◎杜凌峰
數(shù)學(xué)具有高度抽象性,嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性三個基本特點,由于數(shù)學(xué)的高度抽象性,往往掩蓋了來源于客觀現(xiàn)實的物質(zhì)性,就誤認(rèn)為數(shù)學(xué)是少數(shù)天才數(shù)學(xué)家憑空臆造出來的,數(shù)學(xué)本質(zhì)是客觀世界抽象表示,所以數(shù)學(xué)公式定理等是發(fā)現(xiàn)不是發(fā)明創(chuàng)造,只有用簡潔數(shù)學(xué)符號來表述才是發(fā)明創(chuàng)造,因而在數(shù)學(xué)中盡可能結(jié)合實際而非空談,脫離實際的數(shù)學(xué)教學(xué)越講越玄,會步入唯心主義陷阱不能自拔。比如二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,適當(dāng)選取坐標(biāo)(賦予系數(shù)特定值)它實際是現(xiàn)實生活點、線和圓、橢圓、雙曲線、拋物線等幾何形態(tài)運動規(guī)律體現(xiàn),再比如歐拉將現(xiàn)實生活中的“七橋問題”抽象演化成“一筆畫”問題,進(jìn)而發(fā)展成為一門學(xué)科《拓補學(xué)》。
矛盾的對立統(tǒng)一規(guī)律是辯證法基本規(guī)律,也是辯證法的核心,數(shù)學(xué)中已經(jīng)與未知,特殊與一般,精確與近似,曲與直等都是對立統(tǒng)一的,數(shù)學(xué)中應(yīng)用對立統(tǒng)一觀點,矛盾轉(zhuǎn)化觀點去分析解決問題,既能滲透唯物主義觀點,又能使學(xué)生掌握處理數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思想和技能。
代入a2+b2-c2=ab可得(a-b)2=0,即a=b,故三角形為正三角形。最大值。
分析:x,y,z取值無窮,但使之取最大值的 x,y,z是唯一確定,必須滿足x+y+z=1,故只有當(dāng)又比如x,y,z∈R+且 x+y+z=1,求時最大,即可構(gòu)造均值不等式
再比如 sin3α+cos3α=1,求 sinα+cosα。
分析:直接從已知求解運算頗繁,降次比升次難“正難則反”不就簡單了,故可設(shè)
sin3α+cos2α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=1中得
k2-3k+2=0?(k-1)2+(k+2)=0?k=1或 -2(舍去)
故 sinα+cosα=1
宇宙中一切事物都是運動變化的,教學(xué)中可運用矛盾轉(zhuǎn)化觀點視動為靜,局部固定某些變量的達(dá)到減無之目的,還可以“動靜互異”使條件與結(jié)論聯(lián)系變得更為明顯,達(dá)到化難為易目的。
如,已知 a,b,c∈ (-1,1),求證:abc+2>a+b+c
固定 b,c視為常量,而把 a初為變量,記為 f(a)=(bc-1)·a+(2-b-c),a∈ (-1,1),現(xiàn)只要利用一次函數(shù)性質(zhì)證明 f(a)>0,即可
∵ b,c∈ (-1,1),∴ bc∈ (-1,1),即 bc-1<0,故當(dāng)a∈ (-1,1)時 f(a)為遞減函數(shù),要使f(a)>0,只須f(a)min>0,即f(1)>0,而f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)>0顯然成立,故原不等式得證。
分析:A,B是橢圓上兩動點,設(shè)弦AB中點為M,其橫坐標(biāo)屬于橢圓方程中x的取值集(-a,a),“動”中窺“定”,運用點差法可知kAB·kOM為定值,于是設(shè)法找到x0與M橫坐標(biāo)的聯(lián)系即行。
證明:設(shè)AB中點M,AB垂直平分線l:y=k(x-x0)………①
“一切客觀事物都有著相互聯(lián)系,相互制約的關(guān)系”數(shù)學(xué)研究客觀事物空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),它的內(nèi)容也必然反映這個關(guān)系。比如,函數(shù)與圖象,曲線與方程等都具有相互制約相互聯(lián)系的關(guān)系,再比如解題方法之換元法更是代數(shù)與三角,幾何間靈活轉(zhuǎn)化之典范。
分析:x,y,z∈ R+可視為線段長,三根式被開方式與余弦定理形同,故可視為三個三角形中受一定條件約束三線段長,為相互制約六條線段統(tǒng)一于一體,構(gòu)造一個三面角 S—MNR,使 SA=x,SB=y,SC=z,使各面角均為60°
而在ΔABC中,AB+BC>AC,故不等式成立
綜上可見,中學(xué)數(shù)學(xué)本身蘊含著豐富的對立統(tǒng)一,量變質(zhì)變,運動變化,相互聯(lián)系和相互制約等唯物因素,在教學(xué)中,如果注意挖掘這些因素,自覺地用唯物辯證法觀點闡述教學(xué)內(nèi)容,就能更深刻地揭示數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系,這樣既有利于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識,提高辯證思維能力,又有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點,為逐漸形成科學(xué)世界觀打下基礎(chǔ)。