廣東省中山市華僑中學(xué)(528400) 陳春濤

在人民教育出版社2001年3月第1版數(shù)學(xué)教材中,弦切角定理是九年級幾何教材第106的選學(xué)內(nèi)容,改版后這一內(nèi)容編排在高中課本選修4-1第35頁,這一定理的內(nèi)容是:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

盡管這一內(nèi)容現(xiàn)在已經(jīng)從初中教材中刪除,但在歷年的廣東省中考試題中卻屢次出現(xiàn)該定理的圖形,雖然沒有直接考查該定理,但借助該模型卻有助于問題的迅速解決.以2017年第24題為例.

2017年如圖1(1),AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與O、B重合),作CE⊥OB,交⊙O于點(diǎn)C,垂足為點(diǎn)E,作直徑CD.過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P,AF⊥PC于點(diǎn)F,連結(jié)CB.

(1)求證:CB是∠ECP的平分線;

(2)求證:CF=CE;

圖1 (1)

圖1 (2)

分析如圖1(2),要證明∠1=∠3,根據(jù)雙垂直三角形中同角的余角,可得∠2=∠3;根據(jù)∠1與∠2是∠OCB與∠OBC這一組等角的余角,可得∠1=∠2,從而可得到CB是∠ECP的平分線;

第(2)小題要得到CF=CE,只需證明AC是∠FAB的平分線即可,利用OC//AF和OA=OC即可得到;

說明圖中∠1=∠2可以通過弦切角定理直接得到,第(2)小題也可以應(yīng)用弦切角定理得到∠FCA=∠ABC,由它們的余角相等得到角平分線.即使不應(yīng)用該定理,熟悉弦切角圖形也可以有效幫助我們在審題時快速找到突破口,再利用本題第(1)(2)小題分析中的方法證明即可.

上題中(2)小題來源于義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級上冊(以下簡稱“課本”)102頁的一道習(xí)題.

課本原題如圖2(1),AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直,垂足為D.則AC平分∠DAB.

圖2 (1)

圖2 (2)

圖2 (3)

課本原題分析在圖2(2)中,由OC⊥DC和AD⊥DC可得OC//AD,則∠1=∠3,由∠2=∠3即可得到∠1=∠2,即AC平分∠DAB.

這一內(nèi)容如果應(yīng)用弦切角定理,則還可以這樣證明:

如圖2(3),根據(jù)弦切角定理,∠4= ∠B,由∠1+∠4=90°,∠2+ ∠B=90°,可得 ∠1= ∠2.

由上可知,盡管弦切角定理已經(jīng)從初中數(shù)學(xué)教材中刪除,但弦切角圖形卻仍是圓中的典型模型.

一、弦切角圖形在廣東省中考綜合題中的應(yīng)用

1.2013 年中考題第(3)小題

如圖3,⊙O是 Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E.

圖3

(1)求證:∠BCA= ∠BAD;

(2)求DE的長;

(3)求證:BE是⊙O的切線.

分析如圖3,只要能證明∠1=∠2,就可利用∠2=∠3,代換得到∠1= ∠3,再根據(jù)∠3+∠CBO=90°,就能得到∠1+∠CBO=90°,即BE是⊙O的切線.要證明∠1= ∠2,則與2017年第(2)小題證明的方法類似,只需證明∠BCE=∠BCA,再利用等角的余角相等即可得到.而∠BCE的∠BCA相等關(guān)系則可通過OB//DE和OB=OC即可得到,這就是課本原題的證明思路.

點(diǎn)評本題的思路實(shí)質(zhì)就是弦切角定理圖形的逆應(yīng)用,若BE是⊙O的切線,則必然存在著弦切角∠1與圓周角∠2相等,它的逆命題就是本題要證明的內(nèi)容.

2.2014 年中考題第(3)小題

如圖4(1),⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,延長DO交⊙O于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E,作射線DE交BC的延長線于F點(diǎn),連接PF.

(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的長(結(jié)果保留π);

(2)求證:OD=OE;

(3)PF是⊙O的切線.

圖4 (1)

圖4 (2)

分析只要能證明∠1=∠2,則應(yīng)用與2013年中考題相同的方法,可得到PF是⊙O的切線.要證明∠1=∠2,根據(jù)∠2和∠3是同角的余角,可得∠2= ∠3,則只需證明∠1=∠3即可,可以根據(jù)等腰三角形的三線合一來得到.

