金芳 郭冰陽 吳承遜

摘要：如何選取與設(shè)計合適概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)案例尚在探究中，本文針對《隨機(jī)事件的獨立性》內(nèi)容特點，結(jié)合案例教學(xué)實踐，對隨機(jī)事件的獨立性這節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行了案例選擇，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的數(shù)學(xué)能力。

關(guān)鍵詞：獨立性；案例教學(xué)；概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計作為數(shù)學(xué)的一門分支，在生產(chǎn)、科研、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，是具有強(qiáng)烈實際背景的數(shù)學(xué)課程，為課程引入案例教學(xué)提供了相當(dāng)有利的條件。案例教學(xué)是指教師根據(jù)教學(xué)目的選擇或編寫案例，提供具體真實的場景，讓學(xué)生把自己納入案例場景，并在教師組織與指導(dǎo)下，通過自主積極思考，討論或者研討，提出解決問題的方法來進(jìn)行學(xué)習(xí)的一種教學(xué)方法.它強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體，以培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、實踐能力和創(chuàng)新能力為目的。隨機(jī)事件的獨立性，描述了一種隨機(jī)事件之間的特殊關(guān)系，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中具有舉足輕重的地位.如何針對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程特點，選取與設(shè)計合適的教學(xué)案例，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的難理解、缺乏興趣等問題，目前尚在探索之中.下面結(jié)合在實際教學(xué)中的體會，探討設(shè)計事件獨立性的教學(xué)的要點和方法。

A，B是相互獨立，說明兩事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微弱，一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率.在抽象問題中，一般根據(jù)定義去判斷事件的獨立性，而在實際問題中，一般根據(jù)事件的實際意義去判斷事件的獨立性.在教學(xué)過程中，挑選貼近學(xué)生實際生活，具有一定教育意義的案例是較憂選擇.根據(jù)多年來對課程的理解和創(chuàng)新試驗，發(fā)現(xiàn)以下實例是相對比較成功的案例。

案例1（系統(tǒng)可靠性問題）

設(shè)有多個元件，每個元件的可靠性均為0.9（元件能正常工作的概率）， 按如下兩種方式組成系統(tǒng)， 試比較兩個系統(tǒng)的可靠性.

系統(tǒng)一：串聯(lián)系統(tǒng) 系統(tǒng)二：并聯(lián)系統(tǒng)

解 設(shè) A=“系統(tǒng)一能正常工作”；B=“系統(tǒng)二能正常工作”；Ci=“系統(tǒng)二第i個能正常工作”，i=1，2.且事件 C1， C2 相互獨立.則P（Ci）=0.9.

P（A）=P（C1C2）=P（C1）P（C2）=0.92=0.81；

通過案例1，我們既可以熟悉兩個事件的并和交的計算區(qū)別與聯(lián)系，又可以結(jié)合物理知識，得到并聯(lián)系統(tǒng)比串聯(lián)系統(tǒng)可靠性更好。

案例2（三個臭皮匠，頂個諸葛亮）

如果某問題諸葛亮能解出的把握80%，臭皮匠老大的把握有50%，老二的把握只有45%，老三解出的把握只有40%，四人解題相互不受影響，那么三個臭皮匠能勝過諸葛亮嗎？

解 設(shè)A=“諸葛亮能解出某問題”，B=“老大能解出某問題”，C=“老二能解出某問題”，D=“老三能解出某問題”，則事件A，B，C，D相互獨立，且

P（A）=0.8，P（B）=0.5，P（C）=0.45，P（D）=0.4.

那么，三個臭皮匠能夠解出某問題的概率為：

則 .即三個臭皮匠能勝過諸葛亮。

通過案例2，我們既可以理解和應(yīng)用三個事件獨立性的性質(zhì)、計算和應(yīng)用，又可以鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，還可以對學(xué)生進(jìn)行思想教育：三個才能平庸的人，若能同心協(xié)力集思廣益，也能提出比諸葛亮還周到的計策.團(tuán)結(jié)力量大，21世紀(jì)將是一個團(tuán)隊協(xié)作的時代。

案例3 （三人行，必有我?guī)熝桑?/p>

俗話說“三百六十行，行行出狀元.”我們不妨把一個人的才能分成360個方面.因為孔子是大學(xué)問家，我們假設(shè)他在每一行的排名都處在前的可能性為99%，從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，分析下“三人行，必有我?guī)煛庇械览韱幔?/p>

解 設(shè)一共有孔子、甲、乙三人， =“孔子在第 行超過甲”， =“孔子在第 行超過乙”.則

則孔子在在第 行同時超過甲乙的概率為： ，

那么，孔子在360行全部超過甲乙的概率為：

.

因此，這兩個人在某一方面可以做孔子老師的概率為99.93%.從概率論與數(shù)理統(tǒng)計的角度分析，孔子的話是有道理的。

通過案例3，我們既可以理解和應(yīng)用n個事件獨立性的性質(zhì)、計算和應(yīng)用，又可以體會文學(xué)與數(shù)學(xué)交融之美，感受學(xué)習(xí)的樂趣，還可以對學(xué)生進(jìn)行思想教育：擇其善者而從之，其不善者而改之”，注意學(xué)習(xí)他人的長處，以他人缺點引以為戒，多看他人的長處，與人為善，待人寬而責(zé)己嚴(yán)，你將越來越好。

案例4（選擇題的取巧問題）

一張英語試卷，有10道選擇題，每題有4個選擇答案，且其中只有一個是正確答案，某同學(xué)投機(jī)取巧，隨機(jī)填空，試問：

（1）他答對2道的概率是多大？

（2）他至少填對6道的概率是多大？

解 每答一道題有兩個可能的結(jié)果，設(shè)A=“答對”，P（A）=0.25. 答10道題可當(dāng)作10重伯努利試驗.

（1）

（2）設(shè) “他至少填對6道”，則

通過案例4，我們既可以理解和應(yīng)用n重伯努利試驗的性質(zhì)、計算和應(yīng)用，又可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究能力，還可以讓學(xué)生自己深刻感受認(rèn)真學(xué)習(xí)的重要性.同時，和學(xué)生一起總結(jié)出小概率原理（或稱實際推斷原理）：概率很小的事件（稱為小概率事件或稀有事件），在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的.故如本例所說，該同學(xué)隨意猜測，能在10道題中猜對6道題以上的概率是很小的，在實際中幾乎是不會發(fā)生的。

總結(jié)：

選取與設(shè)計合適概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)的案例，是本課程開展案例教學(xué)的基礎(chǔ)，是有效進(jìn)行案例教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).案例選取與設(shè)計思想：要以學(xué)生為本，以教學(xué)計劃為指導(dǎo)，難易適中，能清晰說明一個概念、定理法則或方法，使教學(xué)案例成為各重點相關(guān)概念的結(jié)合點，成為引導(dǎo)學(xué)生探討應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計思想方法、定理、公式的平臺，成為提升學(xué)生解決實際問題的數(shù)學(xué)能力的著力點。

基金項目：

湖南城市學(xué)院2016年教學(xué)改革研究項目（No.20），2016年湖南城市學(xué)院高等教育科學(xué)研究課題（No.JK15B040）；

湖南省教育科學(xué)十二五規(guī)劃2015年度一般資助項（No.XJK015BGD008）；

湖南城市學(xué)院2015年教學(xué)改革研究項目（No.37）；

2016年教學(xué)改革研究項目（No.20）；

2016年湖南城市學(xué)院高等教育科學(xué)研究課題（No.JK15B040）。