郭建平，曹 杰，趙立龍

（南京信息工程大學a.經(jīng)濟管理學院；b.物理與光電工程學院，南京 210044）

0 引言

抽樣分布研究是統(tǒng)計分析領(lǐng)域的重要課題，相對于大量觀測形成的大樣本數(shù)據(jù)的分布擬合問題，由少量觀測形成的小樣本數(shù)據(jù)的分布擬合問題存在更多不確定性，產(chǎn)生這種分布擬合不確定性的原因主要是因為遍歷的觀測較少，經(jīng)驗分布所反映的特征與相關(guān)理論分布的特征相比較不明顯。信息反映相對不足使得研究者難以確定與之相互匹配的理論概率分布類型，建立在理論概率分布模型下的各種統(tǒng)計推斷結(jié)果的可靠性自然值得質(zhì)疑。因此，準確判斷與樣本數(shù)據(jù)相匹配的理論分布類型對于研究隨機現(xiàn)象具有重要意義，只有確定理論分布類型，才能運用統(tǒng)計分析方法估計理論分布中的未知參數(shù)，得到理論分布模型的解析表達式，即分布密度或者分布函數(shù)，從而計算隨機變量的數(shù)字特征，完成統(tǒng)計推斷等一系列分析過程。

本文研究了具有厚尾特征的小樣本數(shù)據(jù)的分布擬合問題，獲得一組小樣本厚尾觀測數(shù)據(jù)后，通過觀察數(shù)據(jù)的分布形態(tài)，尤其是尾部特征，結(jié)合對數(shù)據(jù)分布的初步分析，可以選用一些常用理論概率分布模型來擬合。然而，統(tǒng)計實踐中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)單個連續(xù)概率分布模型對厚尾特征數(shù)據(jù)的擬合效果不盡如人意，對數(shù)據(jù)尾部的擬合常常出現(xiàn)高估或者低估問題，因此，有必要在這些單一概率分布模型的基礎(chǔ)上建立混合分布模型來擬合厚尾小樣本數(shù)據(jù)?；旌戏植寄Ｐ偷谋举|(zhì)特征就是通過單一理論分布模型之間的相互修正，盡可能地匹配實際數(shù)據(jù)生成過程。如何通過權(quán)重的設(shè)置將兩個及其以上單一分布模型以加權(quán)形式“混合”在一起構(gòu)成混合分布模型是此類研究的重要內(nèi)容，在非壽險精算領(lǐng)域，這一混合比例被稱為結(jié)構(gòu)參數(shù)，通常在擬合分布分析中，這個參數(shù)是未知的。本文則考慮樣本數(shù)據(jù)的均值和方差以及觀測數(shù)信息，借鑒保險精算學中的信度理論，通過信度因子計算混合分布模型權(quán)重值，即混合比例或者結(jié)構(gòu)參數(shù)，在降低混合分布模型待估參數(shù)維數(shù)便利模型估計之余，賦予權(quán)重更實際的樣本信息。

1 文獻回顧與述評

統(tǒng)計實踐中存在著大量尖峰或厚尾或偏態(tài)的觀測數(shù)據(jù)，這些樣本數(shù)據(jù)顯著背離正態(tài)分布，如果用以正態(tài)分布為核心的傳統(tǒng)統(tǒng)計方法來分析，其結(jié)果往往令人難以置信。因此，建立能夠處理此類數(shù)據(jù)的新概率分布及相關(guān)的統(tǒng)計推斷新方法擬合非正態(tài)數(shù)據(jù)在統(tǒng)計學研究領(lǐng)域已經(jīng)成為眾多學者關(guān)注的重要內(nèi)容之一。

考慮兩個單一概率分布通過加權(quán)構(gòu)成的混合模型：f(x)=pf1(x)+(1-p)f2(x)，其中 0≤p≤1，f1(x)和f2(x)為不同的單一分布密度函數(shù)，p為混合比例。不同的研究者對由兩個或以上分布形成的分布模型冠以不同稱呼，如疊加分布、混合分布、組合分布等，為了敘述簡潔，這里統(tǒng)一稱之為混合分布模型（以下簡稱混合模型）。大量的文獻對這種形式的混合模型進行了分析和實證研究。

