周正龍,馬本江,胡鳳英

(中南大學商學院,湖南長沙410083)

1 引 言

早在公元前500年,拍賣就被用于出售各種物品.無論是藝術品還是古董,都會在拍賣會上落槌賣出.現(xiàn)在的許多商品(比如煙草、魚、鮮花、廢金屬等)都可以通過拍賣的方式進行交易,甚至于一些公用事業(yè)的債券也可以通過拍賣出售給投資公司.而在當今時代,不同市場的拍賣機制逐漸被細分,不同領域逐漸形成自己的拍賣版式.例如,在采購市場中,通常采取數(shù)量拍賣(quantity auction)、供應合同拍賣(supply contract auction)進行交易[1,2],在考慮多屬性的情形下,也會采取(或改進)第一評分拍賣(first score auction)、第二評分拍賣(second score auction)進行交易[3,4].因此,在中國P2P(peer-to-peer)網絡借貸市場中,簡單地復制這些拍賣機制并不能有效解決P2P網絡借貸問題,無法使得資源配置達到帕累托最優(yōu)狀態(tài).進一步地,中國P2P網絡借貸市場存在較大的風險,很多貸款人(資金提供者)在進行投資的過程中常常會存在羊群效應、聚集效應和菱鏡效應[5],從而會加大市場風險.在不完全信急背景下,中國P2P網絡借貸市場還可能出現(xiàn)套利交易(即借入后再借出進行投資以獲得利急差)、暗箱操作(即P2P借貸變?yōu)镻2P暗箱投標)等影響交易正常運行的不良行為,這些行為有可能導致市場失靈.所以,有必要對貸款人和借款人(資金需求者)的交易機制進行詳細研究.

目前國外文獻主要集中于信用風險等相關問題的實證研究[6?8].同樣地,國內文獻也主要側重于風險控制、平臺發(fā)展、資產定價等問題的實證研究[9?11],較少涉及P2P網絡借貸交易機制方面的理論研究.僅少數(shù)學者從拍賣的角度說明了競標方式比文字描述更好解決P2P借貸問題,競標方式能夠更好地披露借款人信急,激勵借款人在還款過程中履行借款約定,有良好信譽記錄的借款人能夠獲得更低成本的借款[12].從實際情況來,一些P2P網絡借貸平臺也使用拍賣方式進行交易.例如,Prosper,Funding Circle和Innovestment等都是關注拍賣交易的典型平臺.這些平臺的主要交易模式是貸款人之間自行競拍,通過貸款人拍賣確定借貸利率(2010年之前Prosper一直采用拍賣機制).因此,基于已有P2P借貸拍賣模式和第三方交易平臺的雙邊市場特征[13],提出一種雙邊密封競價的動態(tài)關閉式拍賣機制(簡稱雙邊密封拍賣機制).相對于已有P2P借貸拍賣機制[14,15],這個機制最突出的特點是同時考慮了貸款人和借款人的報價,使得借款人和貸款人在一定程度上把握了借貸的自主權.進一步地,該機制是在密封報價的模式下進行的，有利于規(guī)避貸款人的羊群效應.此外,與中國目前較多采取借款人事前定價的機制相比,這類拍賣機制有利于激化貸款人之間的競爭,激勵貸款人報告自己的真實類型,可以對中國P2P網絡借貸機制的創(chuàng)新提供一定的啟示.

雙邊密封拍賣提供了兩種情形下的模型.第一種情形(基準模型)是基于不完全密封約束得到的,即借款人和貸款人的報價屬于事前密封信急,而貸款人提供的資金數(shù)額(簡稱為配額)是所有貸款人共同知道的信急.第二種情形(拓展模型)是基于完全密封約束得到的,即借款人和貸款人的報價、配額都屬于事前密封信急.此外,對不同模型提供了不同的拍賣策略.當然,由于基準模型中的配額是所有貸款人共同知道的信急,因此貸款人在基準模型的拍賣機制中可以學習或模仿其他貸款人的決策,即貸款人之間可以通過配額推測其相應報價信急,進而會預想到所有貸款人的拍賣策略.所以,在不完全密封的關閉式拍賣中,雖然可以得到所有貸款人的真實報價構成納什均衡解,滿足激勵相容性.但是貸款人之間的羊群行為會增加借貸交易的支付成本[16],因此可以將基準模型進一步拓展到完全密封的情形,以進一步減少羊群行為對P2P網絡借貸交易機制的影響.通過數(shù)值算例的分析也表明,雙邊密封競價的動態(tài)關閉式拍賣從一定程度上可以制約貸款人的決策,有利于改進借款人的支付水平.

