王建功

（晉能集團大同有限公司，山西大同，037001）

目前，全球定位系統(tǒng)（GPS）在測量領域中有了很成熟的應用，它可以直接精確地測定地面點的三維大地坐標，使得傳統(tǒng)大地測量方法發(fā)生根本性的變革。但由GPS得到的高程數(shù)據(jù)大地高不是我們通常所使用的正常高或海拔高，所以在這些應用中僅解決了平面坐標，在高程方面由于GPS和我國通用的高程基準不同而被舍棄，高程方面仍然多采用常規(guī)的幾何水準測量方法來測定。GPS測量得到的高程是大地高，屬于GPS無約束平差的副產(chǎn)品，而我國用的是正常高系統(tǒng)，因此如何有效地把大地高轉(zhuǎn)換成正常高，是一個非常實際而又有意義的課題。

本文通過闡述GPS擬合常用的方法及其原理、使用MATLAB[1]對實測GPS數(shù)據(jù)和四等水準測量數(shù)據(jù)采用不同方法的擬合及精度分析比較，實現(xiàn)了GPS大地高到正常高的轉(zhuǎn)換。

1 GPS高程擬合原理及方法

GPS系統(tǒng)測量所得到的是以WGS-84橢球面為基準的大地高高程系統(tǒng)，而常規(guī)水準測量所得到的是以似大地水準面為基準的正常高高程系統(tǒng)。高程擬合即將兩種高程系統(tǒng)中的共同點進行轉(zhuǎn)換，得到目標高程系統(tǒng)的高程并加以應用[2]。

GPS高程擬合使用的方法一般為GPS水準法，即將一部分GPS控制點布設到已知正常高的高程控制點上，采用水準聯(lián)測的方法，使部分GPS控制點具有水準高程，求得這些水準重合點的高程異常，之后利用數(shù)學建模的方法對這些點的平面坐標及高程異常[5]擬合出所選測區(qū)的高程異常ξ與點的平面位置（X,Y）的一個函數(shù)關系ξ=?（X,Y）,從而得到測區(qū)的一個近似似大地水準面模型，用來解算其他點的高程異常值。然后利用公式Hr=H–ξ就可以求出未知點的正常高[4]。

主要的GPS高程擬合法包括：繪等值線法、解析內(nèi)插法、曲面擬合法、加權平均值法、基于多項式曲面擬合的加權平均模型、多面函數(shù)法與移動曲面法的加權綜合模型等。

2 擬合精度分析

為了能對GPS高程擬合的質(zhì)量有一個客觀的評定，在布設幾何水準聯(lián)測點時，應當適當?shù)亩嗦?lián)測一些點，其點位也應均勻地布設全網(wǎng)，作為外部檢核點使用來進行檢測。

2.1 內(nèi)外符合精度

根據(jù)參與擬合計算已知點的高程異常ξ與擬合高程異常ξ′,求出擬合殘差V=ξ′-ξ,然后按下式可計算出GPS高程擬合計算的內(nèi)外符合精度(設參與擬合的已知點共有n個):

內(nèi)符合精度由于當所選擇的點正好位于所選擇模型附近時會得到非常高的內(nèi)符合精度，但是這并不意味著這些點具有好的擬合精度，故非常不可靠。而外符合精度可以比較客觀的反映出未知點的高程擬合精度，所以在實際應用中將外符合精度作為真正的評價標準，用來大致代替整個GPS測區(qū)的精度。

由于內(nèi)外符合精度都是從點的統(tǒng)計角度出發(fā)的，所以這是一種相對的精度評價指標，如果如果選擇的參考基準不同則會有不同的評價結果，在實際中還要考慮到GPS水準的閉合差，作為另一項精度評價指標。

2.2 閉合差

用GPS水準法求得的GPS控制點之間的正常高的高程差在已知點間組成符合或者閉合導線，并計算它們之間的的閉合差，計算得到的閉合差與表中的限差做比較，來評定GPS水準測量可以達到的精度。測量規(guī)范中對水準閉合差做了如表1的規(guī)定：