王新軍和邵學清（2005）[1]提出了混合模型并給出分布參數(shù)的估計方法，實證分析結(jié)果表明混合模型的擬合效果顯著優(yōu)于單一分布模型的擬合效果；趙桂芹等（2006）[2]對保險實務(wù)中具有“雙峰”或“多峰”特征的損失數(shù)據(jù)，提出了由帕累托分布與廣義帕累托分布組成的混合模型進行擬合的思想，但是對顯著影響擬合效果的閾值參數(shù)的選取問題沒有分析。田榮潔等（2014）[3]則通過分段擬合的方法提高了損失分布的擬合準確性。但是，如何分段缺乏數(shù)理基礎(chǔ)。陳倩(2015)[4]通過假設(shè)損失頻率服從泊松-伽瑪分布，研究了小樣本貝葉斯推斷的MCMC參數(shù)估計的優(yōu)勢，較好地解決了由于損失數(shù)據(jù)不足給損失分布擬合帶來的難題。

上述研究豐富了數(shù)據(jù)分布的擬合問題，為進一步探索小樣本厚尾數(shù)據(jù)的分布形式奠定了堅實的基礎(chǔ)。通過梳理混合模型的研究文獻，發(fā)現(xiàn)如何匹配混合模型中單一分布的權(quán)重參數(shù)并沒有取得統(tǒng)一的認識，大量研究獲得包括權(quán)重參數(shù)在內(nèi)的待估參數(shù)的方法主要是利用數(shù)值優(yōu)化技術(shù)。通過數(shù)值優(yōu)化技術(shù)獲得的權(quán)重參數(shù)實際意義不明確，同時增加一個未知參數(shù)也增加了估計的難度。

國外學者對權(quán)重配置問題也有論述，如McCulloch和Jr(2013)[5]使用拉格朗日乘數(shù)方法擴展了尖峰厚尾數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度檢驗問題。Min等(2014)[6]提出了一個線性混合模型均值結(jié)構(gòu)的擬合檢驗方法。Amin等(2015)[7]將離群點出現(xiàn)的概率值作為混合模型權(quán)重，使用混合模型擬合了含有離群點的樣本數(shù)據(jù)。

綜合國內(nèi)外對混合模型的研究成果可以發(fā)現(xiàn)混合模型在工程技術(shù)或者社會科學研究領(lǐng)域都被廣泛應(yīng)用。通過加權(quán)或者混合比例的方法對若干單一分布模型進行“混合”作為構(gòu)建混合模型的主要方法已經(jīng)被研究者普遍認同，由于分布之間的相互修正帶來的總體擬合效果的提高也被廣大研究者認識。但是，對于加權(quán)或者混合比例的確定尚無一致看法，對混合模型參數(shù)的估計方法也眾說紛紜，由于參數(shù)估計方法的差異致使模型迥異，間接導致了統(tǒng)計分析結(jié)果的不確定，影響了模型的應(yīng)用和推廣。

本文試圖利用信度理論的思想確定混合權(quán)重。信度理論是研究如何正確、合理地處理先驗信息和后驗信息，即研究如何通過加權(quán)把兩者綜合起來的理論。信度理論萌芽于20世紀20年代，最早的信度理論被意外險精算師應(yīng)用于計算勞工賠償險費率。通過數(shù)據(jù)樣本的期望和方差等信息的提取，獲得信度因子，把信度因子作為單一分布的權(quán)重參數(shù)擬合混合模型，通過充分利用樣本數(shù)據(jù)的各類型信息，更加準確匹配實際損失數(shù)據(jù)的發(fā)生規(guī)律。這種信度權(quán)重設(shè)置思想的主要優(yōu)勢在于小樣本情況下通過融合統(tǒng)計研究問題的先驗信息，更有助于提高統(tǒng)計推斷精確程度。