2 基準模型:不完全密封拍賣

2.1 拍賣模型及性能分析

在基準模型中,設定貸款人提供的配額是根據其余競爭貸款人的供給自行決定的(即當前配額是其他貸款人所知的),貸款人可以模仿或學習其他貸款人的行為.因此,將基準模型定義為不完全密封拍賣.下面用數(shù)學語言對基準模型加以描述.這里先給出幾個背景假設:1)在整個拍賣的過程中不存在P2P平臺商的監(jiān)管套利問題.2)P2P網絡借貸平臺能夠有效監(jiān)管借貸行為,保證拍賣機制的正常執(zhí)行.現(xiàn)設定借款人的借款需求為D,在任意t時刻的報價為P(t),這個價格對所有參與競標的貸款人是事前密封的,滿足并且設定在第三方平臺事先規(guī)定的范圍內,屬于借貸雙方的共同知識[17].進一步假設n個貸款人L1,L2,...,Ln參與競標,并且在拍賣結束之前競標報價是事前密封的(即所有潛在的貸款人不知道其他貸款人提供的報價信急).同時假設,任意一個貸款人Li參與競標并帶有一個真實的私人利率ri(t),i={1,2,...,n},ri(t)一般等價于貸款人Li最佳外部選擇的利率(0貸款人Li在任意t時刻參與拍賣競標的報價為bi(t),并且提供的配額為ai(t),其中這樣便可以定義,n個貸款人L1,L2,...,Ln在任意t時刻參與拍賣的報價集合和配額集合分別為B(t)={b1(t),b2(t),...,bn(t)}和A(t)={a1(t),a2(t),...,an(t)},滿足t=1,2,...,T.T表示拍賣規(guī)定的時間,T∈N?,N?是正整數(shù)集合.此外,規(guī)定借款人的借款需求D和配額ai(t)都是整數(shù),并且屬于共同知識.這里需要強調的是,雙邊密封競價主要指借款人和貸款人的報價都是事前密封的.

借款人向所有候選的貸款人宣布拍賣規(guī)則:首先,借款人宣布一個借款合同{D,Vi(t)},這個合同包含了借款需求D、借款人的密封報價P(t)以及定價函數(shù)Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))(這里設定定價函數(shù)滿足“小中取大、大中取小”的約束條件,即對bi(t)≤P(t)的貸款人,取最大報價的貸款人為這類貸款人的有效報價;對bi(t)＞P(t)的貸款人,取最小報價的貸款人為這類貸款人的有效報價).隨后,貸款人Li從任意時間點t=1,2,...,T根據借款合同{D,Vi(t)}報出愿意供給的配額和報價,并且第三方平臺按照“小中取大、大中取小”的約束條件來確定拍賣價格Vi(t)和有效借款配額數(shù)此時,如果得到的有效借款數(shù)額那么宣布拍賣結束,并公布借款人和所有中標貸款人的報價信急;否則,任意的貸款人Li進入下一個時間點報出愿意供給的配額和報價;如此重復,直到有效借款數(shù)額時宣布拍賣結束.最后,如果得到的有效借款數(shù)額就以流標方式結束,所有的配額通過第三方平臺退回貸款人,并宣布拍賣結束.

定義1對于滿足上述規(guī)則的任意P2P網絡借貸拍賣,如果同時滿足關閉式拍賣的約束條件,就可以稱為動態(tài)的雙邊密封關閉式拍賣,簡稱雙邊密封拍賣(D-DCA).

宣布這個規(guī)則后,借款人按如下過程執(zhí)行這個拍賣機制:1)借款人設定具體的競拍時間T,并且宣布一個借款合同{D,Vi(t)}至指定的第三方平臺,其中定價函數(shù)Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t)),并且滿足上述“小中取大、大中取小”的約束條件.2)所有貸款人被邀請或自愿參加拍賣.如果在規(guī)定時間內沒有貸款人愿意報出任意的配額ai(t)和報價bi(t),宣布拍賣結束,沒有發(fā)生交易.否則,在拍賣給定定價Vi(t)時,中標貸款人獲得借款人提供的子合同{ai(t),Vi(t)}.3)重復步驟2)直到時間達到T時,如果所有成功競拍的貸款人提供的有效配額就以成功方式宣布拍賣結束,借款人提供給每個中標貸款人相應的子合同{ai(t),Vi(t)},t=1,2,...,T,并附上還款期、還款方式等相關的材料.4)如果在規(guī)定時間內所有成功貸款人的有效配額就以流標方式結束拍賣.

