（白山市第二中學(xué) 吉林長(zhǎng)春 134300）

引言

測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)有不同的實(shí)驗(yàn)方法，例如用集成霍爾傳感器、新型焦利稱、氣軌上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)等測(cè)定彈簧的勁度系數(shù)，但是把這些整合在一起作比較的內(nèi)容很少，筆者力圖通過以測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)為例，在胡克定律原理與測(cè)量振動(dòng)周期兩種不同的實(shí)驗(yàn)方法下用逐差法、線性擬合法、最小二乘法三種不同的數(shù)據(jù)處理方法，做橫向與縱向的比較分析，研究在不同的實(shí)驗(yàn)方法下用不同的數(shù)據(jù)處理方法所得到的誤差何時(shí)可以最小。[1]

一、實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法原理

1. 實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法

（1）胡克定律法原理

胡克定律原理：彈簧在發(fā)生形變時(shí)，彈簧的彈力F和彈簧的形變量（伸長(zhǎng)量或壓縮量）△x成正比，即F=-k·△x。其中k是勁度（倔強(qiáng)）系數(shù)。在此實(shí)驗(yàn)中，通過測(cè)量施加給彈簧的負(fù)載重量，以及相應(yīng)的形變量，在多次實(shí)驗(yàn)下測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)。[2]

因F=kx，F(xiàn)=mg其中m為砝碼的質(zhì)量，g為重力加速度。

方法：在鐵架臺(tái)上掛一空彈簧，利用“三線對(duì)齊”（即反光鏡A上的水平刻線、玻璃管B的水平刻線和玻璃管水平刻線在反光鏡C中的像重合）的方式記錄此時(shí)的刻度x，然后每次增加一個(gè)砝碼，記錄一次它的刻度值。每次增加的砝碼的質(zhì)量是一樣的，測(cè)量六次。

實(shí)驗(yàn)中使用的砝碼和彈簧情況如下：砝碼：共5只，空托盤的編號(hào)記為1，其余五次編號(hào)為2、3、4、5、6。

質(zhì)量分別為0、40g、60g、80g、100g、120g。

（2）約利稱法原理

以30個(gè)振動(dòng)周期用秒表計(jì)時(shí)，測(cè)出每個(gè)周期的時(shí)間，用電子天平測(cè)出空托盤的質(zhì)量。

實(shí)驗(yàn)中使用的砝碼和彈簧情況如下:

砝碼：

共5只，空托盤的編號(hào)記為1，其余五次編號(hào)為2、3、4、5、6。質(zhì)量分別為：

20.37 g、40.37g、60.37g、80.37g、100.37g、120.37g

2. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

（1）逐差法原理

由于隨機(jī)誤差具有抵償性，多次測(cè)量求平值可以減少這種誤差，但是，當(dāng)自變量與因變量成線性關(guān)系時(shí)，對(duì)于自變量等間距變化的多次測(cè)量，會(huì)使中間測(cè)量的數(shù)據(jù)由于兩兩抵消，而失去求平均值的意義。為了彌補(bǔ)這種缺憾，可以將測(cè)量得到的數(shù)據(jù)按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的差值，后取平均。[3]

設(shè)已知x，y 為線性關(guān)系: y= bx+a，其中a，b 為待定常數(shù)，測(cè)量n組x、y的值，取偶數(shù)或?qū)⒔M數(shù)據(jù)分成兩半，分別求

（2）線性擬合法原理

線性擬合法應(yīng)用的原理是利用計(jì)算機(jī)中的線性回歸處理離散點(diǎn)，與人工作圖的圖解法原理相同，測(cè)出的n組數(shù)據(jù)，參照數(shù)據(jù)點(diǎn)繪一條擬合直線。使直線盡量的接近數(shù)據(jù)點(diǎn)；分散在直線兩側(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目要相近，兩側(cè)各點(diǎn)距直線的距離之和也近似相近，這樣做的依據(jù)是誤差的抵償性。[4]

（3）最小二乘法原理

一般直線y=a+bx的最小二乘法擬合，判據(jù)是使yi的殘差平方和RSS（residual sum of square）極小，即各測(cè)量點(diǎn)到擬合直線距離平方和最小。從和可以導(dǎo)出a、b的最小二乘估計(jì)值為

又相關(guān)系數(shù)r的估計(jì)值為

相關(guān)系數(shù)r表示各數(shù)據(jù)點(diǎn)靠近擬合直線的程度。r值在-1到+1之間，越接近1，各數(shù)據(jù)點(diǎn)就越接近擬合直線。

以上過程討論的要求是：

二、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理

1.胡克定律實(shí)驗(yàn)方法下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

n 1 2 3 4 5 6 m/g 0 20 40 60 80 100 F/N 0 0.196 0.392 0.588 0.784 0.98 x/cm 7 9.46 11.95 14.43 16.89 19.36△x/m 0 0.0246 0.0495 0.0743 0.0989 0.1236

（1）逐差法處理數(shù)據(jù)

圖書的形態(tài)從長(zhǎng)形式演變成長(zhǎng)形式與網(wǎng)形式的結(jié)合，使傳統(tǒng)的長(zhǎng)形式圖書在保持自身特有優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上又兼具了網(wǎng)形式的功能，延伸了圖書的產(chǎn)業(yè)鏈，圖書的商業(yè)價(jià)值與閱讀價(jià)值均得到了較好體現(xiàn)。

