上海市嶺南中學(xué) 劉華為 (郵編：200435)

1 關(guān)于四種典型教材不同處理方式的思考

筆者認(rèn)真研讀了人教版、北師大版、華師大版和上教版教材，對(duì)比各版本不同的處理方式，真切地感受到編者在進(jìn)度安排、內(nèi)容取舍和細(xì)節(jié)處理等方面的精心雕琢與匠心獨(dú)運(yùn)，也對(duì)三個(gè)函數(shù)的教學(xué)有了全面的理解和深度的思考．

從進(jìn)度安排上來看，人教版教材把正比例函數(shù)和一次函數(shù)的教學(xué)安排在八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)(第19章“一次函數(shù)”)，反比例函數(shù)安排在九年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)(第26章“反比例函數(shù)”)學(xué)習(xí)，期間還穿插學(xué)習(xí)了二次函數(shù)；北師大版教材把正比例函數(shù)和一次函數(shù)的教學(xué)安排在八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)(第4章“一次函數(shù)”)，反比例函數(shù)安排在九年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)(第6章“反比例函數(shù)”)學(xué)習(xí)；華師大版教材則把這三個(gè)函數(shù)的教學(xué)均安排在八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)(第17章“函數(shù)及其圖象”)；上教版教材把正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的教學(xué)安排在八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)(第18章“正比例函數(shù)和反比例函數(shù)”)，一次函數(shù)則安排在八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)(第20章“一次函數(shù)”)學(xué)習(xí)．單就進(jìn)度安排而言，筆者更欣賞華師大版教材把三個(gè)函數(shù)安排在同一章節(jié)的處理策略，減少了由于跨時(shí)段學(xué)習(xí)引起的知識(shí)遺忘而造成的長時(shí)間舊知復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，既突出三者之間的關(guān)聯(lián)性，又使教學(xué)一氣呵成，更有利于知識(shí)遷移和新知的有效生成；人教版教材把二次函數(shù)的學(xué)習(xí)放在反比例函數(shù)之前，使學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象有了直線和拋物線兩種認(rèn)識(shí)，為畫反比例函數(shù)圖象時(shí)需用光滑曲線連接相鄰兩點(diǎn)埋下了伏筆，降低了難度．特別是從函數(shù)解析式的特征來看，沿襲了從整式到分式的學(xué)習(xí)習(xí)慣，尊循了認(rèn)知規(guī)律，注重了學(xué)情發(fā)展；上教版教材把反比例函數(shù)教學(xué)穿插在正比例函數(shù)和一次函數(shù)之間，意在突出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在認(rèn)知方式的相似度和性質(zhì)學(xué)習(xí)的對(duì)比度，雖有一定的創(chuàng)新，但卻有違認(rèn)知規(guī)律之嫌，畢竟從正比例函數(shù)到一次函數(shù)的遷移更自然，兩者聯(lián)系也更緊密，尤其學(xué)生在掌握一次函數(shù)圖象也是一條直線后，更易理解畫反比例函數(shù)圖象時(shí)為什么相鄰兩點(diǎn)之間需用光滑曲線連接(后文將詳細(xì)闡述)；相比較而言，北師大版教材卻顯得中規(guī)中矩，沿襲了傳統(tǒng)的進(jìn)度安排，自然也就缺少了創(chuàng)新味．

