劉云濤

(杭州電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引言

粒子濾波是一種基于蒙特卡羅思想的非線性非高斯?fàn)顟B(tài)估計(jì)濾波方法[1]，在故障診斷、目標(biāo)跟蹤等相關(guān)領(lǐng)域取得了一定的應(yīng)用效果。段琢華等人[2]提出一種基于粒子濾波器的移動(dòng)機(jī)器人傳感器故障診斷方法，并驗(yàn)證了該方法可以有效識別移動(dòng)機(jī)器人一種或多種故障。程建等人[3]將粒子濾波理論應(yīng)用于紅外目標(biāo)跟蹤，在粒子濾波理論框架下，紅外目標(biāo)的狀態(tài)后驗(yàn)概率分布用加權(quán)隨機(jī)樣本集表示,通過隨機(jī)樣本的Bayesian迭代進(jìn)化實(shí)現(xiàn)紅外目標(biāo)的跟蹤。然而隨著迭代次數(shù)的增加，粒子重要性權(quán)重的方差越來越大，使得粒子的權(quán)重集中到很少數(shù)粒子上，其他粒子的重要性權(quán)值將會(huì)很小，這就是粒子退化現(xiàn)象。DOUCET A等人[4]已從理論上證明了粒子退化現(xiàn)象出現(xiàn)的必然性。粒子退化問題將會(huì)嚴(yán)重影響粒子濾波精度。

針對粒子濾波存在的粒子退化問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。張琪等人[5]提出一種基于權(quán)值選擇的粒子濾波算法.按照粒子權(quán)值的大小選擇較好的粒子用于濾波,以增加樣本的多樣性,從而緩解粒子濾波的退化問題。夏飛等人[6]在重采樣階段采用了一種權(quán)值排序、優(yōu)勝劣汰的重采樣算法,對各粒子的歸一化權(quán)值按從小到大的順序排列，并根據(jù)權(quán)值方差大小淘汰粒子,從而得到了改進(jìn)的粒子濾波算法,在一定程度上解決了標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波的退化問題。但是上述兩種方法仍然是基于傳統(tǒng)采樣的框架，未能徹底解決粒子退化的問題。

蝴蝶算法(Butterfly Algorithm，BA)是由ARORA S和SINGH S[7]提出的一種基于蝴蝶覓食行為的全局優(yōu)化算法。通過仿真指出該算法優(yōu)于其他自然啟發(fā)式算法，相較于其他算法具有更高的收斂精度和更快的收斂速度。受此算法特點(diǎn)啟發(fā)，本文引入蝴蝶算法優(yōu)化粒子濾波采樣過程，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證蝴蝶優(yōu)化粒子濾波算法能夠改善基本粒子算法存在的濾波粒子退化問題。

1 粒子濾波算法

粒子濾波是一種基于蒙特卡羅思想的貝葉斯估計(jì)方法[8]。假設(shè)有非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:

(1)

其中，f(·)和h(·)分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程。xt為系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)變量，zt為系統(tǒng)在t時(shí)刻的觀測值，wt和vt為相互獨(dú)立的噪聲，分別為系統(tǒng)的過程噪聲和觀測噪聲，ut為系統(tǒng)在t時(shí)刻的輸入量。

濾波就是計(jì)算后驗(yàn)濾波概率密度p(xt|z1:t)，已知p(xt|z1:t)是p(x0:t|z1:t)的邊沿概率密度。假設(shè)t-1時(shí)刻濾波概率密度p(xt-1|z1:t-1)已知,系統(tǒng)狀態(tài)xt服從一階馬爾可夫過程且系統(tǒng)觀測zt獨(dú)立。通過下式

(2)

得出包含t-1時(shí)刻觀測值的t時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)先驗(yàn)概率密度p(xt|z1:t-1):

(3)