2 建模過程

2.1 單一概率分布判別

單一概率分布是構(gòu)成混合模型的基礎(chǔ)，獲得一組觀測數(shù)據(jù)之后，需要確定數(shù)據(jù)樣本適用的單一分布形式。確定一批數(shù)據(jù)適用某種概率分布的主要步驟是：首先根據(jù)觀測得到的數(shù)據(jù)樣本編制經(jīng)驗分布并繪制經(jīng)驗分布圖，然后，根據(jù)經(jīng)驗分布圖的形態(tài)特點選擇與之最相似的理論分布族；最后，對選定的理論概率分布參數(shù)進行參數(shù)估計，確定與實際數(shù)據(jù)相互匹配的理論概率分布。

對于具有顯著厚尾特征的數(shù)據(jù)類型，需要使用平均剩余期望函數(shù)對尾部進行細致考察。平均剩余期望函數(shù)通常被定義為：eX(d)=E[ ]X-d|X＞d，其中X表示觀測隨機變量，d表示指定常數(shù)。如果平均剩余期望函數(shù)隨d遞增，在變量取值較大處的期望結(jié)果會很大，概率向右移，則表明變量X的尾部相比那些平均剩余期望函數(shù)遞減或增速較慢的分布的尾部更厚。反之，如果平均剩余期望函數(shù)隨著d遞減，說明變量X為輕尾分布。

實際分析過程中，可以通過繪制頻率密度直方圖并匹配相應(yīng)的擬合分布曲線進行判斷，也可以用P-P概率圖和Q-Q概率圖進行分析。P-P圖是根據(jù)變量的經(jīng)驗分布與指定分布的累積分布函數(shù)之間的關(guān)系繪制的圖形，Q-Q圖是用樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗分位數(shù)與所指定分布的分位數(shù)之間的關(guān)系曲線來進行檢驗，兩者均可以直觀判斷樣本數(shù)據(jù)是否較好服從某一分布。

2.2 信度因子確定

信度理論是研究如何通過加權(quán)把先驗信息和個體觀測后驗信息綜合起來的理論。在保險產(chǎn)品費率厘定中，精算師往往需要參考被保險人在過去一段時間內(nèi)的損失數(shù)據(jù)來預(yù)測其未來風險成本。由于經(jīng)驗損失數(shù)據(jù)來自經(jīng)驗期內(nèi)發(fā)生的保險事故，這些數(shù)據(jù)本身包含有很大程度的隨機波動，僅僅依靠這些數(shù)據(jù)來估計將來的風險并不準確。經(jīng)驗數(shù)據(jù)所反映的被保險人的風險水平與風險子集平均水平的差別中，如何確定由于隨機波動所引起的部分和由于被保險人的確優(yōu)于或者劣于風險子集平均水平而引起的部分分別是多少，以及如何確定兩個部分之間的比重分配是此類研究的重要內(nèi)容之一，信度理論為解決此類問題提供了一個重要工具。

假設(shè)X是隨機變量，x1,x2,…,xn是其觀測值，在非壽險精算中經(jīng)常把X的數(shù)學期望E(X)=μ或者對將來損失的估計值作為厘定費率的依據(jù)。一般而言，總體均值μ是未知的，通過有限個觀測值n來推斷總體均值μ必定會產(chǎn)生誤差，但是隨著觀測值個數(shù)n的不斷增加，推斷產(chǎn)生的誤差可以越來越小，當觀測值個數(shù)n足夠大時，樣本均值與總體均值μ充分接近。設(shè)α和γ為預(yù)先給定的比較小的正數(shù)，若n滿足不等式（1）：

則稱n滿足完全可信性條件，取顯著性水平α=0.05，則不等式表示相對誤差不超過一個指定小的數(shù)γ的概率大于95%，并且根據(jù)不等式可得到滿足完全可信條件n的最小值。不等式（1）兩邊同乘以n，同除以標準差σ，同乘以μ，變形整理，可得式（2）：

設(shè)Zα2表示正態(tài)分布分位點，記，變形整理可得：，則n=，此即為用樣本均值X估計總體均值μ完全可信時的最小觀測數(shù)據(jù)量。

但是，保險實踐中實際觀測數(shù)據(jù)量很可能小于完全可信時的最小觀測數(shù)據(jù)量，為了使相對誤差標準不等式（1）仍成立，在式（1）中乘上了一個介于0～1之間的修正系數(shù)Z，Z被稱為信度因子，變形如下：

