摘 要：教材例題編寫體現(xiàn)編者對知識本質(zhì)的認(rèn)識，反應(yīng)編者對學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念路徑的認(rèn)識，通過不同版本教材例題的對比有利于一線教師準(zhǔn)確理解編者意圖；有利于一線教師正確把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵意義；更有利于教師合理安排教學(xué)過程。本文借助10的基數(shù)意義兩版教材例題對比，從基數(shù)意義是什么、怎樣促進(jìn)基數(shù)意義等角度分析，以試圖探索基數(shù)意義教學(xué)的一些共性特點(diǎn)，希望幫助一線教師對數(shù)概念教學(xué)有更清晰的把握。

關(guān)鍵詞：基數(shù)意義；教材對比；理解路徑

對當(dāng)前各個地區(qū)使用的不同版本教材對“10的基數(shù)意義認(rèn)識”的有不同編寫思路，對比解讀不同版本教材對基數(shù)意義內(nèi)容編寫共同特點(diǎn)，不僅有利于一線教師科學(xué)合理把握教材，而且還能從中感受到學(xué)生理解數(shù)概念形成的一般過程，從而指導(dǎo)課堂教學(xué)。

一、 什么是基數(shù)意義？

弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中第164頁指出：基數(shù)或勢就是數(shù)量數(shù)的形式化，康托認(rèn)為基數(shù)意義是所有與它等勢的集合所共有的，等勢就是兩個集合元素之間能一一對應(yīng)。通俗地理解，基數(shù)意義就是關(guān)于“有多少”，而這個問題，必須通過數(shù)已知集合中元素的個數(shù)才能回答。以上的觀點(diǎn)告訴我們基數(shù)意義其實(shí)就是在集合中解決“有多少”的問題，它最終的成果是關(guān)注個數(shù)，不再關(guān)注對象，也就是我們平時理解的“表示幾”。如10的基數(shù)意義就是表示10個元素的集合的類，它并不關(guān)注是10個人，或是10只小鳥，它只關(guān)注元素的個數(shù)是10就可以了。因此，學(xué)生對10的基數(shù)意義理解就是對含有10個元素的一類集合的抽象概括理解。

二、 怎樣促進(jìn)10的基數(shù)意義理解？

（一） 兩版教材都圍繞基數(shù)意義的本質(zhì)特征（有多少）編排例題

康托認(rèn)為基數(shù)意義是所有與它等勢的集合所共有的，等勢就是兩個集合元素之間能一一對應(yīng)。對照基數(shù)意義概念，兩個版本教材例題是怎樣體現(xiàn)概念本質(zhì)的呢？

1. 在例題素材呈現(xiàn)形式上，兩版教材都凸顯在集合中數(shù)數(shù)。北師大版教材采用陰影和方框等方式，人教版采用不同類事物（鴿子和人數(shù)）以及帶陰影的圓圈圖，讓學(xué)生清晰地感受到在集合里數(shù)個數(shù)，體現(xiàn)集合思想。

2. 在橫向材料選擇上，兩版教材都借助多個集合情景數(shù)數(shù)，讓學(xué)生多角度指向集合情境間元素個數(shù)間建立等勢和一一對應(yīng)，從而引導(dǎo)學(xué)生多層次、多角度抽象基數(shù)意義。這樣的安排有利于積累學(xué)生基數(shù)感性經(jīng)驗(yàn)，有利于感受基數(shù)指集合元素個數(shù)的等勢特點(diǎn)。通俗地說，基數(shù)意義它不關(guān)注對象物理屬性，只關(guān)注數(shù)量屬性。它不關(guān)注對象是否具有鉛筆屬性或是圓圈屬性，只要對象是具有10個單位數(shù)量元素的數(shù)字屬性，我們都可以用數(shù)字符號10來表示。兩版教材都通過多個情境，讓學(xué)生感受各個可以用10表示的集合都表示10個元素，體會數(shù)與集合元素間、各集合元素個數(shù)間的一一對應(yīng)關(guān)系，也就是集合等勢的本質(zhì)。北師大教材采用連一連的方式，為學(xué)生對等勢感受打開新的認(rèn)識路徑——為什么不是10個，是9個？從而打開集合元素個數(shù)與10是否一一對應(yīng)（即等勢）的思考與辨析。