式(3)即為預(yù)測過程，其中，p(xt|xt-1)是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度。利用t時(shí)刻的觀測值zt，通過更新修正p(xt|z1:t-1)，得到t時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度p(xt|z1:t)，由貝葉斯定理可得狀態(tài)更新方程:

(4)

其中

(5)

然而，對于非線性非高斯系統(tǒng)而言，在過程中式(3)和式(4)消去中間參量和其他位置參量的計(jì)算卻很困難，很難得到完整的解析式來表達(dá)這樣的概率密度函數(shù)。因此，粒子濾波采用序貫蒙特卡羅采樣方法，從后驗(yàn)概率密度p(xt|z1:t)采樣大量的隨機(jī)樣本點(diǎn)來近似待估計(jì)的分布，這些隨機(jī)樣本點(diǎn)稱為粒子。用大量的粒子來近似整個(gè)后驗(yàn)分布，當(dāng)粒子數(shù)量足夠多時(shí)，后驗(yàn)分布能被準(zhǔn)確近似，是一種全局近似最優(yōu)濾波。假設(shè)從后驗(yàn)概率密度p(xt|z1:t)采樣得到N個(gè)粒子，則后驗(yàn)概率密度可以通過下式近似表示：

(6)

但是在實(shí)際中卻很難從函數(shù)p(xt|z1:t)中采樣?？梢韵葟囊粋€(gè)事先已知且容易采樣的參考分布q(xt|z1:t)中采樣，通過在q(xt|z1:t)中采樣x粒子進(jìn)行加權(quán)來近似計(jì)算p(xt|z1:t)。當(dāng)選取重要概率密度為

q(xt|xt-1,z1:t)=p(xt,xt-1|zt)

(7)

時(shí)，重要性權(quán)重方差最小，此時(shí)為最優(yōu)重要性概率密度。權(quán)值計(jì)算方程為:

(8)

q(xt|xt-1,z1:t)=p(xt|xt-1)

(9)

式子化簡為

(10)

將重要性權(quán)重歸一化，即

(11)

而后驗(yàn)概率密度可以表示為：

(12)

式中，重要性權(quán)值如式(11)所示。當(dāng)N→∞時(shí)，由大數(shù)定理可知，式(12)逼近于真實(shí)后驗(yàn)概率p(xt|z1:t)。

2 蝴蝶優(yōu)化粒子濾波

2.1 蝴蝶算法

蝴蝶算法是一種自然啟發(fā)式全局尋優(yōu)算法，其主要思想類似于蝴蝶群覓食行為，每一只蝴蝶都會(huì)散發(fā)一定強(qiáng)度的香味，同時(shí)每只蝴蝶都會(huì)感受到周圍其它蝴蝶的香味，并朝著那些散發(fā)更多香味的蝴蝶移動(dòng)。蝴蝶的香味取決于三個(gè)因素：感知形態(tài)、刺激強(qiáng)度以及冪指數(shù)。用方程表示為

F=cIa

(13)

其中，F(xiàn)表示香味濃度大小，c為感知形態(tài)，I為刺激強(qiáng)度，a為冪指數(shù)。

已知目標(biāo)函數(shù)f(x)，蝴蝶算法的基本步驟如下：

(1)初始化具有n只蝴蝶的蝴蝶種群，由目標(biāo)函數(shù)f(xi)決定每一只蝴蝶xi的刺激強(qiáng)度Ii。

(2)計(jì)算蝴蝶種群中每一只蝴蝶的適應(yīng)值，并找到位置最優(yōu)的蝴蝶。

(3)計(jì)算蝴蝶散發(fā)的香味。由于外界環(huán)境的干擾，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)p用于決定蝴蝶是進(jìn)行局部搜索還是全局搜索。

(4)若進(jìn)行全局搜索，蝴蝶飛向全局適應(yīng)度最高的蝴蝶，全局搜索可以表示為

(14)

(5)若進(jìn)行局部搜索，蝴蝶進(jìn)行Lévy隨機(jī)飛行。局部搜索可以表示為

(15)