由于Z介于0～1之間，因此，式（3）可以成立。類上推導過程，可以得到信度因子Z的解析表達式：

這就是部分可信性理論的平方根法則，其中n0表示完全可信條件下的最小觀測數(shù)據(jù)量。由式（5）可知，如果給出了觀測值個數(shù)n，也就可以知道信度因子Z的值。綜合完全可信與部分可信兩種情況，將信度因子表示成

根據(jù)信度因子的推導過程和表達式可知，信度因子綜合了樣本期望和方差以及觀測個數(shù)的信息，借助于信度因子有利于更好地推測和判斷數(shù)據(jù)分布的相關(guān)特征。對于給定樣本數(shù)據(jù)，通過方差和期望的計算，容易獲得信度因子，如果把信度因子作為權(quán)重引入混合模型，理論上可以提高數(shù)據(jù)擬合精度。

2.3 參數(shù)估計

選擇了單一分布模型并計算出信度因子以后，可構(gòu)造混合模型。

定義1：設(shè)X為隨機損失變量，f1(x)和f2(x)分別為單一連續(xù)分布的概率分布密度函數(shù)，Z為式（5）定義的信度因子，令f(x)=Z·f1(x)+(1-Z)·f2(x)，則稱f(x)為信度加權(quán)混合分布模型的概率密度函數(shù)。對于離散數(shù)據(jù)，這里的分布密度f(x)可以理解為分布函數(shù)即F(X)。

當前估計混合模型參數(shù)的方法主要是利用計算機進行數(shù)值迭代，通過滿足一定的收斂標準確定最優(yōu)值。但是，不合適的迭代初始值常常使得迭代程序不收斂，因此，選擇一個相對準確的初值對于成功估計參數(shù)具有重要意義。極大似然估計作為一種精確的參數(shù)估計方法理應(yīng)首先考慮，但是混合模型是一種加法模型，對數(shù)運算處理加法模型沒有優(yōu)勢；矩估計也是常用的參數(shù)估計方法之一，其基本思想是求解參數(shù)使得樣本分布的各階原點矩等于理論分布的各階原點矩。除此之外，分位點估計法也是常用的參數(shù)估計方法之一，其基本思想是通過理論分布位點與實際樣本的分位點相匹配確定相應(yīng)參數(shù)。權(quán)衡考慮三種方法的計算便捷程度和信息利用的充分程度，擬選擇矩估計法對參數(shù)進行估計。

使用矩估計法進行估計時需要計算理論分布的各階原點矩，為計算簡潔，可以通過構(gòu)造矩母函數(shù)來生成各階矩，完成矩估計?；旌夏Ｐ偷木啬负瘮?shù)為：

混合模型的矩母函數(shù)是單一分布矩母函數(shù)的信度加權(quán)和，通過矩母函數(shù)可以方便計算出理論分布各階原點矩。把通過觀測得到的損失數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn視為損失隨機變量X的一個容量為n的樣本，則定義為樣本的k階原點矩。當k分別等于1，2，3，4時，得到樣本的一至四各階原點矩，令理論分布的各階原點矩分別等于相應(yīng)的樣本經(jīng)驗分布的各階原點矩，即可以求出混合模型的四個待估參數(shù)值。

2.4 擬合效果分析

對于得到的混合模型，通過實際值與各種分布擬合值靠近程度的比較可以判斷出擬合效果的優(yōu)劣。針對某些特定分位點上的擬合情況，為了對厚尾數(shù)據(jù)的尾部性質(zhì)進行細致的觀測，本文給出了95%以后尾部觀測分位點的擬合值。通過理論分析可以認為混合模型由于考慮了數(shù)據(jù)的期望和方差以及誤差精度之間的內(nèi)在聯(lián)系，對數(shù)據(jù)的擬合效果理應(yīng)優(yōu)于單一分布的擬合效果。

