杜韌， 馮偉娜， 劉昭， 劉宏偉， 畢珊珊

（北華航天工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河北廊坊065000）

0 引言

凸輪機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單而且緊湊，能傳遞較大功率以及任意傳動比的傳動，同時它還具備了控制、傳動、引導(dǎo)等各項(xiàng)功能，可以實(shí)現(xiàn)各種各樣期望的議案，已廣泛在各種機(jī)械自動控制的廣泛應(yīng)用中使用[1]。所以，對于凸輪機(jī)構(gòu)的深入研究，特別是對高速高精度凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、制造等各個方面的進(jìn)一步研究是一項(xiàng)十分重要的工作。

凸輪機(jī)構(gòu)是一個具有曲線輪廓或向內(nèi)凹的曲線槽的常用的構(gòu)件，大多數(shù)情況下作為主動件，按外形可分為盤形凸輪、圓柱形凸輪和移動凸輪等。通常情況下從動件與凸輪作點(diǎn)或線接觸，其中滾子推桿與凸輪做滾動摩擦，使得兩者之間因?yàn)槟Σ炼艿降膿p失都非常小，且工作時產(chǎn)生的噪聲也很小，因此可用于動力傳遞較大的結(jié)構(gòu)，有其他形式從動件所沒有的特點(diǎn)，應(yīng)用十分廣泛[2]。凸輪一般情況下作等速的回轉(zhuǎn)運(yùn)動或者是簡單的往復(fù)直線運(yùn)動。由于凸輪的輪廓曲線可以決定從動件的運(yùn)動規(guī)律，故繪制凸輪輪廓曲線具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

現(xiàn)在關(guān)于凸輪輪廓曲線設(shè)計(jì)一般分為兩種：一種是傳統(tǒng)的圖解法，一種是解析法。其中傳統(tǒng)的用作圖方法來繪制凸輪輪廓曲線有很大的弊端，不僅工作量很大，而且精確度不高。通過人工處理，把這些通過試驗(yàn)測得數(shù)據(jù)描繪成曲線，往往會出現(xiàn)很大的差錯，并且不同的人產(chǎn)生的誤差也有所不同，特別是對于一些精確度高的試驗(yàn)，更不

基金項(xiàng)目：河北省研究生創(chuàng)新資助項(xiàng)目（CXZZSS2017173）;北華航天工業(yè)學(xué)院科研創(chuàng)新項(xiàng)目（YKY201502，YKY201616）能采用傳統(tǒng)的人工處理方法，否則就會嚴(yán)重影響數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度以及圖形的精度。解析法可以精確計(jì)算輪廓線上各點(diǎn)的坐標(biāo)，誤差比較小。當(dāng)從動件運(yùn)動比較復(fù)雜，工作量大時，用MATLAB軟件可以很容易進(jìn)行凸輪輪廓曲線的解析法設(shè)計(jì)[3-15]。

本次設(shè)計(jì)選擇的是擺動從動盤形凸輪機(jī)構(gòu)，利用MATLAB強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理、繪圖功能對凸輪的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真，首先運(yùn)用公式計(jì)算出凸輪理論輪廓線上和實(shí)際輪廓線各點(diǎn)的坐標(biāo)[16-17]，然后在MATLAB中通過繪圖指令plot可以完成直角坐標(biāo)系下凸輪輪廓曲線以及對推桿的位移s、速度v及加速度a曲線的繪制，且相比傳統(tǒng)的圖解法，精確度更高，擬合更好。

1 總體設(shè)計(jì)方案

1.1 推桿的運(yùn)動規(guī)律

通常情況下，要完成凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)任務(wù)，推桿的運(yùn)動規(guī)律和凸輪的相關(guān)尺寸是根據(jù)所給定的條件以及凸輪機(jī)構(gòu)的類型來決定的，然后根據(jù)所決定的推桿的運(yùn)動規(guī)律通過一系列的計(jì)算，設(shè)計(jì)出凸輪應(yīng)有的理論輪廓曲線以及實(shí)際輪廓曲線。所以說選擇合適的推桿的運(yùn)動規(guī)律至關(guān)重要，這不僅關(guān)系到接下來研究的難易，還關(guān)系到凸輪機(jī)構(gòu)的工作質(zhì)量。

