北京實驗學校 程春暖 (郵編：20180520)

摘 要 數(shù)學運算不僅僅是計算出結(jié)果，更是人們推理能力、思維過程的重要基礎(chǔ).因此，在日常的教學過程中，需要教師科學診斷學生運算過程中的問題，從而對癥下藥有的放矢，更好地提升學生的數(shù)學素養(yǎng).通過對一次測試后學生解析幾何題的錯誤原因進行分析，給出了在教學中如何提升學生運算素養(yǎng)的幾點建議.

關(guān)鍵詞 運算素養(yǎng)；數(shù)學思維；原因分析

21世紀是信息技術(shù)快速發(fā)展的時代，隨著電子產(chǎn)品的普及，越來越多的人選擇用計算器、手機等工具進行運算.有些人甚至認為，有這些工具的存在，沒必要再進行運算能力的培養(yǎng)，這其實是對數(shù)學運算理解的一大誤區(qū).

運算自古就受到人們的重視.(清)譚嗣同在《報貝元徵書》中如是說；“如考算學即面令運算，船學面令駕船.”而今，普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)也將數(shù)學運算納為一項重要的核心素養(yǎng).新課標對數(shù)學運算的解釋如下：數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段.數(shù)學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎(chǔ).通過高中數(shù)學課程的學習，學生能進一步發(fā)展數(shù)學運算能力，有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

周海中先生曾說：機器人在工作強度、運算速度和記憶功能方面可以超越人類，但在意識、推理等方面不可能超越人類.由此可見，數(shù)學運算不僅僅是計算出結(jié)果，更是人們推理能力、思維過程的重要體現(xiàn).因此，在日常的教學過程中，我們要科學診斷學生運算過程中的問題，從而對癥下藥有的放矢，更好地提升學生的數(shù)學素養(yǎng).筆者在一次測試之后，對試卷中的解析幾何題進行了錯誤分析.通過分析學生的錯誤原因，提出幾點在教學中如何提升學生運算素養(yǎng)的拙見.

1 題目設(shè)置及解題思路

(1)求橢圓C的方程；

(2)如果直線y=kx+1(k≠0)交橢圓C于不同的兩點E、F，且E、F都在以B為圓心的圓上，求k的值．

公安派之后，以鍾惺、譚元春為首的竟陵派“倡尖新幽冷之派，以《詩歸》一編，易天下之耳目”。[2]816足見竟陵派以新的文學主張，一定程度上扼制了公安派流于輕率的弊端。但館臣認為，“公安救歷下，至於佻；竟陵救公安，陷於孱”；[2]849同樣以幽冷纖巧為宗的竟陵派，“元春之才較惺為劣”，[2]826詭譎荒誕比之有余。明代文學發(fā)展到竟陵派，已是病入膏肓，回天乏力了，正如譚元春《岳歸堂集》提要中所言：“……有明一代之詩，遂至是而極弊。論者比之詩妖，非過刻也。[2]826”

可知△>0， 設(shè)E(x2,y2)，F(xiàn)(x3,y3)，EF的中點是M(xM,yM)，

2 學生錯誤原因分析

2.1 生搬硬套，沒有選擇運算方法

2.2 盲目運算，沒有探究運算思路

在本題第(2)問中，參考答案給出的解題思路是通過BE=BF推出B點與EF中點的連線與EF垂直，從而利用斜率相乘為-1構(gòu)造了一個關(guān)于k的等式，得出正確答案.但這并不是唯一的解法.考試結(jié)果也顯示，有一部分同學選擇的是直接利用BE=BF，但因為沒有對運算思路進行整體把控，當利用兩點之間距離進行線段長度的運算時，自己被看似復(fù)雜的代數(shù)形式嚇著了，沒有進行下去，導(dǎo)致半途而廢或者隨便猜測一個值，碰碰運氣.

2.3 思維定勢，錯誤理解運算對象

圖1

2.4 習慣不好，無法求得正確結(jié)果

在閱卷過程中，還發(fā)現(xiàn)一些非?？上У腻e誤.而這些錯誤都是因為學生們的答題習慣不好導(dǎo)致的：有些同學喜歡把試卷當草稿紙，答題過程隨便涂改，到后來自己也不知哪個是自己已經(jīng)劃掉的，有些同學自以為思維靈活，答題不按步驟，運算跳步，導(dǎo)致會的題目丟分，考后后悔莫及.

3 對教學的啟示

通過對學生出現(xiàn)問題的診斷，筆者認為在日常的教學工作中，我們可以從以下幾個方面著手，將運算素養(yǎng)提升于點滴教學中，提升于潛移默化中.

