李楚元

(一諾儀器(中國(guó))有限公司，上海 200233)

0　問題的提出

聲音、可見光、無線電波、地震波、物質(zhì)波、引力波等是不同類型的波，波是自然界中最普遍的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式。對(duì)波的研究和認(rèn)識(shí)的加深，不僅推動(dòng)著人類認(rèn)知的不斷前進(jìn)，同時(shí)也改變了人們的生產(chǎn)生活方式，例如引力波的發(fā)現(xiàn)改變了人們對(duì)宇宙空間的認(rèn)識(shí)[1]，而無線電通信帶來的移動(dòng)通信革命深刻影響了人類社會(huì)的演進(jìn)。各種類型的波雖然各有特點(diǎn)，但也有著共同的特性，比如干涉、衍射和疊加效應(yīng)。除此之外波還有其他共同的特性。本文以電磁波、機(jī)械波和傳輸線上的交流電為例，來探究波的反射率和透射率的共同特性。發(fā)現(xiàn)雖然不同類型的波的傳播有各自的載體和物理特征，但在垂直入射時(shí)它們的反射率和透射率有相同的數(shù)學(xué)形式。

電磁波是最常見的波。無線電波、紅外線、可見光、紫外線、X射線以及伽馬射線等都是電磁波，區(qū)別僅是頻率的不同。19世紀(jì)物理學(xué)家麥克斯韋在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，提出了位移電流假說并推廣電流的含義，概括提出了一組描述電磁現(xiàn)象的方程。這組方程稱為麥克斯韋方程組[2]。通過這組方程麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在，并預(yù)言光也是一種電磁波。后來赫茲在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到了電磁波的存在?，F(xiàn)代無線通信技術(shù)的發(fā)展及各種電磁設(shè)備的運(yùn)用完全證明了麥克斯韋方程和電磁理論的正確性。

物體機(jī)械振動(dòng)的傳播稱之為機(jī)械波。比如聲音、水波以及地震波就是機(jī)械波。對(duì)聲波的深入研究讓人類譜寫出了美妙的樂章，對(duì)地震波的研究可以減少地質(zhì)災(zāi)害。和電磁波一樣，機(jī)械波與我們的日常生活有著緊密的聯(lián)系。

在傳輸線上傳輸?shù)碾娔芷漭d體也是電磁波，而不是導(dǎo)體內(nèi)的電子或其他載流子。導(dǎo)線內(nèi)部的自由電子和傳輸線內(nèi)部及周圍的電磁場(chǎng)相互制約，從而使電磁能量沿著導(dǎo)線傳輸。原則上傳輸線問題也可以通過求解麥克斯韋方程得到結(jié)果，但是直接求解實(shí)際邊界條件的麥克斯韋方程往往比較復(fù)雜，而對(duì)于直流和低頻交流電采用電路分析的方法比較簡(jiǎn)單有效。因此采用電壓、電流、阻抗等參數(shù)單獨(dú)研究傳輸線問題有著實(shí)際的意義。

由傅里葉分析知道，任何形式的波都可以用平面波來展開。一組平面波構(gòu)成一組正交、完備的基。同時(shí)由波的疊加原理，我們就可以只研究平面波來探究波的反射、透射規(guī)律。單色平面波波函數(shù)表達(dá)式為

其中，|E0|為振幅;k為波矢;ω為圓頻率。振動(dòng)方向E0和波矢k方向相同(垂直)的為縱波(橫波)。在均勻介質(zhì)中傳播的電磁波為橫波;聲音以及液體中的機(jī)械波均為縱波;而固體既有切變又有容變，因此固體中既可以傳播縱波又能傳播橫波，例如地震波既包含橫波也包含縱波。

波在傳播的過程中遇到不同介質(zhì)會(huì)在界面處發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。由惠更斯原理知道折射和反射的角度，本質(zhì)上是由波在不同介質(zhì)的傳播速度決定的

其中，α為入射角;β為反射角或折射角;v1為入射波速;v2為反射或折射波速。

垂直入射時(shí)，不管是電磁波還是機(jī)械波，入射單色橫波或縱波的反射波和折射波依然是相同頻率的橫波或縱波。因此，為方便比較我們這里只討論垂直入射的情況。

自然界中最具普遍意義的物理量就是能量，能量在界面處的分配即反射率和透射率是研究波動(dòng)問題的核心。本文通過分析不同波的反射率和透射率來窺探波的一些共通屬性。

1　反射、透射率的研究

1.1　垂直入射電磁波的反射率、透射率

對(duì)平面波而言，同種介質(zhì)中的傳播過程并不改變波的性質(zhì)。反射和折射的相位、振幅及能流關(guān)系是由界面處的邊界條件決定的。對(duì)于電磁波，原則上所有問題都可以通過求解麥克斯韋方程解決。電磁波界面處的邊值關(guān)系可以由麥克斯韋方程組的積分形式描述：