通常來說，推桿的運(yùn)動規(guī)律，就是推桿的位移s與時間t，速度v與時間t和加速度a與時間t之間的變化規(guī)律。擺動從動件盤形凸輪經(jīng)常情況下為等速運(yùn)動，推桿的運(yùn)動規(guī)律可以用推桿的運(yùn)動隨凸輪轉(zhuǎn)角δ變化而變化來表示。其中余弦加速度運(yùn)動規(guī)律的加速度曲線在開始的時候運(yùn)動有急劇的增加或者急劇的減小，在結(jié)束時也會發(fā)生這樣的狀況，所以也會有柔性的沖擊，這種運(yùn)動規(guī)律的凸輪結(jié)構(gòu)只適用于中速凸輪機(jī)構(gòu)。如果從動件在整個運(yùn)動過程中不會停止時，加速度的曲線是連續(xù)不斷的，因而就不會發(fā)生沖擊現(xiàn)象，這種情況下就適用于高速凸輪機(jī)構(gòu)中，具體公式如下。

推程時從動件的運(yùn)動方程為:

1.2 凸輪輪廓曲線的設(shè)計(jì)

根據(jù)設(shè)計(jì)要求選定了凸輪結(jié)構(gòu)的型式，以及設(shè)計(jì)要求中的基本尺寸，計(jì)算所得的推桿的運(yùn)動規(guī)律及計(jì)算出的凸輪的轉(zhuǎn)向后，接下來就該進(jìn)行凸輪輪廓曲線的設(shè)計(jì)了。

凸輪輪廓曲線設(shè)計(jì)所依據(jù)的基本原理是反轉(zhuǎn)法原理（圖1）。反轉(zhuǎn)法原理：根據(jù)相對運(yùn)動原理，假設(shè)整個凸輪機(jī)構(gòu)繞凸輪軸心施以角速度－ω時，這種情況下各個部件的相對位置發(fā)生改變，但是相對運(yùn)動不變，這樣一來，凸輪可以看作靜止的，而從動件接觸點(diǎn)復(fù)合運(yùn)動的軌跡就是凸輪的理論輪廓曲線。

具體輪廓曲線的方程會在下面數(shù)學(xué)模型中列出。

圖1 凸輪反轉(zhuǎn)法示意圖

2 凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)流程和數(shù)學(xué)模型

2.1 凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)流程

1）輸入凸輪結(jié)構(gòu)的參數(shù)，如從動件滾子半徑、盤形凸輪的基圓半徑、擺動從動件的長度、凸輪推程運(yùn)動角、從動件最大位移、遠(yuǎn)休止角和回程運(yùn)動角等；2）計(jì)算擺動從動件凸輪機(jī)構(gòu)的最大壓力角和在理論輪廓上最小曲率半徑使其不超過規(guī)定的許用值（否則會發(fā)生失真現(xiàn)象）；3）計(jì)算凸輪的理論輪廓的坐標(biāo)；4）計(jì)算凸輪的實(shí)際輪廓坐標(biāo)值；5）繪制凸輪輪廓圖形。

圖2 擺動從動件盤形凸輪機(jī)構(gòu)

2.2 建立數(shù)學(xué)模型

建立關(guān)于擺動從動件盤形凸輪機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，如圖2所示。

理論廓線方程為：

式中：a為中心距；l為長度；δ為凸輪的轉(zhuǎn)角；φ為盤形凸輪的角位移；φ0為推桿的初始位置角，其值為

盤形凸輪實(shí)際輪廓的對應(yīng)點(diǎn)（x′,y′）的方程為：

其中，rr為滾子半徑。

凸輪理論輪廓上的機(jī)構(gòu)壓力角

式中：e是盤形凸輪的偏距；s是推桿產(chǎn)生相對的位移。

凸輪理論輪廓曲線上的曲率半徑為

凸輪輪廓直角坐標(biāo)的一階導(dǎo)函數(shù):

二階導(dǎo)函數(shù)：

因此，利用解析法來求出凸輪輪廓,需要從動件運(yùn)動規(guī)律相對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，對應(yīng)地求導(dǎo)其一階導(dǎo)函數(shù)ds/dδ和二階導(dǎo)函數(shù)d2s/dδ2,然后將這些導(dǎo)函數(shù)代入到式（1）~式（7）中進(jìn)行計(jì)算。從余弦加速度運(yùn)動規(guī)律上可以看出，回程位移與推程位移之間有一定關(guān)系，計(jì)算回程時的從動件運(yùn)動規(guī)律中凸輪轉(zhuǎn)角取值范圍為δ=0~δo′;計(jì)算凸輪的理論輪廓直角坐標(biāo)及其導(dǎo)函數(shù)公式中的sinδ、cosδ的凸輪角取值范圍是：