從內(nèi)容取舍來看，單就性質(zhì)而言，相同的是上述四個(gè)版本教材均把函數(shù)的單調(diào)性和反比例函數(shù)所在的象限與k的符號(hào)關(guān)系作為教學(xué)重點(diǎn)，無論是新知生成還是性質(zhì)應(yīng)用都作了精心安排，以突出其重要性．不同的是，對(duì)于“正比例函數(shù)圖象與比例系數(shù)k的符號(hào)關(guān)系”和“一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限與k和b的符號(hào)關(guān)系”，上教版教材均把二者歸納為性質(zhì)，并作為教學(xué)重點(diǎn)以突顯其重要地位；人教版教材只把前者作為性質(zhì)，至于后者則通過一道習(xí)題(配套教材99頁第12題)引導(dǎo)學(xué)生自我歸納整理，重要性自然也就打了折扣；而北師大版教材和華師大版教材對(duì)二者均淡化處理，不僅沒有作為性質(zhì)，而且只是通過一道習(xí)題(分別見北師大版配套教材第99頁第8題和華師大版配套教材習(xí)題17.5第1題)對(duì)其中一兩種情形偶有涉及，學(xué)生能否全面掌握要取決于教師對(duì)教材的處理能力和學(xué)生的感悟與遷移能力，其重要性自然也就更加遜色了．那么學(xué)生掌握這兩個(gè)性質(zhì)究竟有沒有積極意義呢？首先有助于學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解與認(rèn)識(shí)．試設(shè)想一下：當(dāng)k>0時(shí)學(xué)生腦海里浮現(xiàn)一次函數(shù)的圖象必經(jīng)過第三、第一象限，并自左至右逐漸上升，那自然就能理解函數(shù)值y是隨著x的增大而增大了；其次有利于對(duì)函數(shù)及其圖象的全面認(rèn)識(shí)．眾所周知，研究圖形主要包括形狀、大小和位置，對(duì)于函數(shù)圖象當(dāng)然也不例外，更何況讓學(xué)生了解k決定一次函數(shù)圖象的形狀(即變化趨勢(shì))且b決定圖象的位置，還為高中學(xué)習(xí)直線的斜率與截距奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；最后有利于學(xué)生能力的發(fā)展．在探究圖象位置與k和b的符號(hào)關(guān)系時(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、分析能力和歸納能力都大有裨益，特別是關(guān)于“若直線y=kx+b不經(jīng)過第一象限試確定k與b的取值范圍”這類逆向思考的問題，無疑就是訓(xùn)練學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的絕好素材．更何況增加這兩個(gè)性質(zhì)的學(xué)習(xí)并未過重增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，反而為解決類似問題提供了知識(shí)基礎(chǔ)、思路引領(lǐng)和方法指導(dǎo)，實(shí)乃有利無害也！

從細(xì)節(jié)處理來看，人教版教材關(guān)于性質(zhì)“k>0時(shí)正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第三、第一象限”的表述就比上教版教材的“k>0時(shí)正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、第三象限”的表述更為精妙與科學(xué)，雖然有違數(shù)字從小到大的表達(dá)習(xí)慣，但卻與“圖象從左至右逐漸上升”及“y隨著x的增大而增大”性質(zhì)中關(guān)于x的變化趨勢(shì)的表述高度吻合，便于學(xué)生理解與掌握性質(zhì)；北師大版教材非常注重知識(shí)生成過程的精心設(shè)計(jì)，每條性質(zhì)的形成都要經(jīng)過“做一做”“想一想”和“議一議”等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、獨(dú)立思考、相互討論和歸納完善后才逐步掌握．換言之，學(xué)生是性質(zhì)的建構(gòu)者，全程參與了知識(shí)的生成過程，自然對(duì)性質(zhì)的理解與應(yīng)用也就更加得心應(yīng)手；華師大版教材在注重知識(shí)生成過程的同時(shí)還更加注重生本互動(dòng)環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì)，每條性質(zhì)都沒有直接顯現(xiàn)在教材中，而需要填寫關(guān)鍵詞甚至關(guān)鍵句．這就有效避免了只重結(jié)果的走馬觀花式教材閱讀方式，促成學(xué)生要想得到性質(zhì)就必需完成教材設(shè)計(jì)的探究過程．特別是，學(xué)生獨(dú)立思考總結(jié)的性質(zhì)未必科學(xué)與完善，但經(jīng)歷與教師提供的標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)比反思后，必然能強(qiáng)化思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和語言的規(guī)范性，從而提升歸納整理能力，可謂一舉多得也．

基于以上分析，筆者依托所執(zhí)教的上教版教材涵蓋內(nèi)容最為全面的特征，優(yōu)化整合其他版本教材的科學(xué)處理方式，圍繞“圖象所經(jīng)過象限與k和b的符號(hào)關(guān)系——單調(diào)性——平行性(兩個(gè)一次函數(shù)圖象的位置關(guān)系)——直線的傾斜度(或反比例函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的趨近度)與k的絕對(duì)值的大小關(guān)系”等性質(zhì)，大膽設(shè)計(jì)出“正比例函數(shù)——一次函數(shù)——反比例函數(shù)”的一體化教學(xué)流程，采用“做一做——想一想——議一議”的互動(dòng)式學(xué)習(xí)模式，以促進(jìn)學(xué)生在參與性質(zhì)建構(gòu)的過程中認(rèn)識(shí)性質(zhì)理解性質(zhì)用好性質(zhì)，也取得了不錯(cuò)的效果，但究竟是否科學(xué)還有待專家進(jìn)一步指正．不過，身為一線教師當(dāng)然更加期待能有一套能集眾家之長的完善教材為己所用，以求在教學(xué)實(shí)施中水平自然上升到一定的高度，從而大大提高課堂效率，造福學(xué)生，畢竟個(gè)人對(duì)教材的研究水平和處理能力皆十分有限．