編號(hào)∑?xi∑?Fi /61∑?xi 6 F/6 1∑i 6 1—3 0.0741 0.588 0.2227 1.764 3—6 0.2968 2.352

胡克定律表達(dá)式a=7.8401 b=0.00535

由y=bx+a

F=7.8401?x+0.00535

測(cè)得彈簧的勁度系數(shù)k=7.8401N/m

（2）線性擬合法處理數(shù)據(jù)

編號(hào) 形變量△x/m 彈簧彈力F/N 1 0 0截距 0.000152 2 0.0246 0.196 斜率 7.924199 3 0.0495 0.392 測(cè)定系數(shù) 0.999 4 0.0743 0.588 標(biāo)準(zhǔn)誤差 0.000 5 0.0989 0.784 6 0.1236 0.98 997 717

測(cè)的彈簧的勁度系數(shù)為k=7.9242N/m

（3）最小二乘法處理數(shù)據(jù)

測(cè)的彈簧的勁度系數(shù)為k=7.9224N/m

2.約利稱實(shí)驗(yàn)方法下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

n x=m/kg x=m/g 30T/s T/s y=T*T 1 2 1 0.02037 20.37 12.08 11.96 0.3987 0.159 2 0.04037 40.37 15.22 14.91 0.497 0.247 3 0.06037 60.37 17.88 17.87 0.596 0.3552 4 0.08037 80.37 20.31 20.18 0.675 0.4556 5 0.10037 100.37 22.25 22.18 0.7407 0.5486 6 0.12037 120.37 24.25 24.37 0.8103 0.6566

編號(hào)∑m 2 2 i∑Ti m/6 1∑i 6∑6 1 T/i 6 1—3 0.1211 0.7612 0.18 0.8996 3—6 0.3011 1.6608

彈簧勁度系數(shù)k=7.8992N/m

（2）線性擬合法處理數(shù)據(jù)

編號(hào) 質(zhì)量m/kg 周期的平方T*T 1 0.02037 0.159 截距 0.0525 2 0.04037 0.247 斜率 4.990286 3 0.06037 0.3552 測(cè)定系數(shù) 0.999355 4 0.08037 0.4556 標(biāo)準(zhǔn)誤差 0.005305 5 0.10037 0.5486 6 0.12037 0.6566

彈簧勁度系數(shù)k=7.9110N/m

（3）最小二乘法處理數(shù)據(jù)

彈簧勁度系數(shù)k=7.9110N/m

三、計(jì)算結(jié)果的比較分析

1.相同方法測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，不同數(shù)據(jù)處理方法所得結(jié)果的比較分析

（1）胡克定律法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結(jié)果分析

（2）約利稱法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結(jié)果分析

2.不同方法測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，相同數(shù)據(jù)處理方法所得結(jié)果的比較分析

（1）線性擬合法：胡克定律法與約利稱法所得結(jié)果的比較分析胡克定律和約利稱方法測(cè)量下的到的相關(guān)系數(shù)分別是：

標(biāo)準(zhǔn)偏差分別是：

（2）最小二乘法：胡克定律法與約利稱法所得結(jié)果的比較分析

胡克定律方法測(cè)量下得到的相關(guān)系數(shù)分別是：

y和k的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別是：

結(jié)語

1.在胡克定律法測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，線性擬合法是誤差最小，測(cè)量結(jié)果最接近真實(shí)值的；逐差法的誤差是相對(duì)線性擬合法和最小二乘法誤差較大的一種處理數(shù)據(jù)的方法。在逐差法中，根據(jù)結(jié)果分析，約利稱法比利用胡克定律原理測(cè)量得到的值更準(zhǔn)確。在手寫計(jì)算時(shí)，逐差法是相對(duì)簡(jiǎn)單、快速的方法，但在有計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的時(shí)代，它的優(yōu)點(diǎn)就沒有那么突出.

2.在約利稱的實(shí)驗(yàn)方法下，最小二乘法比線性擬合法更接近真實(shí)值，但相關(guān)系數(shù)相差不大。

3.在1和2結(jié)論的基礎(chǔ)上，并不能說明線性擬合法和最小二乘法哪一種方法更好，還要考慮到實(shí)驗(yàn)用的具體測(cè)量方法，因此在選擇測(cè)量方法時(shí)，要根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)原理，選擇合適的數(shù)據(jù)處理方法，才能盡可能讓誤差最小。在本次研究中，在胡克定律的原理下用線性擬合法誤差較小，在約利稱法的實(shí)驗(yàn)中，用最小二乘法誤差較小。

4.從橫向進(jìn)行比較，即在相同的數(shù)據(jù)處理方法下，利用胡克定律原理下線性擬合的處理方法最為準(zhǔn)確。胡克定律法比約利稱法更接近真實(shí)值。

原因分析：約利稱法測(cè)量過程中，誤差相對(duì)較大。誤差主要體現(xiàn)在秒表測(cè)周期時(shí)的讀數(shù)誤差、彈簧初始位置的不一致以及彈簧作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)與鏡面的摩擦、負(fù)載較大時(shí)上下振動(dòng)時(shí)略偏離豎直方向等造成的。而在利用胡克定律的實(shí)驗(yàn)中，讀數(shù)時(shí)彈簧是靜止的，干擾因素較少，因此相比較而言，誤差較小，勁度系數(shù)更接近真實(shí)值。

5.綜上，最接近彈簧勁度系數(shù)的真實(shí)值的是k=7.9242N/m.

附錄