其中，E、B、D、H、If和Qf分別為電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電位移矢量、磁場(chǎng)強(qiáng)度、自由電流和自由電荷。

要求解此方程還需要知道介質(zhì)的一些電磁性質(zhì)，對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，有以下一些線性關(guān)系式

其中，ε、εr、ε0和χe分別為介質(zhì)電容率、相對(duì)電容率、真空介電常數(shù)和介質(zhì)極化率;μ、μr、μ0和χM分別為介質(zhì)磁導(dǎo)率、相對(duì)磁導(dǎo)率、真空磁導(dǎo)率和介質(zhì)磁化率;σ為電導(dǎo)率。必須要指出的是上述電磁關(guān)系式僅適用于各向同性非磁介質(zhì)，實(shí)際材料的電磁性質(zhì)關(guān)系大多是各項(xiàng)異性非線性的。關(guān)于介質(zhì)的非線性電磁性質(zhì)的研究依然是當(dāng)今凝聚態(tài)物理研究前沿之一，在此不做展開。

把麥克斯韋方程組(3)應(yīng)用到兩介質(zhì)的界面處，可得到如下的邊值關(guān)系

其中，en、α和σ分別為界面的法向單位矢量、自由電流線密度和自由電荷面密度。在討論時(shí)諧波時(shí)，上述邊值關(guān)系不是完全獨(dú)立的，由前面兩個(gè)關(guān)系式可以得到后面兩個(gè)關(guān)系式。

先考慮一般情況。由傅里葉頻譜分析可知，若入射波為平面波，則反射波和折射波也為平面波。平面電磁波為橫波，電場(chǎng)分量E、磁場(chǎng)分量H和波矢k兩兩正交并呈右手螺旋關(guān)系。入射波、反射波和折射波的波函數(shù)表達(dá)式為

一般界面處無自由電荷、電流，由邊值關(guān)系(5)可得：en×E+E()′|z=0=en×E″|z=0，即

其中，振幅矢量E0、E′0和E″0為常量。要使得上式成立，在z=0面，所有場(chǎng)的時(shí)間和空間變化必須相同，因此要求所有的相因子在z=0面必須相等。即

其中，r的x、y坐標(biāo)分量和時(shí)間t都是獨(dú)立變量，因此：

從關(guān)系式(9)可以看出，反射波、折射波和入射波在同一平面內(nèi)，并且它們的頻率也相同。反射角θ′、折射角θ″和入射角θ的關(guān)系也可以由上面關(guān)系式得出

其中，v1和v2表示兩種介質(zhì)的波速，由關(guān)系式(9)、式(10)和式(11)可得

其中，n1和n2代表兩種介質(zhì)的折射率，式(12)就是反射定律和折射定律的一般表達(dá)式。

當(dāng)平面電磁波垂直入射到界面上時(shí)，電場(chǎng)分量E、磁場(chǎng)分量H和波矢k的方向如圖1所示，結(jié)合邊值關(guān)系式(5)可得到

圖1　平面電磁波從介質(zhì)1垂直入射到介質(zhì)2中的示意圖垂直入射時(shí)，不失一般性可選擇電場(chǎng)分量E垂直紙面向里，磁場(chǎng)分量H和波矢k均在紙面內(nèi)，E、H和k兩兩正交

對(duì)于非磁線性介質(zhì)，有關(guān)系式

聯(lián)立式(13)、式(14)可得反射波和折射波電場(chǎng)分量與入射波電場(chǎng)分量的關(guān)系

對(duì)于一般的非鐵磁介質(zhì)有μ≈μ0，結(jié)合折射規(guī)律式(12)，可用折射率表示反射波、折射波與入射波電場(chǎng)分量之間的關(guān)系