2 關(guān)于課堂教學(xué)熱點(diǎn)的思考

2.1 由實(shí)際問題引入真的那么重要么？

據(jù)筆者調(diào)研，皆由實(shí)際問題引入三個(gè)函數(shù)的概念是所有教材(不僅局限于本文所涉及的四種教材)的共同處理方式，也是廣大同仁的統(tǒng)一授課模式，變化僅局限于所選取的背景材料不同而已．不過2017年5月8日在黃山市舉行的以“創(chuàng)新”為主題的第三屆全國名師展示課活動(dòng)中，筆者所執(zhí)教的“一次函數(shù)(第一課時(shí))”卻從平移入手，借寫出由正比例函數(shù)y=kx的圖象向上和向下平移后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式引入一次函數(shù)的概念(詳細(xì)過程請(qǐng)參考文)，以突出了兩個(gè)函數(shù)間的本質(zhì)聯(lián)系，促成由正比例函數(shù)到一次函數(shù)各性質(zhì)的縱向遷移，體現(xiàn)了由舊知到新知的遞進(jìn)式發(fā)展模式(而教材均由實(shí)際問題引入?yún)s是一種獨(dú)立的平行關(guān)系，未能很好地反映兩個(gè)函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系)，創(chuàng)新味濃厚，也得到了觀摩老師和與會(huì)專家裴光亞教授的充分肯定(見文)．

但筆者在參加區(qū)職稱評(píng)審時(shí)，同樣的設(shè)計(jì)卻受到某位評(píng)委的“質(zhì)疑”：如此設(shè)計(jì)難道不會(huì)給學(xué)生造成一次函數(shù)是由正比例函數(shù)圖象平移而來的誤解嗎？該專家指出一次函數(shù)就是來源于實(shí)際生活，課堂教學(xué)務(wù)必要尊重教材的處理方式，切不可隨意設(shè)計(jì)．且不說一次函數(shù)是否一定由實(shí)際問題衍生而來，單就學(xué)生的認(rèn)知方式而言可謂是豐富多彩千變?nèi)f化，完全沒有必要被“數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活”的理念套死，更何況形式是為內(nèi)容服務(wù)的，無論一次函數(shù)是來源于生活提煉也好，還是來源于舊知遷移也罷，只要教學(xué)設(shè)計(jì)能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與建構(gòu)，凸顯知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，便于理解、掌握與運(yùn)用新知，推動(dòng)能力的發(fā)展，就不失為一種成功的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，完全不必刻意追究其源于何處成于何方．否則，就有固步自封甚至舍本逐末之嫌了，畢竟教材是用來用的而不是用來套的．

2.2 僅觀察圖象是否為學(xué)生獲取性質(zhì)的完善方式？

毫無疑問，先描點(diǎn)畫出函數(shù)圖象，再通過觀察圖象得出函數(shù)相關(guān)性質(zhì)是初中生學(xué)習(xí)函數(shù)的主要認(rèn)知方式，意在借助形的直觀性強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解，以突出數(shù)形結(jié)合思想，特別是用形研究數(shù)的優(yōu)越性．但筆者在教學(xué)實(shí)施中發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：總有學(xué)生在運(yùn)用性質(zhì)處理問題時(shí)犯了“反用”的低級(jí)錯(cuò)誤(如對(duì)于正比例函數(shù)y=kx而言，常把k<0與k>0的結(jié)果相混淆)，雖然經(jīng)過大量習(xí)題反復(fù)操練后似乎達(dá)到熟能生“巧”了，但隨著時(shí)間的推移這類錯(cuò)誤往往又會(huì)在部分學(xué)生中死灰復(fù)燃．