相對于Chen等[14]設計的動態(tài)Prosper拍賣而言,D-DCA機制最主要的突出特征是進一步考慮了借款人的報價,使得借款人在一定程度上把握了借貸的自主權;同時以合同的方式結束拍賣,體現(xiàn)了法律上的保護權益.設計這個機制的動機也是為了降低借款人的支付成本,減少貸款人在拍賣過程中的羊群效應[16].為了驗證這些結果,先給出如下的定義.

定義2給定k=min=2,3,...,T,m=1,2,...,n,滿足b1(s)≤b2(s)≤···≤bm(s)),當i≤k時,貸款人Li在時間點s的配額為ai(s),ak(s)=當i＞k時,貸款人Li在時間點s的配額為0.那么稱Lk為最后一個成功的貸款人,稱Lk+1為最早一個失敗的貸款人.特別地,當s=1時,k=min

進一步地,給定t=1,2,...,T,B(t)={b1(t),b2(t),...,bk(t)},當滿足≤ P(t) 時,定價函數(shù)為Vi(t)=當滿足＞ P(t) 時,定價函數(shù)為Vi(t)=當滿足j個貸款人的報價小于或等于P(t),k?j個貸款人的報價大于P(t)時(1≤j≤k),定價函數(shù)為

得到最后一個成功的貸款人和拍賣定價之后,根據拍賣的執(zhí)行過程給出具體的計算:當t=1時,如果滿足D,那么拍賣繼續(xù)直至下個時間點上不存在多余的供給,此時拍賣的截止時間t=1,且最后一個成功的貸款人Lk的配額為ak(1)=滿足=D;反之,進入下一個時間點t=2.當t=2時,如果滿足=ai(2)≥ D,那么拍賣的截止時間t=2,并且最后一個成功的貸款人Lk的配額為ak(2)=D?滿足=D;反之,進入下一個時間點t=3.如此進行,在規(guī)定時間內,如果存在時間點s=2,3,...,T滿足那么時間點s為拍賣的截止時間,此時得到最后一個成功的貸款人Lk的配額為ak(s)=D?并且滿足=D.反之,如果不能滿足≥D,那么說明在規(guī)定時間內無法使得貸款供給大于等于借款需求,拍賣視為失敗,配額通過第三方平臺退回貸款人,拍賣結束.

得到D-DCA機制之后,需要分析其是否滿足激勵相容性,具體如命題1所示.

命題1對定義1中的任意D-DCA機制,如果存在時間點s=2,3,...,T 滿足k個貸款人成功參與競標,即那么D-DCA機制滿足激勵相容性.(證明見附錄1)

下面,進一步分析激勵相容的D-DCA機制的均衡解,同時考慮貸款人和借款人之間的逆向選擇問題(即考慮借款人違約的概率),分析可能存在的均衡解扭曲問題.這里假設借款人的違約概率與定價函數(shù)存在某種函數(shù)關系,讓δ(Vi(t))表示給定Vi(t)下的違約率,滿足δ′(Vi(t))≥ 0.同時,設定一個貸款人認為提供貸款是有利可圖的條件是當且僅當1+ri(t)≤(1+Vi(t))(1?δ(Vi(t))),可以簡化為ri(t)≤ Vi(t)?(1+Vi(t))δ(Vi(t)).讓 γ(Vi(t))=Vi(t)?(1+Vi(t))δ(Vi(t)),表示貸款的期望回報率.據此,可以通過命題2對D-DCA機制的均衡解加以描述.

命題2對于任意激勵相容的D-DCA機制,如果存在時間點s=2,3,...,T,滿足k個貸款人成功參與競標,即并且滿足提供貸款是有利可圖時,所有成功參與競標的貸款人的真實報價和配額構成納什均衡解.(證明見附錄2)

通過命題2發(fā)現(xiàn),對于任意激勵相容的D-DCA機制而言,如果借貸交易成功,那么所有成功參與競標的貸款人的真實報價和配額構成納什均衡解,并且借款人的違約率會影響整個機制的均衡狀態(tài).事實上,借款人的違約率對貸款人提供貸款的概率產生顯著影響,即當1+ri(s)＞(1+Vi(s))(1?δ(Vi(s)))時,貸款人不會提供貸款(貸款人會事后違約).此時,所有貸款人不參與競標,進而導致市場不存在,因此激勵相容的D-DCA機制也就不存在納什均衡狀態(tài).所以,借款人的違約率會影響整個機制的均衡狀態(tài),并且當借款人的違約率不可觀測時,貸款人的事后違約也會導致拍賣機制失靈.