3 實證

3.1 樣本數(shù)據(jù)說明

這里選擇我國1980—2015年間火災(zāi)損失數(shù)據(jù)為樣本，用于比較混合模型和單一分布模型擬合厚尾樣本數(shù)據(jù)的優(yōu)劣。原始火災(zāi)造成的直接財產(chǎn)損失數(shù)據(jù)見后文表1，直接損失數(shù)據(jù)來自《中國火災(zāi)統(tǒng)計年鑒》中國人事出版社（2012），通貨膨脹率數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局網(wǎng)站。

3.2 模型建立

3.2.1 描述性統(tǒng)計分析

以下主要使用SAS系統(tǒng)進行計算，樣本數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計分析結(jié)果如表1所示。

表1 描述性統(tǒng)計量

根據(jù)偏度系數(shù)為1.42285303可以判斷這批數(shù)據(jù)呈現(xiàn)高右偏態(tài)分布趨勢，由峰度系數(shù)2.14956349，小于正態(tài)分布的峰度系數(shù)3，可以判斷與正態(tài)分布相比數(shù)據(jù)尖峰特征不明顯。另外，通過上文介紹的經(jīng)驗剩余函數(shù)，利用經(jīng)驗剩余函數(shù)圖能判斷出數(shù)據(jù)具有厚尾特征，限于篇幅這里省略了相關(guān)分析過程。

根據(jù)對原始數(shù)據(jù)的初步分析可知樣本數(shù)據(jù)具有典型雙峰、厚尾且高偏態(tài)分布特征，這意味著常用的單一概率分布很難準確擬合這類數(shù)據(jù)，使用混合分布擬合這類樣本數(shù)據(jù)或許會有較好效果。綜合相關(guān)文獻的研究結(jié)果，本文擬采用對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布組成混合分布模型來擬合這批數(shù)據(jù)。對數(shù)正態(tài)分布中間部分相對較薄，尾部相對較厚，而指數(shù)分布中間較厚尾部漸薄，兩者結(jié)合，既可以形成中部的峰值特征又可以校正尾部的形狀。為了便于比較，本文同時給出單一分布的數(shù)據(jù)擬合效果。

3.2.2 單一分布的擬合優(yōu)度檢驗

根據(jù)數(shù)據(jù)分布特征，給出了對數(shù)正態(tài)和指數(shù)分布兩條擬合曲線，檢驗統(tǒng)計量如表2所示。

表2 擬合優(yōu)度檢驗

由表2可知對數(shù)正態(tài)分布所有三種擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量及其概率值在顯著性水平為0.05時均顯著，故這批數(shù)據(jù)用對數(shù)正態(tài)分布擬合不適合；指數(shù)分布的K-S統(tǒng)計量在0.05的顯著性水平上不顯著，但另兩個統(tǒng)計量及其概率值在0.05的水平上則顯著，綜上認為這批數(shù)據(jù)用對數(shù)正態(tài)分布或指數(shù)分布單一的分布形式來擬合并不恰當。為便于和混合分布模型的擬合結(jié)果相互比較，給出了單一對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布的尾部部分分位數(shù)擬合值，如表3所示。

表3 單一分布分位數(shù)擬合值比較

共36個觀測值，在表3中，95%的百分比位于0.95×36=34.2位置處，即第34和第35個觀測值（31.78295和38.95464）之間的0.2位置處，取31.78295×0.8+38.95464×0.2=33.217288。其余各個分位點上的觀測值同樣計算。

估計的正態(tài)分布均值為μ=2.211418，標準差為σ=0.903628，對于95%的百分比，相應(yīng)分位點為1.645，則(lnx-μ)/σ=1.645，可以求出對數(shù)正態(tài)分布的估計值為40.359。估計的指數(shù)分布exp(λ)的參數(shù)λ=12.77636，對于95%的百分比，有1-e-x/12.77636=0.95，可求出指數(shù)分布的估計值為40.359。其余分位點上的相應(yīng)分布的估計值同樣計算。

3.2.3 信度因子的計算

根據(jù)上文所述，使用信度因子進行分布加權(quán)。假設(shè)顯著性水平α=0.05，指定小的數(shù)γ=0.1，則Zα2=1.645，λ0=，給定樣本數(shù)據(jù)的均值為12.7763643，方差為101.906967，完全可信條件下的最小觀測個數(shù)為：