本研究中的水準路線長度為L=4994.7784m，四等水準測量限差為18mm，普通水準測量限差為27mm。

表1 各等級幾何水準測量限差

3 GPS高程擬合外業(yè)數(shù)據(jù)采集、擬合及精度分析

高程擬合試驗需要高精度的大地高和正常高數(shù)據(jù)，所以需要進行相關的外業(yè)數(shù)據(jù)采集工作。采集作業(yè)主要為E級的GPS控制網(wǎng)和四等水準控制測量，數(shù)據(jù)采集場地選擇了地形起伏比較好的同煤集團忻州窯礦附近的丘陵地區(qū)，經(jīng)過實地踏勘，選擇了分布均勻的16個點作為高程重合待測點，另加2個GPS已知點和一個高程已知點進行布網(wǎng)聯(lián)測。

3.1 GPS控制網(wǎng)

根據(jù)需要，本試驗采用了E級GPS控制網(wǎng)，采用了三臺南方靜態(tài)9600型號的單頻GPS接收機，按照點連式測量方案逐點施測，具體操作均參考《GPS工程測量規(guī)范》執(zhí)行，由于測區(qū)面積相對較小，點之間的距離比較近，為了提高GPS高程測量的精度，需要注意以下內(nèi)容：（1）測量時候采用隔點測量的方法進行，盡可能使得測點之間的距離符合測量規(guī)范中點之間的距離不小于200m的規(guī)定。（2）GPS網(wǎng)應通過獨立觀測邊，構成閉合圖形。（3）選點應該視野開闊，便于觀測和聯(lián)測。（4）同步觀測時間和精度有關系，應該盡量長一點，夜晚可以時間短一點，電離層影響較小。

根據(jù)測得的合格的測量數(shù)據(jù)，使用南方GPS解算軟件對數(shù)據(jù)進行解算和平差處理，得到了水準重合點的點位圖及精確大地高，各點的點位圖如圖1。

3.2 四等水準測量

根據(jù)《工程測量規(guī)范》，此次水準測量選用的儀器為DS3微傾式水準儀，紅黑雙面尺一對；施測時將16個待測點與已知點組成閉合水準路線進行導線測量。

圖1 GPS水準重合點點位

3.3 水準重合點高程異常

水準測量和GPS測量都結束并解算分別合格以后，根據(jù)公式ξ=H-Hr可以得到GPS水準重合點的高程異常，具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 水準重合點高程異常

3.4 擬合方案選擇

根據(jù)各種擬合方案的原理，我們可知繪等值線法和解析內(nèi)插法相對精度較低，而曲面擬合法對于趨勢性變化的擬合效果比較好，所以擬合精度較高，同時結合我們所選的實地環(huán)境，本研究選擇了曲面擬合方法中的二次曲面擬合模型、多面函數(shù)擬合模型、加權平均值擬合模型等方法進行研究。

根據(jù)方案的需要和GPS水準重合點的分布，不同的方案需要選擇不同的GPS水準點來進行相關的擬合計算，在選擇點位時由于點數(shù)不多，故只用傳統(tǒng)的人工經(jīng)驗選點法進行擬合計算的選擇。通過分析發(fā)現(xiàn)其中的13號點和4號點距離該區(qū)域中心較遠，與其他點的相關程度較低，故將這兩個點剔除，以取得較好的擬合效果，其余14個點均參與擬合計算。

3.4.1 二次曲面擬合模型[6]

方案中，選擇1、2、3、5、8、9、14、11號點共8個作為已知點進行擬合，其余的6、7、10、15、12、16號點共6個作為檢核點對擬合結果進行檢核。

計算時先用已知點求解出二次曲面擬合系數(shù)，之后用求解出的擬合系數(shù)結合檢核點組成擬合方程并解算檢核點的高程異常，把解出來的高程異常和檢核點實測高程異常進行對比，可以得到該方法的擬合精度。