圖4(2)中,由OD⊥AB和∠B=90°可得到PD//BF,再結(jié)合OD=OE,即可得到CE=CF;而根據(jù)OD=OE和AO=OP,得到PA//DF,結(jié)合 ∠APC=90°得到PC⊥EF;從而在等腰△ECF中,PC垂直平分EF,則△EPF中,PC仍是中垂線,故∠1=∠3.

點(diǎn)評本題與2013年的第(3)小題類似,都是借助弦切角定理圖形來得到思路的,盡管后面的證明比較復(fù)雜,但思路的突破口卻是由該基本圖形得到的,而且運(yùn)用了平行線與等腰三角形得到角平分線,這與課本原題中的證明思路也是一致的.當(dāng)然本題還可以通過證明△PCF來得到∠1=∠3,但主體思路是相同的.

3.2016 年中考題第(1)小題

如圖5(1),⊙O是△ABC的外接圓,BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,過點(diǎn)B作⊙O的切線BD,與CA的延長線交于點(diǎn)D,與半徑OA的延長線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作⊙O的切線AF,與直線BC的延長線交于點(diǎn)F.

(1)求證:△ACF∽△DAE;

(3)連接EF,求證:EF是⊙O的切線.

圖5 (1)

圖5 (2)

分析如圖5(2),要證明△ACF∽△DAE,只需得到∠1=∠D與∠ACF=∠DAE即可,通過∠OAC=∠OCA,它們的補(bǔ)角相等,即∠ACF=∠DAE;它們的余角相等,即∠1=∠2,∠2與∠D又是雙垂直三角形中同角的余角,得到∠D= ∠2= ∠1.

點(diǎn)評本題中∠1=∠2也是弦切角定理圖形的基本結(jié)論.

4、2018 年中考題第(2)小題

如圖6,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,連接AC、OD交于點(diǎn)E.

圖6

(1)證明:OD//BC;

(2)若tan∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切;

(3)在(2)的條件下,連接BD交⊙O于點(diǎn)F,連接EF,若BC=1,求EF的長.

分析第(2)小題中,只要能證明弦切角∠CAD=∠ABC,則DA與⊙O相切;此時根據(jù)第(1)小題的證明過程,易得由可得AE=BC,則△AED△BCA(HL),得到 ∠CAD= ∠ABC,得證.

點(diǎn)評本題是弦切角定理的逆應(yīng)用,即根據(jù)弦切角相等,得到切線．

從上面的綜合題中可以發(fā)現(xiàn),廣東省從2013年至今的中考題中,除2015年的綜合題沒有考查切線之外,其余幾年的綜合題中都出現(xiàn)了弦切角定理的基本圖形,尤其以弦切角圖形結(jié)合過半徑外端作切線垂線的模型比較常見,即課本原題的模型.而證明的常見方法用兩種:一種是借助半徑等腰三角形的同角余角來證明;另一種則是借助平行線和等腰三角形得到角平分線.

二、思考與教學(xué)建議

1.為什么弦切角圖形受到親睞

(1)切線圖形容易形成弦切角.直線與圓的位置關(guān)系是圓中的重要內(nèi)容,只要考查圓的綜合題,幾乎都會考查切線的性質(zhì)或判定.而切線與圓中的弦只要相交,必然會形成弦切角定理的圖形.

(2)弦切角圖形能夠很方便的與其它知識聯(lián)系.首先,它可以與一切與角相等有關(guān)的知識聯(lián)系.上面的例子中同角(或等角)的余角(或補(bǔ)角)、平行線、等腰三角形、圓周角等許多知識都有應(yīng)用.其次,它可以結(jié)合勾股定理等知識考查求線段的長度.

以2004年廣東省中考試題為例.

原題如圖7,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AB上,DE⊥EB.

圖7

(1)求證:AC是△BDE的外接圓的切線;

分析第(1)小題根據(jù)角平分線∠1=∠2,再由∠3=∠2可得到∠1=∠3,進(jìn)而得到OE//BC,即可由∠C=90°得到OE⊥AC,即AC為切線;

第(2)小題的關(guān)鍵是求出半徑的長度,求得后即可得到線段OE、AO、AB的長度,利用平行得到比例式代入即可求得.求半徑的方法常見的有兩種,一種是根據(jù)弦切角定理圖形求得∠4=∠2,得到△ADF∽△AEB,從而由AE2=AD·AB求出AB,再求出半徑;另一種方法是利用勾股定理,由AE2+r2=(AD+r)2求出半徑.

點(diǎn)評弦切角定理圖形的可拓展性造就了它在中考綜合題中的熱度,它是將圓外的角轉(zhuǎn)化至圓內(nèi)的最好工具之一.

