朱春雷

【摘要】數(shù)學(xué)抽象，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程?；跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動基本路徑是把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，形成和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。抽象的方法一般有對應(yīng)方法和內(nèi)涵方法。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生習(xí)得的綜合素養(yǎng)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)，因此我們在關(guān)注數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的同時，也要密切關(guān)注其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，達(dá)到整體考慮、重點(diǎn)突出，全面發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象 核心素養(yǎng) 基本路徑 過程方法

會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)。此終極目標(biāo)與人的行為有關(guān)，是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)要求。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)的一般性特征，從而形成數(shù)學(xué)眼光；邏輯推理反映了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性特征，從而形成數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)模型反映了數(shù)學(xué)的廣泛性特征，從而形成數(shù)學(xué)語言。本文以數(shù)學(xué)抽象為例，探討在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，如何讓學(xué)生初步經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的概述

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理解要從概念內(nèi)涵、學(xué)科價值、學(xué)生表現(xiàn)等方面來進(jìn)行。從概念內(nèi)涵來理解數(shù)學(xué)抽象，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。從學(xué)科價值角度來理解數(shù)學(xué)抽象，是指數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)。通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中初步抽象出數(shù)學(xué)概念、方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考和解決問題，把握事物的本質(zhì)；從學(xué)生表現(xiàn)方面來理解數(shù)學(xué)抽象，是指積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習(xí)慣。

數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)不僅是一種關(guān)鍵能力，更是一種思維品質(zhì)，是人的行為表現(xiàn)。數(shù)學(xué)抽象具體功效是獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)主要是指數(shù)感、符號意識、幾何直觀、空間想象等的發(fā)展培養(yǎng)，當(dāng)然還有應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識等超越數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)的發(fā)展。

二、遵循智力發(fā)展的規(guī)律探討數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的教學(xué)

布魯納認(rèn)為，教學(xué)說到底是一種幫助或促進(jìn)人的成長的努力。人類的智力發(fā)展始終會沿著按動作性表象、映象性表象、象征性表象等三種表象系統(tǒng)的順序前進(jìn)的。動作性表象是借助于動作；映象性表象是依靠視覺或其他感覺組織和各種概括化映象的作用；象征性表象是通過文字或語言形成的表象，其特點(diǎn)是具有符號的性質(zhì)。成長的過程發(fā)端于我們自己注意了自己的活動痕跡，并且在成人或教師的幫助下對我們已經(jīng)做過的事情和看到的東西用一種新的形式重新編碼，而后利用重新編碼產(chǎn)生的新的結(jié)果來繼續(xù)組織新的結(jié)構(gòu)模式。布魯納三種表象系統(tǒng)順序說，是從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展角度表明數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的過程，這為我們探討基于培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的教學(xué)提供了理論依據(jù)。教育的過程的核心在于為受教育者提供幫助和對話的機(jī)會，以便他把具體經(jīng)驗轉(zhuǎn)譯為更加有力的標(biāo)志系統(tǒng)和更有次序的體系。

那么如何進(jìn)行基于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的教學(xué)呢？基于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的教學(xué)就是要求在教學(xué)活動中關(guān)注數(shù)學(xué)抽象。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是為了引發(fā)學(xué)生思考，數(shù)學(xué)教學(xué)活動的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考。那么如何啟發(fā)學(xué)生思考？學(xué)生獨(dú)立思考的落腳點(diǎn)又是什么呢？通過對這些問題的分析，我們認(rèn)識到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是知識，不能靠講解讓學(xué)生理解，而是要創(chuàng)設(shè)情境、通過教學(xué)內(nèi)容讓學(xué)生感悟。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是借助學(xué)生參與其中的教學(xué)活動，通過思考，獲取知識和技能，逐步形成素養(yǎng)。也就是說核心素養(yǎng)是通過學(xué)生的獨(dú)立思考和相互交流得到的，是感悟的結(jié)果，是經(jīng)驗的積累。