為了避免蝴蝶移動(dòng)陷入局部最優(yōu)，在算法中引入Lévy飛行，Lévy飛行實(shí)質(zhì)是一種隨機(jī)游走，步長分布符合重尾概率分布：

Lévy～u=t-λ,(1<λ≤3)

(16)

Lévy飛行能夠加快局部搜索，提高搜索效率。本文中，λ的取值范圍為(1,2]。

2.2 融合蝴蝶算法與粒子濾波

在蝴蝶算法中，把蝴蝶看作粒子濾波中的粒子，可以看出蝴蝶算法和粒子濾波存在一定的相似性。首先，蝴蝶算法中蝴蝶不斷地更新自己的位置并向適應(yīng)度最高的蝴蝶飛去，類似于粒子濾波算法中粒子不斷地逼近真實(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率分布。其次，蝴蝶算法中適應(yīng)度最高的蝴蝶是種群中的最優(yōu)值，類似于粒子濾波算法中具有最大重要性權(quán)重的粒子最可能處于真實(shí)的后驗(yàn)分布。

本文將蝴蝶算法優(yōu)化思想引入粒子濾波采樣過程，提高粒子濾波性能。但是如果直接將蝴蝶優(yōu)化算法與粒子濾波結(jié)合，會(huì)導(dǎo)致許多的問題，所以引入蝴蝶算法優(yōu)化粒子濾波的過程中需做如下修改：

(1)常規(guī)粒子濾波的重要性概率密度選取的是先驗(yàn)概率密度，丟失了當(dāng)前時(shí)刻的觀測值，所以在計(jì)算蝴蝶的適應(yīng)值時(shí)利用最新時(shí)刻的觀測值。因此，計(jì)算蝴蝶的適應(yīng)值方程定義為:

(17)

其中，Rk是觀測噪聲方差，znew是最新的觀測值，zpred表示預(yù)測的觀測值。

(18)

(3)在蝴蝶算法的全局搜索方程式(18)和局部搜索方程式(15)中，當(dāng)Lévy飛行值和Fi值太小時(shí)會(huì)導(dǎo)致蝴蝶的位置基本不移動(dòng)，造成無效的位置更新。所以當(dāng)蝴蝶更新的位移太小時(shí)需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)大。

綜上，引入蝴蝶算法優(yōu)化后的粒子濾波(BA-PF)具體實(shí)現(xiàn)如下：

(3)尋找最優(yōu)值。把粒子濾波中的每一個(gè)粒子看作蝴蝶算法中的一只蝴蝶。通過適應(yīng)度函數(shù)式(17)計(jì)算每一個(gè)粒子的適應(yīng)度值，并通過式(19)找到全局最優(yōu)的粒子g*，即適應(yīng)度值最大的蝴蝶。

(19)

(4)利用式(13)計(jì)算每一個(gè)粒子的香味Fi，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r用以決定粒子利用式(18)進(jìn)行全局搜索，或者利用式(16)進(jìn)行局部搜索。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大次數(shù)M時(shí)，停止迭代。

(5)更新優(yōu)化后粒子的重要性權(quán)重并歸一化。

(8)判斷算法是否繼續(xù)，若繼續(xù)，則返回步驟(2)，否則算法結(jié)束。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為筆記本電腦(Intel Core i7處理器、16 GB內(nèi)存)，實(shí)驗(yàn)軟件環(huán)境為MATLAB 2016a。為了驗(yàn)證改進(jìn)粒子濾波的有效性，將蝴蝶優(yōu)化粒子濾波算法(BA-PF)與常規(guī)粒子濾波(PF)和基于無跡卡爾曼濾波優(yōu)化的粒子濾波(UPF)進(jìn)行對比，本文采用文獻(xiàn)[9]中的非線性系統(tǒng),系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程為:

xt=1+sin(ξ(t-1))+φ1xt-1+wt-1

(20)

(21)