那么這類錯(cuò)誤形成的根源究竟何在？解決問題的突破口又在哪里？筆者經(jīng)過大量的調(diào)研后發(fā)現(xiàn)，其根本原因在于學(xué)生對(duì)兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)只關(guān)注了記憶沒有注重理解，這當(dāng)然與教師對(duì)圖象與性質(zhì)的教學(xué)方式密不可分．首先，通過觀察圖象得出性質(zhì)就是一種典型的記憶性學(xué)習(xí)，只不過突出了直觀性，便于加深印象而已；其次，教師的口訣式教學(xué)也對(duì)記憶性教學(xué)有推波助瀾之效．如口訣“撇大捺小吃定k、上正下負(fù)鎖死b；增大增大線為撇、增大減小線為捺(意思是指：直線為撇k為正，直線為捺k為負(fù)；直線與y軸交點(diǎn)在x軸上方時(shí)b>0，直線與y軸交點(diǎn)在x軸下方時(shí)b<0；函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大直線為撇，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小直線為捺)”雖然言簡(jiǎn)意賅生動(dòng)形象，但只加深記憶，根本無助于學(xué)生對(duì)性質(zhì)的理解；最后，大量重復(fù)操練的配套習(xí)題也只是發(fā)揮培養(yǎng)熟練工的“特”效，本質(zhì)上還在加強(qiáng)記憶，無法真正期待由量變引起質(zhì)變．總之，這些強(qiáng)化記憶性的教學(xué)策略，無論怎么挖掘抑或創(chuàng)新，都不能加深學(xué)生對(duì)性質(zhì)的理解，一旦出現(xiàn)記憶紊亂，即使面對(duì)經(jīng)過一三象限的一次函數(shù)圖象學(xué)生也想不起k>0了．

那么如何才能加深學(xué)生對(duì)性質(zhì)的理解呢？筆者的體會(huì)是對(duì)函數(shù)性質(zhì)教學(xué)切忌過于依賴形的直觀而忽視對(duì)數(shù)的分析，務(wù)必要加強(qiáng)“以式析性”(即根據(jù)解析式剖析性質(zhì)的理論依據(jù))研討，引導(dǎo)學(xué)生不僅經(jīng)歷“由形到數(shù)”的觀察，還體會(huì)“由數(shù)到形”的演繹，才能成“數(shù)形結(jié)合”兩全之美也(“數(shù)無形少直觀，形無數(shù)難入微”)．具體地說，如對(duì)于正比例函數(shù)y=kx而言，由圖象得出“當(dāng)k>0時(shí)圖象經(jīng)過第三、第一象限和y隨著x的增大而增大”后，再從數(shù)的角度深入分析，引導(dǎo)學(xué)生理解：正是由于k>0，所以y與x同正同負(fù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)同號(hào)，因此圖象必然經(jīng)過三一象限；同樣正是由于k>0，當(dāng)x1

2.3 畫反比例函數(shù)圖象的切入點(diǎn)究竟在哪里？

眾所周知，用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)圖象是教學(xué)的一大難點(diǎn)，基于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的相關(guān)性，課堂教學(xué)往往通過回顧用描點(diǎn)法畫正比例函數(shù)圖象的基本步驟，引導(dǎo)學(xué)生仿畫反比例函數(shù)圖象．遺憾的是，學(xué)生畫出的反比例函數(shù)圖象往往錯(cuò)誤百出，如光滑曲線變成折線、兩支變一支、圖象與坐標(biāo)軸相交和圖象在無限趨近兩坐標(biāo)軸時(shí)突然轉(zhuǎn)向等．而造成上述錯(cuò)誤的“罪魁禍?zhǔn)住闭墙處熕O(shè)計(jì)的由畫正比例函數(shù)向畫反比例函數(shù)圖象遷移情境，由于兩個(gè)圖象差異較大(形狀由直到曲、數(shù)量由一條到兩支、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)從有到無等)，根本無法直接遷移，學(xué)生依葫蘆畫瓢，出錯(cuò)自然也就在所難免了．

對(duì)照問題3，可放手讓學(xué)生自己分析歸納，再次體驗(yàn)“由式想形”的過程，逐步歸納出：當(dāng)x逐漸減小時(shí)y的值逐漸增大，且越來越接近于0但始終小于0，所以圖象越來越接近于x軸(但始終在x軸的下方)且向左無限延伸；當(dāng)x值越來越接近于0(始終小于0)時(shí)，y的值越來越小，所以圖象越來越接近于y軸(但始終在y軸的左側(cè))且向下無限延伸．