最終結合命題1和命題2指出,激勵相容的D-DCA機制存在的充分條件是貸款人所提供的貸款是有利可圖的,即滿足1+ri(s)≤(1+Vi(s))(1?δ(Vi(s))).因此,主要從貸款人的角度去設計拍賣機制,從貸款人追求期望收益最大化角度去研究拍賣機制.

2.2 拍賣策略分析

結合以上分析,進一步探討D-DCA機制中有關借款人和貸款人的最優(yōu)拍賣策略.根據定價函數(shù)Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))中的激勵或懲罰系數(shù)λ來確定不同情形下的拍賣策略.

情形1當λ=0時,借款人和所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略均以的報價參與拍賣,并且獲得最優(yōu)定價為滿足

當λ=0時,Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))=bi(t),說明競價策略完全取決于所有貸款人的報價.所以對于所有理性的貸款人而言,選擇以的報價參與拍賣無疑是最優(yōu)的.這是因為,當λ=0時,對于所有小于等于借款人報價P(t)的貸款人而言,最終定價為對于所有大于借款人報價P(t)的貸款人而言,最終定價為滿足因此取時,貸款人獲得局部最優(yōu)的報價,這樣就可以進一步得到最終的定價為進一步地,借款人在設定λ=0時也已經預想到所有成功貸款人的拍賣策略是以的報價參與拍賣,所以借款人的最佳響應策略也將是以的報價參與拍賣,這樣可以有效規(guī)避期望損失.此外,值得關注的是,λ=0情形下的策略類似于Prosper動態(tài)拍賣機制的競價策略,即由貸款人競價決定最終的交易利率.由此可見,當λ被0替代,被0替代(對于i=j+1,j+2,...,k,bi(t)＞P(t))時,Prosper動態(tài)拍賣機制是D-DCA機制的一個特例.

情形2當λ=1時,所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報價參與拍賣,并且這個報價是借款人提供的,所以最優(yōu)定價為

當λ=1時,Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))=P(t),說明這時候的競價策略取決于借款人的報價P(t),與貸款人的報價無關.進一步地,按照式(1)的解釋意義不難得到,不管所有貸款人的報價是小于等于借款人報價還是大于借款人報價,拍賣的最終定價為P(t),滿足此時,λ=1情形下的策略等價于拍拍貸撮合機制的競價策略,即借款人給定一個借款需求D,并提供一個的最小值,隨后通過平臺發(fā)布信急;所有潛在的貸款人以報價參與競標,并且不再提供任何報價;最后如果競拍成功,借款人以借款利率或報價提供相應的支付.進一步得到,拍拍貸撮合機制也是DCA機制的一個特例,即λ被1替代.

情形3當0＜λ＜1時,所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報價參與拍賣,借款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報價參與拍賣,并且獲得最優(yōu)定價為

根據式(1)得到,0＜λ＜1情形下的競價策略主要取決于借款人和貸款人報價組合{P(t),bi(t)},并且滿足進一步地,當借款人和貸款人報價組合{P(t),bi(t)}取任意數(shù)值時,不難得到,由此可見,對于理性的貸款人而言,選擇一個大于借款人報價的策略無疑是占優(yōu)的,但是具體的策略也需要依賴于借款人的報價,所以在無法確定借款人報價的前提下,貸款人選擇是局部最優(yōu)的.因為Vi(t)=是一個增函數(shù),因此取時,貸款人獲得局部最優(yōu)的定價.這樣就可以得到最終定價為進一步地,借款人在設定0＜λ＜1時也已經預想到所有成功貸款人的拍賣策略是以的報價參與拍賣,所以借款人的最佳響應策略也是以的報價參與拍賣,因為關于報價P(t)是一個增函數(shù),因此取時,借款人能獲得局部最優(yōu)的定價.