2.教學(xué)建議

綜上所述,弦切角圖形在角的證明和線段的求解兩方面都能起到重要作用,而該內(nèi)容又是現(xiàn)行教材中已經(jīng)刪除的內(nèi)容,在教學(xué)中也不必專門教學(xué)定理內(nèi)容,但該定理圖形常在綜合題中出現(xiàn),明顯是針對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)展開的考查,故教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才是正道.

(1)注意培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).直觀想象素養(yǎng)是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,在幾何中,主要體現(xiàn)為幾何直觀.幾何直觀是學(xué)習(xí)者、研究者對于數(shù)學(xué)對象的全貌和本質(zhì)進(jìn)行的直接把握,這種直接判斷建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上,既有相對豐富的經(jīng)驗(yàn)積累,也有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的理性的概括和升華.簡單的說就是能夠從復(fù)雜的圖形中找到熟悉的部分,并將復(fù)雜圖形分解為熟悉的基本圖形.

弦切角定理圖形可承載的知識量比較大,深受命題者喜愛,所以對弦切角定理圖形的識別是解決切線問題的常見方法.在課堂教學(xué)中對于弦切角定理的基本圖形、基本結(jié)論和基本方法還是需要著力培養(yǎng)的,課本102頁的原題就是一個很好的素材.

(2)注重培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)不應(yīng)該單純建立在大量習(xí)題中,而應(yīng)當(dāng)在課堂思考中.例題學(xué)習(xí)重要的是讓學(xué)生根據(jù)已經(jīng)條件推理可能的結(jié)論,從而尋找多種解決問題的途徑,而不是教者使用某一種方法快速得到思路與答案.

前面的幾道綜合題盡管都可以轉(zhuǎn)化為弦切角定理的圖形來解決,但課堂上卻絕不能只用這一種方法去教學(xué)生.而且從幾道題目來看,應(yīng)用弦切角定理的圖形僅僅只是提供思考的方向,后續(xù)的思考還需要扎實(shí)的邏輯推理素養(yǎng)方可完成,從前面2014年的中考題第(3)小題后續(xù)的解答可以清晰的看到這一點(diǎn).故課堂的教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力“把書讀厚”,找尋多樣化的解決方案,發(fā)展演繹推理;課后的反思應(yīng)當(dāng)努力“把書讀薄”,通過歸納類比建立合適的模型,全面培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

(3)注意培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對象并進(jìn)行研究的思維過程.從紛繁的事物中抽象出基本模型就是數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn).數(shù)學(xué)綜合題考查的是學(xué)生的綜合素質(zhì),它往往都是由一些基本的問題通過變式而來,能夠從復(fù)雜圖形中找到熟悉的圖形,抽象出基本模型方可順利解決.以前面的2016年中考題為例,從原圖可以找到以下的一些熟悉圖形(圖8、圖9、圖10),每種圖形都有常見的結(jié)論,解決問題的過程就是借助這些基本模型綜合分析的過程.

圖8

圖9

圖10

圖8 的模型常見結(jié)論是:若AF為切線,則∠1=∠2;根據(jù)AF和CF長可求半徑;可得△ACF∽△BAF;若BF=3CF,則△BAF是底角為30°的等腰三角形……

圖9的模型中包含勾股定理、等面積公式、射影定理,同角的相等余角,相似三角形等內(nèi)容.

圖10的模型較常見的條件是∠B=90°,EO為角平分線,OG為垂直平分線,則∠F=30°,其中角的相等、邊的相等、全等的三角形都比較多.2016年荊州市中考第8題就考查了這個模型.

[2016·湖北荊州]如圖11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分線交BC于D,DE是AB的垂直平分線,垂足為E.若BC=3,則DE的長為()

圖11

A.1 B.2 C.3 D.4

2016年廣東省中考第24題的解決正是通過分析這些基本模型、借助基本結(jié)論,最終解決問題的.在幾何背景的綜合題中,辨識基本圖形、分析基本結(jié)論幾乎是解決幾何問題的根本,所以數(shù)學(xué)抽象也是解決幾何問題的關(guān)鍵素養(yǎng).至于在解決問題過程中,建立方程模型求未知線段則是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的體現(xiàn),正確求解則是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的體現(xiàn).

圓是平面幾何中承載能力最強(qiáng)的模型,幾乎所有的平面幾何知識都能與圓結(jié)合呈現(xiàn),在如此豐富的素材中,近五年中有四年都考查到弦切角定理模型,是一種巧合還是必然?而這一定理的模型又是課本上的原題,故用好課本永遠(yuǎn)是教學(xué)王道.