2.4 學(xué)生錯(cuò)把反比例函數(shù)圖象畫出折線的根源在何處？

描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)圖象時(shí)，學(xué)生常常把相鄰兩點(diǎn)用線段連接(即把圖象畫成折線)．針對(duì)這一現(xiàn)象一般認(rèn)為是學(xué)生缺少由直線到曲線的必要遷移經(jīng)驗(yàn)所致，即在畫反比例函數(shù)圖象之前，學(xué)生只畫了直線型的一次函數(shù)圖象，因而不可能想到要用光滑的曲線連接．不過筆者對(duì)此卻有不同的思考，認(rèn)為缺乏對(duì)一次函數(shù)(含正比例函數(shù))圖象的深度解讀才是學(xué)生犯錯(cuò)的根本原因之所在．如果在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)不只是讓學(xué)生掌握一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線，而且還了解常函數(shù)y=b的圖象是一條平行于x軸的直線、x=a表示的是一條垂直于x軸的直線；反之，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任一條不平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)應(yīng)的解析式只能是一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，平行于x軸的直線的解析式只能為常函數(shù)y=b，垂直于x軸的直線只能表示為直線x=a，且線段和射線的表達(dá)式也只能是這三者之一，不同的是變量的取值范圍不再是一切實(shí)數(shù)，而是其一部分．有此鋪墊，學(xué)生在畫反比例函數(shù)圖象時(shí)，至少相鄰兩點(diǎn)不可能再用線段(或折線)連接了(也正因?yàn)槿绱?，上教版教材把一次函?shù)的教學(xué)安排在反比例函數(shù)學(xué)習(xí)之后就略顯不妥)．至于為什么一定要用光滑曲線，不妨作如下解讀：由橫坐標(biāo)x的從小到大(或從大到小)依次取值排除了左右起伏的波浪線(其實(shí)，這種圖形也不可能作為函數(shù)圖象，否則一個(gè)x值對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，與函數(shù)的定義相矛盾)，而根據(jù)函數(shù)值y隨著x的增大而減小(或增大)又可排除上下起伏的波浪線，故而只能用含一定變化趨勢(shì)的光滑曲線連接了．

2.5 “由式想形”畫圖象是否有違學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律？

有同仁擔(dān)心：常規(guī)的處理策略(即教材的處理方式)是引導(dǎo)學(xué)生先用描點(diǎn)法畫出反比例函數(shù)的圖象，再觀察圖象得性質(zhì)，而“由式想形”的處理策略卻是先依據(jù)解析式得出性質(zhì)再畫圖象，是否違背了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律？其實(shí)這就是“由形到數(shù)”和“由數(shù)到形”的問題，而這是“數(shù)形結(jié)合”的兩個(gè)方面，都是學(xué)生的認(rèn)知方式，并沒有違背認(rèn)知規(guī)律之嫌．更何況著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授強(qiáng)調(diào)“數(shù)無形少直觀”且“形無數(shù)難入微”，只有把兩者有機(jī)地融合才是完善的認(rèn)知方式．但問題在于“先形后數(shù)”時(shí)，由于學(xué)生缺乏必要的作圖經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，無法獨(dú)立畫出圖象(除非事先知道形狀)，只能依賴教師逐步糾錯(cuò)“引導(dǎo)”，強(qiáng)加味濃厚，可信度卻淡了不少．大有明知不可為卻偏為之的悲壯，意在讓學(xué)生體驗(yàn)作圖的操作過程，獲得的卻是錯(cuò)誤百出的尷尬．而且由于受前攝抑制的影響，這些先入為主的錯(cuò)誤往往會(huì)對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)造成不少負(fù)遷移．而“先數(shù)后形”卻不同，學(xué)生不僅易于接受由解析式剖析性質(zhì)的切入點(diǎn)，還能獲得描點(diǎn)法正確作圖的成就感，最后體驗(yàn)由圖形觀察性質(zhì)的直觀感受，豈不兩全齊美？特別是“由式想形”的處理策略有利于培養(yǎng)學(xué)生“先理性分析再動(dòng)手操作”的良好思維習(xí)慣和處事習(xí)慣，對(duì)其后續(xù)發(fā)展更有深遠(yuǎn)的意義．更何況，先畫圖再糾錯(cuò)是強(qiáng)塞，而“由式想形”則基于理解，熟優(yōu)熟劣一目了然．

當(dāng)然，關(guān)于課堂教學(xué)的思考可謂“仁者見仁智者見智”，也很難有個(gè)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)或完美的答案．但不管怎樣，加強(qiáng)對(duì)不同版本教材和相關(guān)論文的研究，集百家教研成果之精華，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐大膽探索與反思，在基于知識(shí)理解和能力之上積極尋求突出重點(diǎn)的設(shè)計(jì)和突破難點(diǎn)的對(duì)策，不斷提高課堂效率，也許是每一位執(zhí)教者走向成熟并不斷提升的有效途徑．