情形4當λ＞1時,借款人和所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報價參與拍賣,并且獲得最優(yōu)定價為

同理,根據式(1)得到λ＞1情形下的競價策略主要取決于借款人和貸款人報價組合{P(t),bi(t)},并且滿足但是當{P(t),bi(t)}取任意值時,容易得到

由此可見,對于理性的貸款人而言,選擇一個小于或等于借款人報價的策略無疑是占優(yōu)的,但是具體的策略也需要依賴于借款人的報價,所以在無法確定借款人相關報價信急的前提下,貸款人選擇是局部最優(yōu)的.這是因為是一個減函數(shù),因此取時,貸款人獲得局部最優(yōu)的報價.這樣就可以進一步得到最終的定價為進一步地,借款人在設定λ＞1時也已經預想到所有成功貸款人的拍賣策略是以的報價參與拍賣,所以借款人的最佳響應策略也是以的報價參與拍賣,因為關于報價P(t)是一個增函數(shù),因此取時,借款人能獲得局部最優(yōu)的定價.

結合情形1至情形4的分析,有如下結論.

結論1在不完全密封情形下,任意成功貸款人能通過最優(yōu)拍賣策略實現(xiàn)收益最大化.其中,當λ=0時,借款人和所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略均以的報價參與拍賣,滿足當 λ =1 時,所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以借款人的報價參與拍賣;當0＜λ＜1時,所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報價參與拍賣,借款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報價參與拍賣;當λ＞1時,借款人和所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報價參與拍賣.

值得注意的是,結論1屬于完美定價狀態(tài).在實際的運行過程中,借款人可能會結合借款需求的緊迫性等適當抬高報價,以增加密封報價的隨機性;同時,犧牲部分收益以獲得密封報價隨機性的行為也有利于保持D-DCA機制的雙邊叫價特征,有利于保持貸款人之間的相對獨立性,而不至于產生借貸雙方的套利交易行為.除此之外,在實際運行過程中,也會存在非理性的貸款人成功參與D-DCA機制,并且非理性貸款人在D-DCA機制中可以模仿其他貸款人的決策(羊群效應).所以,可以將基準模型進一步拓展到完全密封的情形,以減少羊群效應對P2P網絡借貸拍賣機制的影響.

3 拓展模型:完全密封拍賣

3.1 拍賣模型及性能分析

在拓展模型中,給定每個貸款人提供的配額不構成其他貸款人的共同知識,無法學習或模仿其他貸款人的行為決策.這種完全密封的關閉式拍賣類似于不完全信急下的密封拍賣模式,只是P2P網絡借貸交易機制中的拍賣模式屬于關閉式拍賣,因此不能直接采用不完全信急下的密封拍賣模式,但是不完全信急下的密封拍賣也說明了這種拍賣對于借款人是最優(yōu)的.

為了區(qū)別于不完全密封競價情形,這里做如下幾點假設:1)借款人的借款需求D帶有一個保留利率R.保留利率R可以理解為,借款需求D在實際經營過程中預期得到的邊際收益率,它表明一個投資項目的收益應按何種比例增長才能達到預期的收益,因此,它也代表了借款人通過借款需求D進行投資而獲得的邊際利潤率;2)在拍賣結束之前,貸款人的競標報價和配額都是事前密封的.這里可以將貸款人的報價和配額組合為φi(t)=(bi(t),ai(t)),并以?i(t)參與拍賣.這樣便得到n個貸款人L1,L2,...,Ln在任意t時刻的投標集合為Φ(t)={φ1(t),φ2(t),...,φn(t)},其中t=1,2,...,T;3)完全密封情形的拍賣規(guī)則類似于不完全密封情形,只是將定價函數(shù)設為Vi(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t)).

所以,相對于基準模型而言,拓展模型最主要的突出特征是進一步考慮了貸款人相關配額的密封性,使得貸款人在投資決策過程中無法推測其他貸款人的投標信急,保證借貸雙方真實披露各自的私人信急.對比基準模型發(fā)現(xiàn),拓展模型的定價函數(shù)由Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))變?yōu)閂i(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t)).所以,先給出拓展模型的相關定義.

定義3對于滿足定義1的任意P2P網絡借貸拍賣機制,如果能夠將Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))變換為Vi(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t)),就可以被稱為雙邊完全密封拍賣(簡稱CD-DCA).

