組.例如在復(fù)習(xí)三角形的全等和相似時,可以通過對三角形的邊角關(guān)系的反思,構(gòu)造一個三角形題組變式題組思維導(dǎo)圖:

案例2 母題:已知:B、C、D三點(diǎn)共線,∠B= ∠ACE= ∠D=90°,AB=BC,求證:△ABD△BCE.

圖4

變式反思本題是三角形全等的基本題型,通過對邊角的結(jié)構(gòu)關(guān)系的反思,既可以在三角形全等角度進(jìn)行變式,把它變形為一般的非直角三角形,或者把它至于不同的背景中去,也可以把變形為相似三角形,通過一道題,把全等和相似,及其相關(guān)背景題型組合成一個知識網(wǎng)絡(luò).

1、橫向變式

(1)弱化條件“直角”,則“全等”結(jié)論仍然成立.

已知:D、B、E三點(diǎn)共線,∠D= ∠ABC= ∠E,AB=BC,求證:△ABC∽△CDE.

圖5

(2)弱化條件“直角”,改變圖形結(jié)構(gòu),“全等”結(jié)論仍然成立.

△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E,F分別在邊BC,CA,AB上,且△DEF也為等邊三角形.求證:BD=CE.

圖6

2、縱向變式

(1)弱化條件“AC=CE(線段相等)”,則結(jié)論由全等弱化為相似.

已知:D、B、E三點(diǎn)共線,∠D=∠ABC= ∠E=90°,求證:△ABD∽△BCE.

圖7

(2)同時弱化條件“線段相等”和“直角”,則結(jié)論由全等弱化為相似.

在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),過點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M,使∠APM=∠B;求證:△ABP∽△PCM.

學(xué)生在解題的過程中,通過觀察和反思,可發(fā)現(xiàn)每題中相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)圖形.在變化的圖形背景中,發(fā)現(xiàn)題目的通性、通法,體現(xiàn)變式過程中的多題一法.通過獨(dú)立思考或小組合作討論,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中的變換.每組的圖形可以存在不同的變換關(guān)系,但變換后線段或角的關(guān)系仍然存在.變式教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生觀察分析、前后全程反思,變異出新、優(yōu)化解題、拓展創(chuàng)新,使之形成一種技巧.題目的變化過程,是學(xué)生一步一步嘗試、反思感受變化的過程,是學(xué)生一步一步反思、總結(jié)的過程,是學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”本質(zhì)的過程,是學(xué)生從“不變”的本質(zhì)探索“變”的規(guī)律的過程.

圖8

三、在反思和變式中構(gòu)建解題模型

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要想讓學(xué)生達(dá)到舉一反三的教學(xué)效果,解題模型化,是一條有效的途徑.這個模型不是萬能的老師直接灌輸給學(xué)生,而是讓學(xué)生在反思和變式教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建.例如,在每年的初三復(fù)習(xí)相似三角形時,本人都會引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“一線三等角相似模型”,在一般的一線三等角的題型中讓學(xué)生總結(jié)反思他的一般性的解題思路,利用變式教學(xué),讓學(xué)生總結(jié)反思不同變式題的特性和通性,分7步構(gòu)建模型:1、“一線三等角”基本解題模型,2、等邊三角形背景下的一線三等角;3、等腰三角形背景下的一線三等角;4、矩形背景下的一線三等角;5、復(fù)雜背景下的一線三等角;6、隱含的一線三等角;7、師生共同反思總結(jié)“一線三等角”解題模型的解題思路和注意事項(xiàng):(1)“一線三等角”主要是便于尋找相似三角形.(2)看清“一線三等角”的存在背景,聯(lián)系背景,可以尋找更多隱含的已知條件.例如等邊三角形,等腰三角形,矩形,正方形和平面直角坐標(biāo)系.(3)有時“一線三等角”并不是現(xiàn)成的,需要通過做輔助線來補(bǔ)全.(4)“一線三等角”有時與動點(diǎn)問題結(jié)合在一起,要在運(yùn)動變化中抓住不變的等量關(guān)系,以靜制動.(5)在一個復(fù)雜圖形綜合題中,如果發(fā)現(xiàn)“一線三等角”,可以先解決與相似三角形相關(guān)的簡單問題.我還把這一節(jié)教學(xué)做成微課,讓基礎(chǔ)弱的學(xué)生課后有機(jī)會自主反思復(fù)習(xí).經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐證明,這樣可以讓學(xué)生掌握相似三角形的判定和性質(zhì),并能熟練運(yùn)用其解決重要類型“一線三等角”的類型題.經(jīng)歷運(yùn)用相似三角形知識解決問題的過程,體驗(yàn)圖形運(yùn)動、分類討論、方程與函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.通過問題的解決,體驗(yàn)探究問題成功的樂趣,積極探索,提高學(xué)習(xí)幾何的興趣.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,讓學(xué)生養(yǎng)成自己平時反思總結(jié)規(guī)律,寫解題反思策略,是學(xué)生自主構(gòu)建解題模型的基本條件,下列是我的學(xué)生總結(jié)的幾個解題策略:

1、求交點(diǎn)坐標(biāo)→兩線交點(diǎn)→兩線解析式→解兩解析式的方程組的解,

2、最值問題→構(gòu)造函數(shù)→注意自變量的取值范圍;

3、當(dāng)題目中出現(xiàn)幾個問題,第一小題出現(xiàn)簡單圖形,第二小題出現(xiàn)復(fù)雜圖形,可能需要對復(fù)雜圖形進(jìn)行處理:提取或添加輔助線,或分解圖形,轉(zhuǎn)化為題一小題出現(xiàn)的簡單圖形.

4、欲想動點(diǎn)→先找定點(diǎn)→以靜制動.

通過反思性教學(xué),把解題靈感轉(zhuǎn)化為解題策略解題或解題模型,不僅是學(xué)生的提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有效方法,而是蘊(yùn)含一個數(shù)學(xué)老師的理想,就是怎樣把從前少部分人才能擁有的解題靈感與積極的學(xué)習(xí)方式相結(jié)合,轉(zhuǎn)化為大眾化的解題策略,讓全體學(xué)生分享將依賴解題靈感轉(zhuǎn)為依賴解題技術(shù)策略成功解題的學(xué)習(xí)快樂.