3 用MATLAB軟件進(jìn)行仿真

3.1 主要使用的功能函數(shù)和命令

在MATLAB軟件平臺進(jìn)行凸輪輪廓設(shè)計(jì),主要使用的功能函數(shù)和命令是:1）for-end循環(huán)。以凸輪轉(zhuǎn)角δ作為循環(huán)控制變量，實(shí)現(xiàn)對凸輪某個運(yùn)動角或整周區(qū)域的輪廓計(jì)算。為加快運(yùn)行速度，可在循環(huán)結(jié)構(gòu)執(zhí)行之前建立全零數(shù)組命令zeros(n)預(yù)先定義數(shù)組的大小。2）if-else-if條件語句。檢查凸輪轉(zhuǎn)角δ滿足的區(qū)域（推程運(yùn)動角，回程運(yùn)動角或休止角范圍）條件；或在凸輪某個運(yùn)動角區(qū)域的傳力性能參數(shù)（如壓力角）或結(jié)構(gòu)參數(shù)（如輪廓曲率半徑）數(shù)組中滿足極值的條件，然后執(zhí)行相應(yīng)的運(yùn)算。若需要在滿足一定條件時打破循環(huán)時，可使用break命令。

關(guān)于凸輪輪廓圖形處理程序編制是有以下幾點(diǎn)需要注意:1）為了將理論輪廓、實(shí)際輪廓、基圓等多種線圖在同一個圖上顯示出來，應(yīng)該采用了hold on命令；2）使用了axis equal命令，這樣就不會再發(fā)生讓圖形窗口中因?yàn)椋▁，y）坐標(biāo)軸的不同的比例而造成圖形失真這一現(xiàn)象；3）使用text和 title標(biāo)注圖形和圖題;利用plot命令中，用不同的顏色，不同線型參數(shù)來描繪同一個坐標(biāo)軸上不同的線圖，使圖形表示更加詳細(xì)，更容易讓人看懂，不會造成混淆；4）使用legend根據(jù)曲線屬性添加圖例說明，便于區(qū)分各個曲線的具體含義和內(nèi)容。

3.2 滾子從動件各階段MATLAB程序編制

根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB中函數(shù)編輯后計(jì)算出來，求出所需設(shè)計(jì)的凸輪的理論，實(shí)際輪廓曲線，并且利用plot函數(shù)進(jìn)行制圖，把從動件運(yùn)動時的加速度a、速度v、位移s利用己有函數(shù)畫出來，并進(jìn)行盤型凸輪與滾子從動件之間運(yùn)動學(xué)仿真。

4 M文件以及運(yùn)行結(jié)果

4.1 M文件

編寫M文件來求出凸輪的輪廓曲線，基圓半徑，推桿的運(yùn)動規(guī)律。其中所需要的數(shù)據(jù)有：擺桿轉(zhuǎn)軸到凸輪軸心的距離a=160 mm；擺桿長度l=100 mm；滾子半徑rT=10 mm；推程運(yùn)動角φ=120°；回程運(yùn)動角φ′=150°；遠(yuǎn)停程角φs=30°；擺桿最大角位移30°；初始位置角φ0=15°。等角速度ω逆時針方向轉(zhuǎn)動，余弦加速度運(yùn)動規(guī)律。M文件具體如下：

4.2 MATLAB仿真運(yùn)行結(jié)果

由MATLAB編輯的M文件可以得到擺動從動件盤形凸輪機(jī)構(gòu)的基圓、理論輪廓曲線和實(shí)際輪廓曲線，以及推桿的位移曲線、速度曲線和加速度曲線，具體如圖3~圖6所示。由圖3可以清楚地看出凸輪機(jī)構(gòu)的理論輪廓線、工作輪廓線、基圓半徑，由圖4~圖6，我們能直觀地看出凸輪從動件的運(yùn)動規(guī)律。

圖3 擺動從動件盤形凸輪的理論輪廓曲線和實(shí)際輪廓曲線

圖4 從動件位移曲線

圖5 從動件的速度曲線

圖6 從動件的加速度曲線

5 結(jié)語

本文利 用MATLAB軟件對擺動從動件盤形凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動進(jìn)行了分析，此軟件可簡捷、方便、直觀地反映出從動件的速度與時間的關(guān)系、位移與時間的關(guān)系以及加速度與時間的關(guān)系，應(yīng)用MATLAB軟件可以很直觀看出凸輪機(jī)構(gòu)的輪廓曲線，對研究凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動具有很大的現(xiàn)實(shí)意義。