定義4給定= 2,3,...,T,m= 1,2,...,n,滿足 φ1(s)≤ φ2(s)≤ ···≤ φm(s),當 i≤ k時,貸款人 Li在時間點 s的配額為 ai(s),ak(s)=D ?當i＞k時,貸款人Li在時間點s的配額為0.那么稱Lk為最后一個成功的貸款人,稱Lk+1為最早一個失敗的貸款人.特別地,當s=1時,k=min

進一步地,給定 t=1,2,...,T,Φ(t)={φ1(t),φ2(t),...,φk(t)},當成立時,定價函數(shù)為當滿足時,定價函數(shù)為當滿足j個貸款人的報價小于或等于P(t),k?j個貸款人的報價大于P(t)時(1≤j≤k),定價函數(shù)為

得到拓展模型的定價函數(shù)和分配規(guī)則之后,給出拍賣的執(zhí)行過程:在規(guī)定時間內,如果存在時間點s=2,3,...,T滿足≥D,那么時間點s為拍賣的截止時間,這時得到最后一個成功的貸款人Lk的配額為ak(s)=D?并且滿足=D.反之,如果不能滿足D,那么說明在規(guī)定時間內無法使得貸款供給大于等于借款需求,拍賣視為失敗,配額通過第三方平臺退回貸款人,拍賣結束.

對拓展模型的激勵相容性,有下列結論.

命題3對定義3中的任意CD-DCA機制,如果存在時間點s=2,3,...,T滿足k個貸款人成功參與競標,即那么所有貸款人的真實競標構成納什均衡解,并且滿足激勵相容特征.(證明見附錄3)

命題3同樣說明了,在貸款人成功參與拍賣時,任意的CD-DCA機制是滿足激勵相容特征的,并且所有成功貸款人的真實競標構成納什均衡解.進一步地,在考慮借款人違約率的情形下,可以得到與命題2一致的結果,即只要滿足貸款人提供貸款是有利可圖的,那么CD-DCA機制也是激勵相容的(這里不再單獨展開證明過程),同時說明了借款人的違約率會影響整個機制的均衡狀態(tài).反之,當貸款人提供貸款不是有利可圖的,貸款人不會提供貸款(貸款人會事后違約),那么CD-DCA機制會失靈.所以,從借款人違約的角度考慮,命題3的結論與命題2相似,即激勵相容的CD-DCA機制存在的充分條件是貸款人所提供的貸款是有利可圖的.差異性在于,命題3是基于完全密封的狀態(tài)下進行的,不存在貸款人的模仿和學習策略.

3.2 拍賣策略分析

為了進一步探討CD-DCA機制的拍賣策略,假設組合(bi(t),ai(t))具有相同的分布函數(shù)F和密度函數(shù)f.其中F(·|ai(t))和f(·|ai(t))分別表示為貸款人在配額為ai(t)時的條件分布函數(shù)和密度函數(shù).

因此,令

同時對于所有的ai(t),φi(t)關于bi(t)是非減的,對于所有的bi(t),φi(t)關于ai(t)是非增的[18,19].下面根據定價函數(shù)Vi(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t))中的激勵或懲罰系數(shù)λ來確定不同情形下的拍賣策略.

情形5當λ=0時,任意成功貸款人的最優(yōu)策略為并且滿足此時的最終定價為

當λ=0時,Vi(t)= φi(t)+λ(P(t)?φi(t))= φi(t),說明這時候的競標策略完全取決于貸款人Li的競標組合φi(t)=(bi(t),ai(t)).設ui(φi(t))=ai(t)(Vi(t)?ri(t))表示貸款人Li的利潤函數(shù)(為了簡化,這里不考慮違約率的影響).所以對于理性的貸款人Li而言,ui(φi(t))=ai(t)(Vi(t)?ri(t))=ai(t)(bi(t)+?(t))?ai(t)ri(t),此時結合不難得到ui(bi(t),ai(t))的最大值.不妨假設是 ui(φi(t))取最大值的點,這樣就可以得到 λ =0 情形下貸款人Li的最優(yōu)競標策略是所以,在任意t時刻,任意成功貸款人的最優(yōu)策略為這也說明了,λ=0情形下的所有貸款人無法推測其他貸款人的拍賣策略,所以貸款人的最佳響應策略是最大化ui(φi(t)),這樣可以從一定程度上規(guī)避貸款人之間的羊群效應.最終得到定價為

情形6當λ=1時,任意成功貸款人的最優(yōu)策略是以的競標參與拍賣,但是這個競標是借款人提供的,所以最優(yōu)定價為

當λ=1時,Vi(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t))=P(t),說明此時的競標策略取決于借款人的報價P(t),與貸款人的競標組合無關.