3.1 拓展解題思維，優(yōu)化解題過程

在平時的習題教學中，我們需要給學生提供充分的時間與空間，讓他們的思維馳騁，想法落地.只有通過具體的實踐與操作，才能體會到什么情況下用什么樣的解題策略.在解題教學中，可以通過一題多法，培養(yǎng)思維的靈活性；多題共法，培養(yǎng)思維的深刻性；一題多變，培養(yǎng)思維的連續(xù)性；多題變一，體會思維的本質(zhì)性.這樣，學生的思路才能被打開，思維才能被激活，在不斷地進行方法的選擇過程中，他們便逐漸體會到了優(yōu)化的重要性，也會逐漸去摸索優(yōu)化的過程，從而提升運算素養(yǎng).

3.2 構(gòu)建解題程序，提升整體思維

在習題講解的過程中，我們不僅要教給學生思考問題的方式方法，同時也要幫助學生從整體上認識本題的解題思路，構(gòu)建解題程序.這個程序就好比大海上的燈塔，讓同學們在解題的海洋中航行時有了前行的方向.

圖2

如本題第(2)問，為了幫助學生構(gòu)建解題程序，我們可以引導(dǎo)學生從結(jié)論出發(fā)進行思考：因為要求k的值，而求值問題本質(zhì)上一定是個方程問題，所以我們只需要構(gòu)造一個關(guān)于k的方程即可，從而需要一個等量關(guān)系.那么接下來就從題目條件中的幾何對象出發(fā)去尋找等量關(guān)系.分析條件“點E、F在以B為圓心的圓上”便會有兩種思路，一是BE=BF，一是BM垂直于EF(M為EF的中點).由此從條件出發(fā)便得到了我們需要的等量關(guān)系.這個思維過程可以圖2的方式呈現(xiàn)給學生，幫助他們梳理解題的思路.

3.3 重視數(shù)學思維，淡化題型教學

學好數(shù)學,離不開解題,甚至需要通過總結(jié)解題規(guī)律來提升數(shù)學思維層次進而提高數(shù)學能力.但如果把“數(shù)學教學”蛻變?yōu)椤邦}型教學”,盲目追求題型覆蓋考題的應(yīng)試效果,往往使學生對熟悉的題型可以產(chǎn)生本能的反應(yīng)，但對不熟悉的題型很難做到具體問題具體分析, 最終把鮮活的、富于挑戰(zhàn)性的數(shù)學解題智能淪落為以牢固記憶、熟練模仿為主要特征的解題技能.在本題中，部分學生正是因為將條件“點E、F在以B為圓心的圓上”想當然地理解成自己習慣做的“以EF為直徑的圓過點B”從而導(dǎo)致錯誤.這種錯誤的出現(xiàn)給了我們教師深刻的警示，這是在提醒我們在教學過程中，不僅要關(guān)注題目能否解出來，更要關(guān)注數(shù)學的本質(zhì).數(shù)學特級教師張鶴在其所著《數(shù)學教學的邏輯》一書中如是說：作為數(shù)學教師應(yīng)該明確：解題教學不是僅僅為了給學生如何解答一份高考試卷，而應(yīng)該有更為高遠的目標.數(shù)學題目僅僅是思維訓練的載體，我們的學生不是數(shù)學家，不是以解出這些題目為唯一目的的，而是要通過解答這些題目，學會如何思考數(shù)學問題，如何解決數(shù)學問題.因此我們只有心懷數(shù)學本質(zhì)，努力將數(shù)學思維傳遞給學生，方能幫助他們走近數(shù)學，走進數(shù)學.

3.4 養(yǎng)成解題規(guī)范，提高計算精度

對于學生來說，很多時候?qū)τ跀?shù)學題目的解答都缺少思路，事后再看題目時卻又發(fā)現(xiàn)其實自己是可以做出來的，這個主要是因為學生在解題時一味地追求速度，對于題干的分析不夠規(guī)范和準確，由此導(dǎo)致學生的解題思路和解題方法出現(xiàn)問題.還有一部分學生會認為只要完成解題過程，得出最終的正確答案便可以拿到分數(shù)，但實際上其容易出現(xiàn)弱化解題步驟的情況，或者在解題過程中容易出現(xiàn)與題目不相干的內(nèi)容，或者最終的答案沒有達到最簡化，由此出現(xiàn)失分的情況，不利于解題過程的順利完成.解題不規(guī)范也在一定程度上反映出學生日常學習存在的問題，不利于學生綜合學習能力的提升.而且，解題不規(guī)范的習慣一旦形成，改起來并不容易.人們常說“習慣成自然”.壞習慣一旦形成，受累終生；好習慣一旦養(yǎng)成，受益終生.作為教育工作者，我們有責任培養(yǎng)學生良好的解題習慣.好的解題習慣會讓他們在不知不覺中形成規(guī)范的思維過程，從而減少筆誤，減少不該有的錯誤，提高計算精度，提升運算素養(yǎng).

誠然，運算素養(yǎng)的提升不是一蹴而就的，數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)也不是一朝一夕便可以完成的，需要教師不忘初心，與學生一起砥礪前行.