三、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)教學(xué)的基本路徑

設(shè)計基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動基本路徑是把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，形成和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過學(xué)生參與其中的活動引發(fā)思考，就能發(fā)展數(shù)學(xué)思維。啟發(fā)思考必須創(chuàng)設(shè)合適的情境和提出合適的問題，創(chuàng)設(shè)情境和提出問題的基礎(chǔ)是把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

1.把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，理解抽象的基礎(chǔ)，掌握抽象的方法

現(xiàn)在以“數(shù)的認(rèn)識”為例來分析說明如何實現(xiàn)基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)。義務(wù)教育階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程知識技能與數(shù)學(xué)思考方面的總目標(biāo)是：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能；建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維?！币罁?jù)上述目標(biāo)，教材從學(xué)生不同年齡特點(diǎn)和學(xué)習(xí)序列考慮，以知識點(diǎn)的方式分散安排了相關(guān)內(nèi)容。這就造成了傳統(tǒng)上的教師以知識點(diǎn)來設(shè)計教學(xué)，這不利于核心素養(yǎng)的形成?；跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)就必須要改變課程設(shè)置的方式和教師教學(xué)設(shè)計的方式，教學(xué)設(shè)計要由知識點(diǎn)拓展到知識“團(tuán)”，從而在整體上把握知識的主線。數(shù)的認(rèn)識過去注重知識點(diǎn)，教材中依次安排了10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、20以內(nèi)數(shù)的加法減法、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識及加法減法、萬以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識、萬的認(rèn)識、大數(shù)的認(rèn)識等。從整體上把握知識的主線要求教師首先要弄清楚下面幾個問題：數(shù)是什么？數(shù)的本質(zhì)是什么？表示數(shù)的關(guān)鍵是什么？如何認(rèn)識數(shù)的加法減法？這個主線認(rèn)識清楚了，再抓住幾個重要的邏輯性強(qiáng)的知識點(diǎn)來設(shè)計教學(xué)，教學(xué)實施就順利了。這樣依據(jù)知識的本質(zhì)，抓住知識的主線，就可以設(shè)計出合適的教學(xué)情境，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在情境中掌握知識技能，同時發(fā)展核心素養(yǎng)。

遵循數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，抽象的過程和方法怎么把握呢？我們還以“數(shù)的認(rèn)識”為例來分析理解。數(shù)是數(shù)學(xué)研究的對象，是通過數(shù)學(xué)抽象得到的。數(shù)學(xué)抽象的功能是得到數(shù)學(xué)的研究對象，并且把這些對象予以表達(dá)，這樣就把教學(xué)活動與學(xué)科核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來。通過數(shù)學(xué)抽象得到了數(shù)的概念以及概念之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)就是對數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的抽象。數(shù)是對數(shù)量的抽象，然后用符號予以表達(dá)，本質(zhì)上數(shù)是一種符號的表達(dá)。數(shù)學(xué)研究對象本身的存在性并不重要，重要的是它們之間的關(guān)系。數(shù)的關(guān)系的本質(zhì)來源于數(shù)量，我們從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系中一并抽象出數(shù)和數(shù)之間關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少，抽象得到的數(shù)的本質(zhì)是大與小。通過抽象使得數(shù)產(chǎn)生了，并能用符號表達(dá)，同時它的關(guān)系多和少也產(chǎn)生了。