線性均勻介質(zhì)中平面電磁波的平均能流密度ˉS表達(dá)式為

由平均能流密度公式(17)和電場(chǎng)分量之間的關(guān)系式(16)就可以得到反射率R和透射率T的表達(dá)式

顯然

這就是能量守恒定律在電磁波傳播中的體現(xiàn)。

由以上推導(dǎo)可以看出，反射和折射規(guī)律是由邊值關(guān)系決定的。

1.2　垂直入射機(jī)械波的反射、透射率

類比前面電磁波的規(guī)律，下面研究單色平面機(jī)械波在界面處的反射和折射現(xiàn)象。電磁波本身是一種物質(zhì)，其傳播不需要介質(zhì);但是機(jī)械波是機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播，不能離開介質(zhì)而傳播。機(jī)械波和介質(zhì)本身的屬性密切關(guān)聯(lián)，例如氣體和液體中只能傳播縱波，而固體中既能傳播橫波又能傳播縱波。對(duì)單色平面電磁波而言，入射波、反射波和折射波均為橫波。其角度關(guān)系、反射率及透射率分析起來均比較簡(jiǎn)單。而對(duì)固體中的機(jī)械波，單一的縱波或橫波在斜入射時(shí)，反射波和折射波中既包含縱波也有橫波。由于橫波和縱波的波速不同，折射波和反射波會(huì)各自分成兩束波，其角度關(guān)系、反射率及透射率分析起來變得很復(fù)雜。為便于和電磁波進(jìn)行對(duì)比，這里只考慮垂直入射的情況，此時(shí)若入射波為平面橫(縱)波，反射波和折射波也為平面橫(縱)波。這時(shí)入射波、反射波和折射波的振動(dòng)波函數(shù)可分別表示為

與電磁波類似，要得到機(jī)械波的反射、折射規(guī)律，首先要找出界面處的邊值關(guān)系。這里選擇位移連續(xù)和能流守恒兩個(gè)條件作為邊界條件[3]

首先考慮式(22)中的第一個(gè)條件，界面處的振動(dòng)位移矢量必須相同，即

其中，振幅矢量L0、L′0和L″0為常量。要使得上式成立，在z=0面，所有波的時(shí)間和空間變化必須相同，因此要求所有的相因子在z=0面必須相等。即

其中，r的x、y坐標(biāo)分量和時(shí)間t都是獨(dú)立變量，可得

從關(guān)系式(26)可以看出，反射波、折射波和入射波的振動(dòng)方向在同一平面內(nèi)，并且振動(dòng)頻率也相同。這和電磁波的結(jié)果是一致的。

然后考慮式(22)中的第二個(gè)條件，能流密度矢量在界面處連續(xù)。固體中的機(jī)械波能流密度矢量為

其中，ρ和v分別為介質(zhì)的密度和波速。液體和氣體沒有切變，相應(yīng)的能流密度矢量是固體的1/2。結(jié)合式(22)、式(26)有

聯(lián)合位移連續(xù)和能流守恒兩個(gè)條件得到的關(guān)系式(25)和式(28)可得反射波和折射波振幅與入射波振幅的關(guān)系

由平均能流密度表達(dá)式

結(jié)合振幅關(guān)系式(29)可得反射率R和透射率T表達(dá)式分別為

反射率：

透射率：

其中，介質(zhì)的密度和波速的乘積ρv可以定義為介質(zhì)的阻抗z：

這樣

反射率：

透射率：

對(duì)比式(18)、式(19)，我們發(fā)現(xiàn)機(jī)械波的反射率和透射率和電磁波有著相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式。顯然反射率和透射率的和也滿足能量守恒，即

1.3　傳輸線上電能的反射透射率

原則上電路問題也可以結(jié)合電路邊界條件和麥克斯韋方程組求解。但是實(shí)際電路的邊界條件一般比較復(fù)雜，場(chǎng)方程的直接求解比較困難。一種簡(jiǎn)單有效的方法是通過電路分析來求解。因此電路問題可作為單獨(dú)的一類問題來處理。

當(dāng)傳輸線的幾何長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于導(dǎo)波的波長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)的導(dǎo)線稱為短線。這樣可認(rèn)為傳輸線上的電流電壓的幅度和相位與空間距離無關(guān)，僅是時(shí)間的函數(shù)。而當(dāng)傳輸線的幾何長(zhǎng)度可以和導(dǎo)波的波長(zhǎng)相比擬時(shí)，傳輸線上的電流電壓不僅隨時(shí)間變化，也隨距離變化，此時(shí)電路的特性往往主要取決于傳輸線上的分布電阻、電感、電容、電導(dǎo)。導(dǎo)波的波長(zhǎng)與頻率成反比，因此對(duì)高頻電路必須要考慮傳輸線行為。

為便于推導(dǎo)和比較，下面只討論均勻傳輸線上的傳輸行為[4]?？紤]一平行雙導(dǎo)線傳輸系統(tǒng)，根據(jù)基爾霍夫電壓、電流定律可得：

其中，u( z，t)和i( z ，t)分別為距離始端z處的瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)電流。R、L、G和C分別為傳輸線單位長(zhǎng)度的電阻、電感、電導(dǎo)和電容。

