于亞萍

【摘要】對于對稱性的理解，簡單情況如奇、偶函數(shù)的對稱性，一元函數(shù)積分的對稱性等對于初學(xué)者問題不大，但是到了曲線積分，尤其是曲面積分中，因為對稱涉及積分區(qū)域的對稱以及被積函數(shù)的對稱，兩方面都要考慮，情況較為復(fù)雜，所以本文提出了一種將連續(xù)函數(shù)離散化的方法，從離散的角度來理解對稱性.

【關(guān)鍵詞】對稱性；離散化；積分；奇偶性

對稱是一種美，而且這種美在數(shù)學(xué)中無處不在，貫穿數(shù)學(xué)中的各個分支.很多圖形是對稱的，比如，心形線等等，很多函數(shù)是對稱的，比如，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，當(dāng)然，積分中也不會缺少對稱這個完美的性質(zhì).利用對稱性可以簡化計算，提高運算速度和效率，避免出錯，有著非常重要的作用.但是在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，曲面積分對稱性也是一個難點，所以為了幫助理解，我們要將連續(xù)函數(shù)離散化.

離散化方法是在分析中經(jīng)常用的方法之一，意思即是將連續(xù)的問題化為離散的點來考慮.

在離散化之前，我們需要做一些合理的假設(shè).眾所周知，點是沒有長度、面積和體積的，但是為了描述方便，為了直觀地理解對稱性，不妨將其理想化，假定點是有面積、體積且是均勻量，并記點的長度為l*，點的面積為s*，點的體積為v*.

下面從離散化角度來看積分：

對于第一類曲線積分，由定義得：

∫lf（x，y）ds=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δsi=li∑（x，y）∈lf（x，y）.

若積分曲線關(guān)于x軸對稱，x軸上方的曲線記作L1，x軸下方的曲線記作L2，任取L1上的點（x，y），就有L2上的點（x，-y）相對應(yīng)，若f（x，-y）=f（x，y），則

∫lf（x，y）ds=li∑（x，y）∈lf（x，y）

=2li∑（x，y）∈L1f（x，y）=2∫L 1f（x，y）ds.

若f（x，-y）=-f（x，y），則

∫lf（x，y）ds=li∑（x，y）∈lf（x，y）

=li∑（x，y）∈L1f（x，y）+li∑（x，y）∈L2f（x，y）=0，

即如果積分曲線關(guān)于x（y）軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于變量有奇偶性，則“偶倍奇零”.

對于第一類曲面積分，由定義得：

Σf（x，y，z）ds=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi，ζi）Δsi

=s*∑（x，y，z）∈Σf（x，y，z）.

此時，若積分曲面關(guān)于xOy面對稱，記xOy面上方的曲面為Σ1，xOy面下方的曲面為Σ2，任取Σ1上的點（x，y，z），必有Σ2中的點（x，y，-z）與之對應(yīng)，如果被積函數(shù)有：f（x，y，z）=f（x，y，-z），

則有

Σf（x，y，z）ds=s*∑（x，y，z）∈Σf（x，y，z）

=s*∑（x，y，z）∈Σ1f（x，y，z）+s*∑（x，y，z）∈Σ2f（x，y，z）

=2s*∑（x，y，z）∈Σ1f（x，y，z）=2Σ1f（x，y，z）ds.

如果被積函數(shù)有：f（x，y，z）=-f（x，y，-z），則有

關(guān)于其他坐標面對稱情況類似，綜上，即有：如果積分曲面關(guān)于某個坐標面對稱，被積函數(shù)關(guān)于第三個變量具有奇偶性，則適用對稱性，即“偶零奇倍”.

綜上，可以很容易理解為何要求積分區(qū)域具有對稱性的同時，還要要求被積函數(shù)具有對稱性，也很易理解對稱性.

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]凌明偉.對稱法求積分[J].高等數(shù)學(xué)研究，2003（1）：35-38.

[3]林源渠，等.高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)與典型例題分析[M].北京：機械工業(yè)出版社，2002.

[4]陳增政，徐進明.利用對稱性簡化被積函數(shù)是線性函數(shù)解的計算[J].工科數(shù)學(xué)，1994（4）：181-184.