用MATLAB語言對該方法進行編程擬合，并且計算其擬合精度即擬合殘差，如表3：

表3 二次曲面各點殘差統(tǒng)計

經(jīng)計算，二次曲面函數(shù)法的擬合高差閉合差為25 mm，符合普通水準測量的精度。

3.4.2 多面函數(shù)擬合模型[7]

使用多面函數(shù)擬合模型進行高程擬合時，首先要解決的是核函數(shù)、光滑因子和函數(shù)節(jié)點的選擇。本文選擇了三種方法分別作為多面函數(shù)的核函數(shù)，第一種為正雙模函數(shù)，第二種為錐面函數(shù)，第三種為三次曲面函數(shù)。正雙曲面的光滑因子可以選擇不同的值，其范圍為[0,6000];錐面函數(shù)中的常數(shù)C根據(jù)多次試驗，發(fā)現(xiàn)當C=60000時可以取得相對較高的擬合精度，故C值取C=60000；三次曲面函數(shù)中的常數(shù)C根據(jù)試驗當C=2×107時相對擬合精度最高，故令C=2×107；選點時采用人工選點法，本文選擇其中的8個點作為結點來進行擬合。其余的6個點作為檢核條件進行檢核。

用MATLAB語言對該方法進行編程擬合，并且計算其擬合精度即擬合殘差，見表4。通過對該表的分析發(fā)現(xiàn)多面函數(shù)法中的錐面函數(shù)模型較其它兩者有較高的擬合精度。

表4 多面函數(shù)法擬合殘差統(tǒng)計

經(jīng)過計算和統(tǒng)計，三種方法的高差擬合差分別為：31 mm、22 mm和23 mm，除了正雙曲面不符合外，其余的都符合普通水準測量限差。

3.4.3 加權平均值擬合模型

加權平均擬合模型的關鍵是已知點的選取。本研究中選擇的權函數(shù)為:

其中α可以選擇不同的值1，2，3。式中r為待定點到已知點的水平距離，即為計算點的平面坐標，（xi,yi）為各水準重合點的平面坐標；ε為一個小的正數(shù)，用來防止權函數(shù)的分母為0，ε通常取0.01。

根據(jù)上述權函數(shù)可以求得待定點的高程異常。加權平均值法內(nèi)符合精度為零，只有擬合殘差，所以只能根據(jù)其擬合殘差來評價其擬合精度。

用MATLAB語言對該方法進行編程擬合，并且計算其擬合精度即擬合殘差，見表5。

經(jīng)過計算，當k=1時，擬合的高程閉合差為27 mm，符合普通水準測量規(guī)范。

表5 加權平均值法擬合精度

4 結論

根據(jù)擬合數(shù)據(jù)，在相近的已知條件下，多面函數(shù)模型的擬合精度要略高，適合在起伏較大的山區(qū)和丘陵地區(qū)，但要選擇適合的核函數(shù)。3種模型中，多面函數(shù)法中的錐面函數(shù)法擬合精度最高。在本研究中，通過比較發(fā)現(xiàn)擬合度一般平原地區(qū)較好，山區(qū)稍欠，經(jīng)大量試驗表明，GPS高程擬合完全可以達到等外水準的精度。如果布網(wǎng)合理，聯(lián)測點足夠，可達到IV等水準的要求。

根據(jù)該實驗，為了利用GPS方便的測量出礦山地面沉陷及位移數(shù)據(jù)，可先在礦區(qū)布設一簡單的GPS高程-水準高程擬合網(wǎng)，經(jīng)GPS和水準測量實測擬合后，得到擬合轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，利用多面函數(shù)法中的錐面函數(shù)法即可進行兩種高程數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)快捷方便的獲取礦山地面沉陷及位移數(shù)據(jù)。