其中φ1=0.5,φ2=0.2,φ3=0.5,ξ=0.04，過程噪聲w取Gamma(3,2)的伽瑪噪聲，觀測噪聲v取均值為零、方差為0.000 1的高斯噪聲。采用3種算法對上述非線性模型系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)和跟蹤。采用均方根誤差ERMSE來度量各濾波算法的性能。均方根誤差公式為:

(22)

表1 實(shí)驗(yàn)算法參數(shù)及設(shè)置值

仿真在不同粒子數(shù)N=20、N=40、N=100下對三種粒子濾波算法的濾波精度和運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行對比，如表2所示。圖1為一次獨(dú)立仿真條件下粒子數(shù)N=20時(shí)三種粒子濾波算法的狀態(tài)估計(jì)，圖2為對應(yīng)仿真運(yùn)行中三種粒子濾波算法的估計(jì)誤差絕對值。

表2 三種算法均方根誤差和運(yùn)行時(shí)間比較

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)(N=20)

圖2 估計(jì)誤差絕對值(N=20)

由圖1、圖2和表2可以看出，BA-PF算法的均方根誤差明顯小于PF算法和UPF算法，同時(shí)BA-PF算法在粒子數(shù)較少時(shí)就能具有很高的濾波精度，這主要是因?yàn)锽A-PF算法能夠驅(qū)動(dòng)無效粒子向似然概率高的區(qū)域移動(dòng)，增強(qiáng)了粒子的作用效果。而PF算法在粒子數(shù)量較少時(shí)，容易失去狀態(tài)估計(jì)，如從時(shí)間點(diǎn)t=16到t=22。UPF因?yàn)橐霟o跡卡爾曼濾波，所以濾波精度較PF算法有所提高，但是低于BA-PF算法的濾波精度。

為了測試不同粒子濾波算法的魯棒性，獨(dú)立仿真在時(shí)間點(diǎn)t=40和t=45時(shí)刻設(shè)置狀態(tài)發(fā)生的突變，幅值為15。圖3為粒子數(shù)N=20并且發(fā)生突變后三種粒子濾波算法的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，圖4為相應(yīng)三種粒子濾波算法的估計(jì)誤差絕對值。從表2中還可知，BA-PF算法的執(zhí)行時(shí)間稍微高于PF算法，但是遠(yuǎn)低于UPF算法的執(zhí)行時(shí)間。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)(N=20)

圖4 估計(jì)誤差絕對值(N=20)

從圖3和圖4可以看出在t=40和t=45時(shí)刻狀態(tài)值發(fā)生躍變，PF算法和UPF算法都發(fā)生了明顯的估計(jì)偏差，其中又以PF算法最為明顯。而BA-PF算法由于引入Lévy隨機(jī)飛行，避免了局部最優(yōu)問題，沒有發(fā)生明顯偏差，這說明BA-PF算法對系統(tǒng)狀態(tài)突變的適應(yīng)性強(qiáng)，算法魯棒性高。綜上，由于BA-PF算法在重要性采樣過程中引入蝴蝶優(yōu)化算法，有效改善了粒子退化現(xiàn)象，提高了濾波精度。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于蝴蝶優(yōu)化的粒子濾波算法，引入蝴蝶算法優(yōu)化常規(guī)粒子濾波的重要性采樣過程，驅(qū)動(dòng)遠(yuǎn)離真實(shí)狀態(tài)的粒子向真實(shí)狀態(tài)可能性較大的區(qū)域移動(dòng)，從而有效改善了粒子濾波存在的粒子退化問題，提高了粒子濾波的濾波精度。同時(shí)通過蝴蝶搜索模式的切換和Lévy隨機(jī)飛行使BA-PF算法避免陷入局部最優(yōu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，BA-PF算法在粒子數(shù)量少量的情況下能實(shí)現(xiàn)有效濾波，比PF算法具有更好的濾波性能，算法魯棒性高。