抽象的方法一般有對應(yīng)方法和內(nèi)涵方法。低年級教學(xué)一般用對應(yīng)方法抽象出數(shù)學(xué)研究的對象，如“3和4的認(rèn)識”，教材上有3個小朋友和4棵樹，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會抽象出3個小朋友對應(yīng)著“□□□”，4棵樹對應(yīng)著“□□□□”，讓學(xué)生慢慢感悟，具體的事物轉(zhuǎn)換成了映象性表象和象征性表象。這里要注意保持對應(yīng)物“□”不變，對應(yīng)得到幾個“□”，3個小朋友對應(yīng)3個“□”，4棵樹對應(yīng)4個“□”。3和4是舍去原來數(shù)量的后綴名詞，本質(zhì)上去掉物理屬性，同時舍去事物的背景，因此通過抽象得到了數(shù)學(xué)的一般性。高年級除了對應(yīng)的方法外，通常要用內(nèi)涵方法抽象出對象的意義和內(nèi)涵。如認(rèn)識自然數(shù)是把自然數(shù)看作是一個個多起來的，2從1出發(fā)，2比1多1，2就是1加1；3比2多1，3就是2加1；4比3多1，就是3加1……這里一個個多起來的數(shù)叫作后繼數(shù)，可以用后繼的方法得到自然數(shù)。教科書上認(rèn)識10000時，說10個一千是10000。我們在教學(xué)時，還必須要把10000看作比9999多1，而不是10個一千，因為這時學(xué)生還沒有學(xué)10×1000。10000本質(zhì)上就是比9999多1的那個數(shù)。

2.創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，經(jīng)歷抽象的過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思維，思維源于問題，問題扎根于情境。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中教師需要做的就是依據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考，經(jīng)歷抽象的過程，發(fā)展學(xué)生思維。依據(jù)背景和內(nèi)容，情境一般可以分為生活情境，數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等三種情境。這三種情境對應(yīng)著三個層次，熟悉的、關(guān)聯(lián)的和綜合的情境。因此我們可以提出相應(yīng)的三類問題：簡單的、較為復(fù)雜的、復(fù)雜的問題。我們也可以把學(xué)生的認(rèn)知和思維大致分為三個水平背景：第一水平的背景是熟悉的情境、簡單的問題；第二水平的背景是關(guān)聯(lián)的情境、較為復(fù)雜的問題；第三水平的背景是綜合的情境、復(fù)雜的問題?，F(xiàn)在以“線段的初步認(rèn)識”教學(xué)為例，體會基于數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的情境，在數(shù)學(xué)思考中逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。線段是比較抽象的幾何概念，而低年級學(xué)生的年齡小，抽象思維水平還比較低，這就構(gòu)成了學(xué)生思維水平與抽象數(shù)學(xué)概念之間的矛盾，也是學(xué)生認(rèn)識和理解線段概念的困難所在。但教育的意義不在于跟隨學(xué)生思維水平的發(fā)展，而在于指導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展。即如維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論所言：“教學(xué)要走在發(fā)展的前面?！睘榇?，教學(xué)中在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識線段時，特別要設(shè)計好合適的情境，注重用直觀的方式來說明線段的特征，從生活情境到數(shù)學(xué)情境，循序漸進(jìn)地促使學(xué)生獲得豐富而正確的表象，初步形成線段的概念。過程如下：

第一層次，借助實物，比較感知。讓每個學(xué)生都準(zhǔn)備一根較細(xì)棉線，先把它隨意地放在桌上，再用手捏住它的兩端，并把它拉直，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察和比較這根棉線拉直前后的樣子，說說各有什么特點(diǎn)，突出拉直后棉線就直。在此基礎(chǔ)上，指出：“把線拉直，兩手之間的一段可以看成線段?！苯處煱褍墒帜蟮眠h(yuǎn)一點(diǎn)，問哪一段可以看成線段，再捏遠(yuǎn)一點(diǎn)呢。讓學(xué)生體會，隨著教師的兩手捏得越來越遠(yuǎn)，線段就越來越長，兩手捏得越來越近，線段就越來越短。通過這樣的操作活動，學(xué)生會初步感受到線段的本質(zhì)特征：線段是直的，線段是有端點(diǎn)的，線段的長度是有限的。

