廣東省中山市民眾中學(528441) 陳曉明 楊良畏

中學數(shù)學教學內容是高等數(shù)學內容學習的基礎,它們之間聯(lián)系緊密,高等數(shù)學背景設計而成一些創(chuàng)新試題,教師要加強初等數(shù)學與高等數(shù)學銜接內容的教學研究,這樣才能居高臨下.在現(xiàn)行的高考中像這樣具有高等數(shù)學背景的試題,往往備受命題者青睞.因此要加強初等數(shù)學與高等數(shù)學銜接內容的教學研究,使中學數(shù)學的教學達到理想的教學效果.我們可以通過以下幾個方面的例題,就會發(fā)現(xiàn)中學數(shù)學與高等數(shù)學間存在緊密聯(lián)系.

1 行列式的應用

因式分解是中學數(shù)學的一個重要內容,雖然在中學數(shù)學中有很多方法可以解決因式分解問題,但對于某些因式分解問題,如果構造與之對應的行列式,然后使用行列式的性質去解決,就顯得很方便.

例1 對a3+b3+c3?3abc因式分解.

2 微積分在中學數(shù)學中的應用

如果將整個數(shù)學比作一棵大樹,那么初等數(shù)學就是樹的根,名目繁多的數(shù)學分支就是樹枝,而樹干的主要部分就是微積分.運用微積分的知識我們可以更好的了解中學數(shù)學與高等數(shù)學之間的聯(lián)系,可以更好的將數(shù)學知識融會貫通,學好數(shù)學.

例2 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時,取的極值且f(1)=?1,試求常數(shù)a,b,c的值.

解f′(x)=3ax2+2bx+c,因為x=±1為函數(shù)極值點,所以x=±1是方程f′(x)=0的根,即3ax2+2bx+c=0.f′(1)=0即3a+2b+c=0,f′(?1)=0即 3a?2b+c=0,又f(1)=?1,所以a+b+c=?1,聯(lián)立解得

3 恒等式的應用

恒等式的證明在中學數(shù)學中是屢見不鮮的問題,如果用高等數(shù)學的方法來證明恒等式,有著初等數(shù)學無可比擬的優(yōu)勢.

4 泰勒定理的應用

下面我們來看一道高考題,從高考題中看看中學數(shù)學與高等數(shù)學內容之間的聯(lián)系.

上面我給出的解法使用了大學里面的知識,這道題目難度對于中學生來講是很大的,即使是優(yōu)秀生也是對它毫無辦法.而我們首先想到的是泰勒展開式,微分中值定理相關知識去解答,這道題目對我們來說并不陌生,因為在許多高校考研題目中都有這樣的題目的影子.如四川師范大學考研題以及2008年浙江省大學生高等數(shù)學競賽試題第五題.下面我們具體看看四川師范大學那道題.

例5其中n是任一自然數(shù),求證:方程fn(x)·fn+1(x)=0在實數(shù)域內有唯一實根.

這就是某年四川師范大學研究生考試的那道題,詳細答案解答見錢吉林的《數(shù)學分析解題精粹》(第二版).

回到高考那道題,我們用初等數(shù)學的方法來證明.

證明設

(1)當n=1,2時,命題正確;(2)假設當n=k時,命題正確.若k為偶數(shù)時,所以fk+1(x)在(?∞,+∞)上單調遞增,又當x→+∞時,fk+1(x)→+∞,當x→?∞時,所以fk+1(x)=0有且僅有一個實根;若k為奇數(shù)時,fk(x)=fk+1(x),記fk(x)=0的根為x=x0,由于fk(x)在(?∞,+∞)上單調遞增,所以x∈(?∞,x0)時,fk(x)＜0,x∈(x0,+∞)時,fk(x)＞0;因為所以fk+1(x)=0無實根,由(1)(2)根據數(shù)學歸納法,可知命題正確.

如相似題有,2010年高考數(shù)學(新課標全國卷理科)第21題.

設函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,若當x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

解(分離參數(shù)法)由條件可知,ex?1?x?ax2≥0,因為x=0時不等式成立,所以只是考慮x≠0時的情況,當x≠0時,則在令y2=(x?2)ex+x+2,當x=0,y2=0,因為令y3=(x?1)ex+1,當所以y3在(0,+∞)上是增函數(shù),y3＞0,推出y2在(0,+∞)上是增函數(shù),由y2＞0又推出y1在(0,+∞)上是增函數(shù),由于

這種分離參數(shù)法是我們中學解題慣用的手法,可是在這道題中,有最后一道關卡過不去,那就是求因為這里用到高等數(shù)學中的洛必達法則,而中學生不會,他們僅會分離參數(shù),所以到最后不知道怎么辦?當然,這道題在標準答案中有詳細解答,我這里主要是為了說明中學中一些題目已經滲透著高等數(shù)學的思想,如果學生用慣常思維去解答一些題目很容易卡殼,但是使用中學方法需要用到一些技巧,學生很難想到,所以在中學數(shù)學教學改革中,老師應具備用高等數(shù)學的知識去解決一些題目的能力和思想,讓學生們有所了解,使中學數(shù)學的教學達到理想的教學效果.