3. 從材料抽象程度上看，兩版教材都從帶單位的具體數(shù)量入手抽象到不帶單位的書面符號10，逐層建構(gòu)基數(shù)意義。無論是北師大版數(shù)鉛筆、數(shù)圓圈等活動安排還是人教版數(shù)鴿子、數(shù)人數(shù)等活動預(yù)設(shè)都帶有單位的數(shù)量數(shù)引入，兩版教材都借助尺子、撥珠子、涂圓圈、舉例子等手段促進(jìn)數(shù)和單位的分離，促進(jìn)數(shù)字符號的抽象。

從以上特點(diǎn)我們不難看出，編者認(rèn)為基數(shù)意義教學(xué)本質(zhì)是在多個帶單位的數(shù)量集合情景中讓學(xué)生數(shù)數(shù)，并通過類比，逐漸讓學(xué)生將數(shù)和單位分離，實(shí)現(xiàn)更高層次的符號化的抽象，是一年級基數(shù)意義形成一條有效途徑。

（二） 兩版教材都圍繞學(xué)生理解意義的路徑（多元表征）編排例題

兩版教材都采用數(shù)一數(shù)、涂一涂等多個數(shù)學(xué)活動促進(jìn)學(xué)生理解10的意義，這些活動體現(xiàn)了編者對學(xué)生學(xué)習(xí)10的意義理解路徑的預(yù)設(shè)。

lesh的表征轉(zhuǎn)化說認(rèn)為概念理解可以通過5種不同的表征方式來表征，即現(xiàn)實(shí)情境（實(shí)物）、圖像、操作模型、口頭語言和書面語言。理解就是用不同的表征方式表征數(shù)學(xué)概念，并實(shí)現(xiàn)表征方式相互轉(zhuǎn)化、建立表征之間的聯(lián)系，當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⑿畔囊环N表征轉(zhuǎn)換為另一種表征方式時，理解就產(chǎn)生了。（見鞏子坤教授《程序性知識教與學(xué)》第23頁）筆者結(jié)合表征轉(zhuǎn)化說五種表征方式相互轉(zhuǎn)化的視角，

1. 兩版教材都試圖采用多個表征方式間的互相轉(zhuǎn)化，試圖建立各種表征方式的橫向?qū)?yīng)聯(lián)系，積累基數(shù)意義的感性經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生多個角度歸納基數(shù)意義，從而促進(jìn)學(xué)生的理解。需要特別指出的是兩版教材都突出運(yùn)用現(xiàn)實(shí)情境、圖像和操作表征促進(jìn)基數(shù)意義的理解。這可能是編者基于一年級學(xué)生年齡特點(diǎn)和對學(xué)生數(shù)概念形成的一般路徑判斷來安排學(xué)生活動的。

2. 在安排的先后順序上，兩版教材都從現(xiàn)實(shí)情境入手，借助圖像、操作、語言等表征方式逐步抽象到數(shù)字符號，又根據(jù)數(shù)據(jù)符號尋找現(xiàn)實(shí)生活的例子，這樣編排的思路和表征方式選擇，從具體到抽象又回到具體，讓學(xué)生逐步將客觀事物的數(shù)量內(nèi)化為基數(shù)意義的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而促進(jìn)基數(shù)意義的理解。特別指出兩版教材都采用撥珠子的方式學(xué)習(xí)基數(shù)意義，不但有助于抽象出數(shù)字，更有利于理解10以內(nèi)數(shù)逐一增加的關(guān)系和數(shù)序。

三、 對一線老師數(shù)概念教學(xué)有什么啟示？

（一） 解讀教材要抓住概念本質(zhì)進(jìn)行。從上面的比較可以看出，同樣基數(shù)意義可以采用不同的路徑和例題進(jìn)行教學(xué)，但萬變不離其宗，形式為內(nèi)容服務(wù)，要抓住上位概念進(jìn)行取舍和整合，抓住概念的本質(zhì)屬性選擇教學(xué)材料，根據(jù)抽象程度，合理安排教學(xué)材料呈現(xiàn)順序，幫助學(xué)生逐步形成概念。

（二） 概念教學(xué)可以利用多種表征方式的互相轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生多層次、多角度構(gòu)建意義，豐富概念知識內(nèi)涵和外延，從而促進(jìn)概念的建構(gòu)和理解。

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作者簡介：林文偉，浙江省麗水市，浙江省景寧畬族自治縣第一實(shí)驗(yàn)小學(xué)。