第二層次，抽象圖形，鞏固特征。根據(jù)上面教學(xué)情境順勢提出：“那在數(shù)學(xué)上用什么樣的圖形來表示線段呢？”教師把線拉直貼在黑板上，兩端用磁鐵固定。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：“這直直的一段，我們用一條直直的線來表示。”教師用粉筆依棉線長度畫出直直的部分。剛才兩手捏的地方，就是線段的兩端，我們把它們叫端點(diǎn)，分別用兩個小圓點(diǎn)或小短豎來表示，同時告訴學(xué)生這樣的圖形就是線段。并讓學(xué)生說出線段有幾個端點(diǎn)。接著問：“那能不能豎著畫一條線段？”師豎著畫一條線段?！靶敝梢援媶幔俊睅熒粗@三條線段總結(jié)得出線段的特征：線段是直的，有兩個端點(diǎn)，還有一定的長度。這樣利用直觀提示本質(zhì)的同時，學(xué)生就初步建立了線段的表象。

第三層次，回到實物，操作體會。引導(dǎo)學(xué)生指一指直尺、課本等物體的邊，告訴學(xué)生：“直尺、課本面上的每條邊都可以看成線段?！痹僮寣W(xué)生說一說，還有哪些物體的邊也可以看成線段。交流后，要求學(xué)生把一張紙折一折，觀察得到的折痕，說說這樣的折痕是否也可以看成一條線段；再要求學(xué)生分別折出一條比它長的和比它短的折痕，使學(xué)生在操作中體會到線段是有長有短的，從而進(jìn)一步完善對線段的認(rèn)識。

第四層次，學(xué)畫線段，體會表達(dá)。本層次主要是教學(xué)生用直尺畫線段，教師可以先示范，并說明畫線段的基本方法和步驟，再讓學(xué)生模仿著畫一畫，畫完要交流畫線段的方法和注意點(diǎn)。在鞏固練習(xí)中，針對用直尺把下面兩點(diǎn)連成一條線段的練習(xí)，拓展認(rèn)識在兩點(diǎn)間只能畫一條線段；針對給出三點(diǎn)和給出四點(diǎn)（均不在同一直線上）要求學(xué)生在每兩點(diǎn)間畫一條線段，要讓學(xué)生充分理解“每兩點(diǎn)之間畫一條線段”的意思，并在實際練習(xí)中無遺漏地畫出所有線段。在此基礎(chǔ)上，可以初步學(xué)會給每一條線段命名，體會用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)。

四、基于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，整體考慮核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生習(xí)得的綜合素養(yǎng)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)，因此我們在關(guān)注數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的同時，也要密切關(guān)注其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，達(dá)到整體考慮、重點(diǎn)突出，以全面發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。如在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感時，學(xué)生通過了解數(shù)字和數(shù)字運(yùn)算，就可以針對數(shù)字模式和數(shù)字聯(lián)系的邏輯思維進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。如果基于計算的觀察活動能引導(dǎo)他們預(yù)測結(jié)果并爭論所使用的方法，那么這種預(yù)測和爭論正是激發(fā)思維力量的動力。如當(dāng)我們對奇數(shù)相加時，會發(fā)現(xiàn)其結(jié)果是某一個數(shù)的平方：

1+3=2×2

1+3+5=3×3

1+3+5+7=4×4

1+3+5+7+9=5×5

分析這一數(shù)字模式，教師可以先讓學(xué)生在不需要計算的情況下，預(yù)測前10個奇數(shù)的和，或者前100個奇數(shù)的和，然后向?qū)W生們提問為什么會存在這一數(shù)字關(guān)系等問題。這類問題會引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)字的魔幻世界，在那里他們會不斷地發(fā)現(xiàn)富于邏輯性的解釋，這難道不是提升學(xué)生邏輯思維能力所必需的嗎？這樣的情境下，學(xué)生還會不斷地探索到激動人心的數(shù)字事實，這為他們超越數(shù)學(xué)的純功利性應(yīng)用目標(biāo)提供可能，也正是創(chuàng)新意識等超越數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)的發(fā)展。