一般傳輸線上的電壓電流都是時(shí)諧變化的，用復(fù)數(shù)形式表示可以簡(jiǎn)化運(yùn)算

因此復(fù)電壓、復(fù)電流方程可寫為

其中，Z=R+jωL，Y=G+jωC分別為串聯(lián)阻抗和并聯(lián)導(dǎo)納。聯(lián)立方程組(36)可得

其中，γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC)。方 程 通解為

其中，

其中，Z0為導(dǎo)線的特性阻抗;Y0為導(dǎo)線的特性導(dǎo)納。γ為傳播常數(shù)，實(shí)部α代表衰減、虛部β為相移常數(shù)。

令U+=|U+|ejφ+，U-=|U-|ejφ-則電流、電壓可表示為

式(40)和式(41)中，第一項(xiàng)均表示入射波，第二項(xiàng)均表示反射波。

若已知終端電壓Ul和電流Il，并令可定出通解(38)的系數(shù)U+和U-，此時(shí)的特解為

輸入阻抗為

電壓反射系數(shù)為

輸入阻抗Zin()z和電壓反射系數(shù)Γ(z)之間的關(guān)系為

或者

傳輸線任意一點(diǎn)處的平均傳輸功率為

任意點(diǎn)功率反射系數(shù)為

任意點(diǎn)透射系數(shù)為

我們發(fā)現(xiàn)傳輸線上的反射率和透射率式(48)、式(49)和電磁波以及機(jī)械波在界面處的反射率和透射率公式的數(shù)學(xué)形式是完全一樣的。

1.4　一維定態(tài)中波的反射率和透射率

在前面的3小節(jié)中我們討論的都是經(jīng)典物理中波的反射、透射規(guī)律。微觀世界中，物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)需要用量子力學(xué)來描述。在量子力學(xué)中物質(zhì)的狀態(tài)用波函數(shù)描述，波函數(shù)的模方代表物體出現(xiàn)的幾率分布。因此量子力學(xué)中的波(即物質(zhì)波)是幾率幅，與經(jīng)典物理中的波有著本質(zhì)的不同。得到波函數(shù)需要解薛定諤方程，這里我們以一維“階梯”勢(shì)的定態(tài)問題為例來研究量子力學(xué)中波的反射、透射規(guī)率，并與經(jīng)典物理中的波比較[5]。

考慮一維“階梯”勢(shì)場(chǎng)如下

設(shè)一能量為E的粒子自左向右入射到勢(shì)壘。在經(jīng)典力學(xué)中，若粒子的能量E小于勢(shì)壘高度V0，則粒子在邊界處將全部被反射回來;反之，若大于勢(shì)壘高度，則粒子將全部越過勢(shì)壘邊界。在量子力學(xué)中，情況將變得非常不同。

1)當(dāng)E＞V0時(shí)，薛定諤方程為

令

則方程(54)的通解為

其中，入射波、反射波和透射波的系數(shù)分別為A、B、C，它們由邊界條件和歸一化條件決定。由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在邊界處連續(xù)可得：

由此可得到，入射波、反射波及透射波系數(shù)之間的關(guān)系為

由一維幾率流密度表達(dá)式：

可得入射波、反射波和透射波的幾率流密度分別為

其中，負(fù)號(hào)表示反射波方向。因此反射率、透射率分別為

可以看到，當(dāng)E＞V0時(shí)，一維定態(tài)波在勢(shì)壘邊界處的反射率和透射率與經(jīng)典物理中的波有著相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。不同的是雖然粒子的能量大于勢(shì)壘高度，粒子仍有一定的概率被反射回來，這和經(jīng)典物理圖像有著本質(zhì)的不同。

2)當(dāng)E＜V0時(shí)，令

則方程(54)的通解為

由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在邊界處連續(xù)可得

此時(shí)入射波、反射波和透射波的幾率流密度分別為

因此反射率和透射率分別為

反射率的數(shù)學(xué)表達(dá)和經(jīng)典物理仍然有著同樣的形式。不同的是盡管反射率為1，但是在x≥0的區(qū)域找到粒子的概率并不為零，只是概率密度呈指數(shù)衰減。同時(shí)反射波和入射波有一個(gè)相位差。

2　結(jié)語

本文中我們通過邊界條件計(jì)算分析了電磁波、機(jī)械波、傳輸線電波以及量子力學(xué)中的幾率波在界面處的反射及透射規(guī)律。通過計(jì)算比較我們發(fā)現(xiàn)平面電磁波、機(jī)械波垂直入射時(shí)的反射率及透射率公式以及傳輸線上的反射率及透射率公式的數(shù)學(xué)形式是完全一樣的。雖然量子力學(xué)的波與經(jīng)典物理的波的物理圖像有著本質(zhì)不同，但一維定態(tài)中，波的反射率和透射率也有著與經(jīng)典物理中相同的數(shù)學(xué)表達(dá)。這種數(shù)學(xué)形式一致性反映了波動(dòng)規(guī)律的某種內(nèi)在統(tǒng)一性。