一方面,ui(φi(t))=ai(t)(Vi(t)?ri(t))=ai(t)P(t)?ai(t)ri(t),又因為所以ui(φi(t))=ai(t)P(t)?ai(t)ri(t)≥0,此時貸款人也無法推測其他貸款人的拍賣策略,其最佳響應策略是最大化自己的配額,即耗盡自己的預算配額或提供自己的真實配額.

情形7當0＜λ＜1時,任意成功貸款人的次優(yōu)策略是以的報價參與拍賣,借款人的次優(yōu)策略是以的報價參與拍賣,并且獲得最優(yōu)定價為

當0＜λ＜1時,任意貸款人的競標策略主要取決于借款人和貸款人報價組合{P(t),φi},滿足

情形8當λ＞1時,借款人和任意成功貸款人的次優(yōu)策略是以的報價參與拍賣,并且獲得最終的定價為

當λ＞1時,同樣給出,任意貸款人的競標策略主要取決于借款人和貸款人報價組合{P(t),φi},滿足

因為 ui(φi(t))=ai(t)(1? λ)(bi(t)+?(t))+ai(t)(λP(t)?ri(t)),0＜ai(t)≤D,此時無法確定借款人報價信急,因此不能根據約束條件得到ui(bi(t),ai(t))的最大值.貸款人只能結合函數(shù)φi(t)關于bi(t)的非減性質取時,貸款人實現(xiàn)次優(yōu)策略.即任意成功貸款人的次優(yōu)策略是以的報價參與拍賣.

結合情形5至情形8的分析,有如下結論.

結論2在完全密封的情形下,任意成功貸款人能通過相應拍賣實現(xiàn)最優(yōu)或次優(yōu)策略.其中,當λ=0時,任意成功貸款人能通過實現(xiàn)最優(yōu)策略;而當λ＞ 0時,任意成功貸款人只能通過的報價或者通過的報價參與拍賣,實現(xiàn)次優(yōu)策略,說明λ＞0情形下的拍賣機制使得貸款人的策略向下扭曲,小于最優(yōu)水平值.

結論2主要說明了完全密封競標情形的拍賣策略在λ＞0情形下被扭曲,使得貸款人無法直接獲得最大化的收益或利潤,同時也驗證了這種拍賣機制可以從一定程度上制約貸款人的決策,有利于降低借款人的成本.進一步地,λ=0或者λ＞0情形下的拍賣機制能保證所有貸款人無法推測到其他貸款人的拍賣策略,所以,貸款人的最佳響應策略是最大化自己收益或者局部優(yōu)化自己的收益,而不是依靠其他貸款人的競標信急.因此,這樣的機制可以從一定程度上規(guī)避貸款人之間的羊群效應,使得所有貸款人能盡量根據自己的實際情況做真實的決策.

4 算例分析與比較

下面通過數(shù)值算例說明所設計拍賣機制的執(zhí)行過程.由于篇幅有限,僅僅考慮D-DCA機制的拍賣策略和支付情況:假設借款人設定具體的競拍時間為T=6 d,并且在t0=1 d內宣布一個借款合同{500,Vi(t)}至指定P2P網絡借貸平臺,其中Vi(t)=bi(t)+0.5(P(t)?bi(t)),定價函數(shù)滿足“小中取大、大中取小”的約束條件.進一步設定,借款人的借款需求為D=500元,借款人提供的密封報價保持不變,即P(1)=P(2)= ···=P(T)=0.1,并且滿足P(t)∈[0.05,0.15].隨后,借款人邀請具有閑置資金的所有貸款人進入指定P2P平臺參加這個D-DCA拍賣;并且在任意時間段內的n個貸款人提供各自的配額ai(t)和報價bi(t).進一步地,在整個拍賣結束時獲得所有成功參與的貸款人數(shù)為6人,分別為L1,L2,...,L6,對應的拍賣策略如表1所示,L6為最后一個成功的貸款人,并且不考慮借款人違約情況.按照式(1)可以計算出所有中標貸款人的定價函數(shù),具體如表2所示.

表1 所有成功貸款人的投標組合Table 1 All successful lenders’bid combinations

表2 λ=0.5情形下的定價函數(shù)Table 2 The pricing function in the case of λ=0.5

對比不同機制的結果得到,算例中的D-DCA機制的拍賣策略(λ=0.5)優(yōu)于Prosper的拍賣機制(λ=1),弱于拍拍貸的撮合機制(λ=0),因為D-DCA機制的支付水平介于拍拍貸的撮合機制和Prosper的拍賣機制之間(Y(P(t),ai(t))≤Y(Vi(t),ai(t))≤Y(bi(t),ai(t))),其中拍拍貸的撮合機制相當于λ=0情形下的D-DCA機制,Prosper的拍賣機制相當于λ=1情形下的D-DCA機制,這也說明了D-DCA機制的支付水平是隨著λ的變化而變化的(站在借款人的角度去比較不同情形之間差異性).