由于數(shù)據(jù)量僅為36個，不滿足完全可信標準，計算信度因子如下：Z=0.23。

3.2.4 混合分布模型的確定

相對于指數(shù)分布而言，單一分布擬合時對數(shù)正態(tài)分布的三個統(tǒng)計量在更高的顯著水平上被拒絕，而指數(shù)分布的K-S檢驗統(tǒng)計量D在0.05的顯著水平上不能拒絕樣本數(shù)據(jù)來自指數(shù)分布的零假設(shè)，故先驗假定這批數(shù)據(jù)來自指數(shù)分布，構(gòu)建的混合模型如下：

模型中的f1(x)和f2(x)分別為對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布的密度函數(shù)，含有三個待估計參數(shù)。

3.3 參數(shù)估計

將相應(yīng)參數(shù)帶入混合模型，得到理論分布的一至三階各階原點矩解析式。

計算的樣本分布的一至四階各階原點矩如下：

令樣本分布的各階原點矩等于理論分布的各階原點矩，使用計算機數(shù)值計算方法得到三參數(shù)的值。為便于比較，單一分布的參數(shù)擬合結(jié)果也列于表4中。

表4 信度加權(quán)的混合模型的參數(shù)估計結(jié)果

最終信度加權(quán)的混合模型的分布密度函數(shù)：

3.4 擬合效果比較

為了比較混合模型對數(shù)據(jù)的擬合效果，令信度加權(quán)的混合分布密度函數(shù)分別等于相應(yīng)的分位點概率值，得到分位點估計值如下頁表5所示。

表5中，混合模型分位數(shù)估計值的計算首先按照信度因子匹配相關(guān)概率，如95%，分解為95%×0.77=0.7315，95%×0.23=0.2185。然后計算0.7315對應(yīng)的正態(tài)分布分位點為0.6174，令 lnx=2.6410+0.5212×0.6174，得到x值為19.352；令F(x)=0.2185，容易求出指數(shù)分布對應(yīng)的x值為17.259，相加得到36.610。余下各個分位點的估計值同樣可以求出。由表5結(jié)果可知由于反映均值和方差信息的信度權(quán)重修正，混合模型的尾部擬合值更加接近觀測值。綜上分析，使用混合模型擬合損失數(shù)據(jù)具有較理想的擬合效果，相對于單一分布模型而言，使用混合模型對厚尾特征的損失數(shù)據(jù)進行擬合研究結(jié)果將更加可靠。

表5 混合模型擬合效果估計值

4 結(jié)論

本文使用混合概率分布模型對一類厚尾特色數(shù)據(jù)樣本的分布規(guī)律進行了擬合研究。不同于現(xiàn)有混合模型的擬合方法，本文借鑒了保險精算原理中信度理論的思想，通過信度因子為單一分布匹配了混合的權(quán)重，理論分析和實證結(jié)果均表明信度因子加權(quán)的混合模型顯著提高了厚尾數(shù)據(jù)的擬合精度。

能否準確擬合樣本數(shù)據(jù)的分布對于統(tǒng)計理論研究具有重要意義，運用統(tǒng)計分析方法估計理論分布中的未知參數(shù)，得到理論分布模型的解析表達式，即分布密度或者分布函數(shù)，計算隨機變量的數(shù)字特征，完成統(tǒng)計推斷并做出統(tǒng)計決策等一系列統(tǒng)計分析過程正確與否完全取決于對樣本分布的判斷與擬合。雖然現(xiàn)有概率分布能夠匹配實際統(tǒng)計實踐中的大量樣本數(shù)據(jù)分布問題，但是，統(tǒng)計現(xiàn)象的各種復雜多變性日益降低著這種匹配的精確度，使用混合概率分布模型來擬合各種“特色”樣本數(shù)據(jù)愈發(fā)有必要。在統(tǒng)計實踐領(lǐng)域，準確擬合數(shù)據(jù)分布不但有助于研究者深刻理解統(tǒng)計問題，而且也為研究者最終解決問題提供了思路。