特別地,當0≤λ≤1時,D-DCA機制的支付水平是隨著λ的增大而增大的.為了進一步研究D-DCA機制的支付水平在λ＞1情形下的變化情況,假設定價函數(shù)Vi(t)=bi(t)+2(P(t)?bi(t)),并滿足“小中取大、大中取小”的約束條件.同樣按照公式(1)得到所有貸款人的定價函數(shù),具體如表3所示.

表3 λ=2情形下的定價函數(shù)Table 3 The pricing function in the case of λ=2

結合表1和表2得到,借款人給貸款人L1的總支付給貸款人L2的總支付Y2(V2(t),a2(t))=8.255,給貸款人L3的總支付Y3(V3(t),a3(t))=6.12,給貸款人L4的總支付Y4(V4(t),a4(t))=10.895,給L5的總支付Y5(V5(t),a5(t))=10.075,給貸款人L6的總支付Y6(V6(t),a6(t))=9.415.進一步將所有貸款人的支付加總就可以得到借款需要支付的所有費用.當然,這里的支付費用不包括貸款人的本金,所以借款需要支付的所有費用等價于借款總共需要支付的利急.于是得到Y(Vi(t),ai(t))=52.59.此時,如果按照拍拍貸的撮合機制,即按照借款人的統(tǒng)一報價P(1)=P(2)=···=P(T)=0.1,同樣可以給出借款需要支付的所有利急為Y(P(t),ai(t))=DP(t)=50.如果按照Prosper的拍賣機制,即按照貸款人各自的報價參與拍賣,同樣可以給出借款需要支付的所有利急為Y(bi(t),ai(t))=bi(t)ai(t)=57.56.

結合表1和表3得到,借款人給貸款人L1的總支付

給貸款人L2的總支付=7.865,給貸款人L3的總支付=6.66,給貸款人L4的總支付=8.42,給L5的總支付=8.35,給貸款人L6的總支付=7.57.進一步將所有貸款人的支付加總就可以得到借款需要支付的所有費用.于是得到=46.305.這說明,算例中的D-DCA機制的拍賣策略(λ=2)優(yōu)于拍拍貸的撮合機制(λ=0)和Prosper的拍賣機制(λ=1),因為此時的支付水平明顯小于拍拍貸撮合機制和Prosper拍賣機制的支付水平所以,當λ＞1時,D-DCA機制的支付水平是隨著λ的增大而減小的.

5 結束語

目前中國很多P2P網絡借貸平臺只考慮借款人的報價,使得這類拍賣機制無法獲知貸款人行為信急,并且在實際運行中容易失靈或增加借款人的支付成本.因此設計了一種雙邊密封競價的動態(tài)關閉式拍賣(簡稱雙邊密封拍賣),并提供了兩種不同情形下的模型.其中,第一種模型(基準模型)是基于不完全密封約束下得到的,即借款人和貸款人的報價是密封的信急,而貸款配額是所有貸款人共同知道的信急.第二種模型(拓展模型)是基于完全密封約束下得到的,即借款人和貸款人的報價、配額都是密封的信急.通過算例分析也表明,雙邊密封拍賣機制的支付水平隨著激勵系數(shù)(或懲罰系數(shù))的變化而變化.特別地,在激勵系數(shù)(或懲罰系數(shù))不斷增大的過程中，貸款人的拍賣策略會不斷向下扭曲,使得貸款人無法實現(xiàn)收益最大化.因此,雙邊密封拍賣可以從一定程度上制約貸款人的決策,有利于降低借款人的支付成本.

最后指出,相關理論設計與分析是在有效監(jiān)管背景下進行的,沒有充分考慮貸款人的逆向選擇、道德風險等問題,在實際應用中可能存在一定的局限性,后續(xù)將進一步放寬假設.同時考慮到這類拍賣機制在實際中尚未得到應用,無法收集相關數(shù)據進行實證分析,后續(xù)將進行實驗,分析貸款人和借款人的投標策略、借款緊迫性等變量對該拍賣機制的影響.